獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想及應(yīng)用

1、2/23/2022整理課件 第三章第三章 統(tǒng)計(jì)案例統(tǒng)計(jì)案例2/23/2022整理課件2 2定定量量變變量量回回歸歸分分析析（畫畫散散點(diǎn)點(diǎn)圖圖、相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)r r、變變量量 相相關(guān)關(guān)指指數(shù)數(shù)R R 、殘殘差差分分析析）分分類類變變量量研究兩個變量的相關(guān)關(guān)系：定量變量：體重、身高、溫度、考試成績等等。定量變量：體重、身高、溫度、考試成績等等。變量 分類變量：性別、是否吸煙、是否患肺癌、變量 分類變量：性別、是否吸煙、是否患肺癌、 宗教信仰、國籍等等。宗教信仰、國籍等等。兩種變量：獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)本節(jié)研究的是兩個分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)問題。在日常生活中，我們常常關(guān)心在日常生活中，我們常常關(guān)心分

2、類變量之間是否有關(guān)系分類變量之間是否有關(guān)系：例如，吸煙是否與患肺癌有關(guān)系？例如，吸煙是否與患肺癌有關(guān)系？ 性別是否對于喜歡數(shù)學(xué)課程有影響？等等。性別是否對于喜歡數(shù)學(xué)課程有影響？等等。2/23/2022整理課件為了調(diào)查吸煙是否對肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)為了調(diào)查吸煙是否對肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了地調(diào)查了99659965人，得到如下結(jié)果（單位：人）人，得到如下結(jié)果（單位：人）列聯(lián)表列聯(lián)表在不吸煙者中患肺癌的比重是在不吸煙者中患肺癌的比重是 在吸煙者中患肺癌的比重是在吸煙者中患肺癌的比重是 說明：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異，吸煙者患說明：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差

3、異，吸煙者患肺癌的可能性大。肺癌的可能性大。0.54%0.54%2.28%2.28%探究探究2/23/2022整理課件 上面我們通過分析數(shù)據(jù)和圖形，得到的直觀印象是吸煙和上面我們通過分析數(shù)據(jù)和圖形，得到的直觀印象是吸煙和患肺癌有關(guān)，那么事實(shí)是否真的如此呢？患肺癌有關(guān)，那么事實(shí)是否真的如此呢？這需要用統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)這需要用統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)來考察這個問題。來考察這個問題。 現(xiàn)在想要知道能夠以多大的把握認(rèn)為現(xiàn)在想要知道能夠以多大的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)吸煙與患肺癌有關(guān)”，為此先假設(shè)為此先假設(shè) H0：吸煙與患肺癌沒有關(guān)系：吸煙與患肺癌沒有關(guān)系.把表中的數(shù)字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表把表中的數(shù)字用字母

4、代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表 用用A表示不吸煙，表示不吸煙，B表示不患肺癌，則表示不患肺癌，則“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”等價于等價于“吸煙與患肺癌獨(dú)立吸煙與患肺癌獨(dú)立”，即假設(shè)，即假設(shè)H0等價于等價于 P(AB)=P(A)P(B).2/23/2022整理課件因此因此|ad-bc|越小，說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越弱；越小，說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越弱； |ad-bc|越大，說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越強(qiáng)。越大，說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越強(qiáng)。adbc即a aa a+ +b ba a+ +c cn nn nn na+ba+bP(A),P(A),n na+ca+cP(B),P(B)

5、,n n.a aP(AB)P(AB)n n其中為樣本容量，即n = a+b+c+dn = a+b+c+d在表中，在表中，a恰好為事件恰好為事件AB發(fā)生的頻數(shù)；發(fā)生的頻數(shù)；a+b和和a+c恰好分別為事恰好分別為事件件A和和B發(fā)生的頻數(shù)。由于頻率接近于概率，所以在發(fā)生的頻數(shù)。由于頻率接近于概率，所以在H0成立的條成立的條件下應(yīng)該有件下應(yīng)該有(a+b+c+d)a(a+b)(a+c),2/23/2022整理課件 為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評判標(biāo)準(zhǔn)，基于上述分為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評判標(biāo)準(zhǔn)，基于上述分析，我們構(gòu)造一個隨機(jī)變量析，我們構(gòu)造一個隨機(jī)變量-卡方統(tǒng)計(jì)量卡方統(tǒng)計(jì)量22(),()()

6、()()其中為樣本容量。n adbcKab cdac bdnabcd（1） 若若 H0成立，即成立，即“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”，則，則K2應(yīng)很小。應(yīng)很小。根據(jù)表根據(jù)表3-7中的數(shù)據(jù)，利用公式（中的數(shù)據(jù)，利用公式（1）計(jì)算得到）計(jì)算得到K2的觀測值為：的觀測值為：那么這個值到底能告訴我們什么呢？那么這個值到底能告訴我們什么呢？242 209956.6327817 2148 9874 91k9965(7775 49）（2） 獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)2/23/2022整理課件隨機(jī)變量隨機(jī)變量-卡方統(tǒng)計(jì)量卡方統(tǒng)計(jì)量22(),()()()()其中為樣本容量。n adbcKab cdac

