411　直角坐標(biāo)系

1、4.1.1直角坐標(biāo)系1掌握在平面直角坐標(biāo)系中刻畫(huà)點(diǎn)的位置的方法，體會(huì)坐標(biāo)系的作用2對(duì)具體問(wèn)題，能建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使所刻畫(huà)的代數(shù)形式具有更簡(jiǎn)便的結(jié)果基礎(chǔ)·初探1直線坐標(biāo)系在直線上，取一個(gè)點(diǎn)為原點(diǎn)，并確定一個(gè)長(zhǎng)度單位和直線的方向，就建立了直線上的坐標(biāo)系，即數(shù)軸數(shù)軸上任意一點(diǎn)P都可以由惟一的實(shí)數(shù)x確定，x稱為點(diǎn)P的坐標(biāo)2平面直角坐標(biāo)系在平面上，取兩條互相垂直的直線的交點(diǎn)為原點(diǎn)，并確定一個(gè)長(zhǎng)度單位和這兩條直線的方向，就建立了平面直角坐標(biāo)系平面上任意一點(diǎn)P都可以由惟一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)確定，(x，y)稱為點(diǎn)P的坐標(biāo)3空間直角坐標(biāo)系在空間中，選擇兩兩垂直且交于一點(diǎn)的三條直線，取這三條直線的

2、交點(diǎn)為原點(diǎn)，并確定一個(gè)長(zhǎng)度單位和這三條直線的方向，就建立了空間直角坐標(biāo)系空間中任意一點(diǎn)P都可以由惟一的三元有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)確定，(x，y，z)稱為點(diǎn)P的坐標(biāo)思考·探究1建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系一般有哪些規(guī)則？【提示】(1)如果圖形有對(duì)稱中心，可以選擇對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)；(2)如果圖形有對(duì)稱軸，可以選擇對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸；(3)使圖形上的特殊點(diǎn)盡可能多的落在坐標(biāo)軸上2由坐標(biāo)(x，y)怎樣確定點(diǎn)的位置？【提示】在平面直角坐標(biāo)系中，分別過(guò)點(diǎn)M(x,0)，N(0，y)作x軸和y軸的垂線，兩條直線的交點(diǎn)P即(x，y)所確定的點(diǎn)質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交

3、流：疑問(wèn)1：_解惑：_疑問(wèn)2：_解惑：_疑問(wèn)3：_解惑：_建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系刻畫(huà)點(diǎn)的位置正方形的邊長(zhǎng)等于4，試選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，表示其頂點(diǎn)與中心的坐標(biāo)【自主解答】法一以正方形的一個(gè)頂點(diǎn)為原點(diǎn)，兩條鄰邊為坐標(biāo)軸，且把第四個(gè)頂點(diǎn)放在第一象限，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖(1)所示此時(shí)，其四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O(0,0)、A(4,0)、B(4,4)、C(0,4)，中心為M(2,2)法二以正方形的中心為原點(diǎn)，且使兩條坐標(biāo)軸平行于正方形的邊，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖(2)所示此時(shí)，正方形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2，2)、B(2,2)、C(2,2)、D(2，2)，中心為O(0,0)法三以正方形的兩條對(duì)角線為坐標(biāo)軸建

4、立直角坐標(biāo)系，如圖(3)所示此時(shí)，正方形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2，0)、B(0,2)、C(2，0)、D(0，2)，中心為O(0,0)(作圖時(shí)只要以圖(2)中的原點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作圓，該圓與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即是圖(3)中正方形的各個(gè)頂點(diǎn))再練一題1選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，表示兩條直角邊長(zhǎng)都為1的直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)【導(dǎo)學(xué)號(hào)：98990000】【解】法一以直角三角形的兩條直角邊AC、BC所在直線分別為x軸、y軸，建立如圖(1)所示的平面直角坐標(biāo)系，則C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)法二以斜邊AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸，建立如圖(2)所示的平面直角坐標(biāo)系則A(，0)，B(

5、，0)，C(0，)建立坐標(biāo)系解決證明問(wèn)題用解析法證明：等腰三角形底邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，到兩腰的距離之差等于一腰上的高【自主解答】如圖，在ABC中，ABAC，P為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PDAB于D，PEAC于E，CFAB于F，以BC所在直線為x軸，以BC的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)A(0，b)，B(a,0)，C(a,0)(a0，b0)，則直線AB的方程為bxayab0，直線AC的方程為bxayab0，取P(x0,0)，使x0a，則點(diǎn)P到直線AB、AC的距離分別為PD，PE.點(diǎn)C到直線AB的距離為CF，則PDPECF.故所需證明命題成立再練一題2已知ABC中，ABAC，BD、CE分別為兩腰

6、上的高，求證：BDCE.【證明】如圖，以BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)B(a,0)，C(a,0)，A(0，h)則直線AC的方程為yxh，即：hxayah0.直線AB的方程為yxh，即：hxayah0.由點(diǎn)到直線的距離公式得：BD，CE.BDCE.建立坐標(biāo)系求軌跡方程如圖4­1­1所示，過(guò)點(diǎn)P(2,4)有兩條互相垂直的直線l1，l2.l1交x軸于A點(diǎn)，l2交y軸于B點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M滿足的方程圖4­1­1【思路探究】法一設(shè)點(diǎn)求斜率斜率積為1整理得方程檢查有無(wú)不適合的點(diǎn)結(jié)論法二設(shè)M(x，y)尋求M滿足的條件列方程檢查有無(wú)不

7、適合的點(diǎn)結(jié)論法三O，A，P，B四點(diǎn)共圓PMMO求kOP及OP中點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)斜式寫(xiě)出OP的垂直平分線方程為所求【自主解答】法一設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，因?yàn)镸為線段AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2x,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,2y)因?yàn)閘1l2，且l1，l2過(guò)點(diǎn)P(2,4)，所以kAP·kPB1.而kAP(x1)，kPB，所以·1(x1)，整理，得x2y50(x1)因?yàn)楫?dāng)x1時(shí)，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(2,0)，(0,4)，所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2)，它滿足方程x2y50.綜上所述，點(diǎn)M滿足的方程是x2y50.法二設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(2x,0)

8、，(0,2y)，連接PM.因?yàn)閘1l2，所以PMAB.而PM，AB，所以2，化簡(jiǎn)，得x2y50，即為所求方程法三因?yàn)閘1l2，OAOB，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，所以O(shè)，A，P，B四點(diǎn)共圓，且該圓的圓心為M(x，y)，所以PMMO，所以點(diǎn)M的軌跡為線段OP的垂直平分線因?yàn)閗OP2，OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，所以點(diǎn)M滿足的方程為y2(x1)，化簡(jiǎn)得x2y50.通過(guò)建立坐標(biāo)系精確地刻畫(huà)集合圖形的位置和物體運(yùn)動(dòng)的軌跡的方法稱為解析法解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵：(1)建立平面直角坐標(biāo)系；(2)設(shè)點(diǎn)(點(diǎn)與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng))；(3)列式(方程與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)，列出幾何條件，并將幾何條件代數(shù)化)；(4)化簡(jiǎn)(注意變形的等價(jià)性)

9、；(5)證明(若保證等價(jià)變形，則此步驟可以省略)再練一題3設(shè)圓(x1)2y21的圓心為C，過(guò)原點(diǎn)作圓的弦OA，求OA中點(diǎn)B的軌跡方程【解】法一(直接法)：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，由題意，得OB2BC2OC2，如圖所示，即x2y2(x1)2y21，即OA中點(diǎn)B的軌跡方程為(x)2y2(去掉原點(diǎn))法二(幾何法)：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，由題意知CBOA，OC的中點(diǎn)記為M(，0)，則MBOC，故B點(diǎn)的軌跡方程為(x)2y2(去掉原點(diǎn))法三(代入法)：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，由題意得即又因?yàn)?x11)2y1，所以(2x1)2(2y)21，即(x)2y2(去掉原點(diǎn))法四(交點(diǎn)法

10、)：設(shè)直線OA的方程為ykx，當(dāng)k0時(shí)，B為(1,0)；當(dāng)k0時(shí)，直線BC的方程為：y(x1)，直線OA，BC的方程聯(lián)立消去k即得其交點(diǎn)軌跡方程：y2x(x1)0，即(x)2y2(x0,1)，顯然B(1,0)滿足(x)2y2，故(x)2y2(去掉原點(diǎn))為所求真題鏈接賞析(教材第16頁(yè)習(xí)題4.1第4題)據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)，在A市正東方300 km的B處有一臺(tái)風(fēng)中心形成，并以每小時(shí)40 km的速度向西北方向移動(dòng)，在距臺(tái)風(fēng)中心250 km以內(nèi)的地區(qū)將受其影響問(wèn)：從現(xiàn)在起經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，臺(tái)風(fēng)將影響A市，持續(xù)時(shí)間多長(zhǎng)？已知B村位于A村的正西方向1公里處，原計(jì)劃經(jīng)過(guò)B村沿著北偏東60°的方向埋設(shè)一條地下

11、管線m.但在A村的西北方向400米處，發(fā)現(xiàn)一古代文物遺址W.根據(jù)初步勘察的結(jié)果，文物管理部門(mén)將遺址W周圍100米范圍劃為禁區(qū)試問(wèn)：埋設(shè)地下管線m的計(jì)劃需要修改嗎？【命題意圖】本題主要考查合理建立直角坐標(biāo)系，并能應(yīng)用其解決實(shí)際問(wèn)題的能力【解】以A村為原點(diǎn)，直線BA為x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系則點(diǎn)B坐標(biāo)為(1 000,0)，點(diǎn)W坐標(biāo)為(200，200)，由題意，管線m的斜率為ktan 30°，所以管線m所在的方程為y(x1 000)，化簡(jiǎn)得x3y1 0000，即xy1 0000.點(diǎn)W到該直線m的距離為d|500100100|100(5)因?yàn)?1，所以d100.故管線m不會(huì)穿過(guò)禁區(qū)，故該計(jì)劃不需要修改1已知點(diǎn)P(12m，3m)在第三象限，則m的取值范圍是_【解析】第三象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均小于0，即3m.【答案】(3，)2點(diǎn)P(2，3，1)關(guān)于yOz坐標(biāo)平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是_【解析】P(x，y，z)關(guān)于平面yOz坐標(biāo)平面對(duì)稱的為點(diǎn)P(x，y，z)，點(diǎn)(2，3，1)關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)為(2，3，1)【答案】(2，3，1)3ABC中，B(2,0)，C(2,0)，ABC的周長(zhǎng)為10，則A點(diǎn)的軌跡方程是_【解析】BC4，ABAC1