7、bdnabcd 5、獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)0k0)k2P(K臨界值表臨界值表828.102K635. 62K706. 22K22.706K 0.1%0.1%把握認(rèn)為把握認(rèn)為A A與與B B無關(guān)無關(guān)1%1%把握認(rèn)為把握認(rèn)為A A與與B B無關(guān)無關(guān)99.9%99.9%把握認(rèn)把握認(rèn)A A與與B B有關(guān)有關(guān)99%99%把握認(rèn)為把握認(rèn)為A A與與B B有關(guān)有關(guān)90%90%把握認(rèn)為把握認(rèn)為A A與與B B有關(guān)有關(guān)10%10%把握認(rèn)為把握認(rèn)為A A與與B B無關(guān)無關(guān)沒有充分的依據(jù)顯示沒有充分的依據(jù)顯示A A與與B B有關(guān)，但也不能顯示有關(guān)，但也不能顯示A A與與B B無關(guān)無關(guān)2/23/2022整理課件在在H0

8、成立的情況下，統(tǒng)計(jì)學(xué)家估算出如下的概率成立的情況下，統(tǒng)計(jì)學(xué)家估算出如下的概率 即在即在H0成立的情況下，成立的情況下，K2的值大于的值大于6.635的概率非常小，近似的概率非常小，近似于于0.01。2(6.635)0.01.P K （2） 也就是說，在也就是說，在H0成立的情況下，對隨機(jī)變量成立的情況下，對隨機(jī)變量K2進(jìn)行多次觀進(jìn)行多次觀測，觀測值超過測，觀測值超過6.635的頻率約為的頻率約為0.01。思考 206.635?KH如果，就斷定不成立，這種判斷出錯的可能性有多大答：判斷出錯的概率為0.01。2009965 7775 49 42 2099566327817 2148 9874 91

9、().kHH 現(xiàn)現(xiàn)在在觀觀測測值值太太大大了了，在在成成立立的的情情況況下下能能夠夠出出現(xiàn)現(xiàn)這這樣樣的的觀觀測測值值的的概概率率不不超超過過0 0. .0 01 1，因因此此我我們們有有9 99 9% %的的把把握握認(rèn)認(rèn)為為不不成成立立，即即有有9 99 9% %的的把把握握認(rèn)認(rèn)為為“吸吸煙煙與與患患肺肺癌癌有有關(guān)關(guān)系系”。2/23/2022整理課件判斷判斷 是否成立的規(guī)則是否成立的規(guī)則0H如果如果 ，就判斷，就判斷 不成立，即認(rèn)為吸煙與不成立，即認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系；否則，就判斷患肺癌有關(guān)系；否則，就判斷 成立，即認(rèn)為吸煙成立，即認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系。與患肺癌有關(guān)系。6.635k 0H0

10、H獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義 上面這種利用隨機(jī)變量上面這種利用隨機(jī)變量K2來確定在多大程度上來確定在多大程度上可以認(rèn)為可以認(rèn)為“兩個分類變量有關(guān)系兩個分類變量有關(guān)系”的方法，稱為兩的方法，稱為兩個分類變量的個分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)。在該規(guī)則下，把結(jié)論在該規(guī)則下，把結(jié)論“ 成立成立”錯判成錯判成“ 不不成立成立”的概率不會差過的概率不會差過0H0H2(6.635)0.01,P K 即有即有99%的把握認(rèn)為的把握認(rèn)為 不成立。不成立。0H2/23/2022整理課件表表1-11 2x2聯(lián)表聯(lián)表 一般地，假設(shè)有兩個分類變量一般地，假設(shè)有兩個分類變量X和和Y，它們的值域分，它們的值域分別為

11、別為x1,x2和和y1,y2,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2x2列聯(lián)列聯(lián)表）為：表）為：2/23/2022整理課件在實(shí)際應(yīng)用中，要在獲取樣本數(shù)據(jù)之前通過下表確定臨界值：在實(shí)際應(yīng)用中，要在獲取樣本數(shù)據(jù)之前通過下表確定臨界值：0)k2P(K0k0k0)k2P(K具體作法是：具體作法是：(1)根據(jù)實(shí)際問題需要的可信程度確定臨界值根據(jù)實(shí)際問題需要的可信程度確定臨界值 ；(2)利用公式利用公式(1)，由觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到隨機(jī)變量，由觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到隨機(jī)變量 的觀測值；的觀測值；(3)如果如果 ，就以，就以 的把握認(rèn)為的把握認(rèn)為“X與與Y有關(guān)系有關(guān)系”；否則就說樣本觀測數(shù)據(jù)沒有提供；否則就說樣本觀測數(shù)據(jù)沒有提供“X與與Y有關(guān)系有關(guān)系”的充分證據(jù)。的充分證據(jù)。0k2K0kk20(1() 100%P Kk2/23/2022整理課件例例1.1.在在500500人身上試驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒作用，把他們