常微分方程與差分方程知識(shí)點(diǎn)

1、常微分方程與差分方程知識(shí)點(diǎn)考試綱要常微分方程的基本概念變量可分離的微分方程齊次微分方程一階線性微分方程線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理二階常系數(shù)齊次線性微分方程及簡(jiǎn)單的非齊次線性微分方程微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用差分與差分方程的概念差分方程的通解與特解一階常系數(shù)線性差分方程考試要求1、了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念2、掌握變量可分離的微分方程、齊次微分方程和一階線性微分方程的求解方法3、會(huì)解二階常系數(shù)齊次線性微分方程4、了解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理，會(huì)解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程5、了解差分與差分方程及其通解與特解等概念6

2、、了解一階常系數(shù)線性差分方程的求解方法7、會(huì)用微分方程求解簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題重要知識(shí)點(diǎn)1、微分方程通解中任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同2、變量可分離微分方程解法3、齊次微分方程解法設(shè)再用代替附：可化為齊次的方程1 / 44、一階線性微分方程解法個(gè)人總結(jié)：對(duì)于，首先計(jì)算，通解為5、線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理定理1：如果函數(shù)與是方程的兩個(gè)解，那么也是該方程的解，其中是任意常數(shù)（不一定是通解）定理2：如果函數(shù)與是方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，那么（是任意常數(shù)）是該方程的通解定理3：設(shè)是二階非齊次線性方程的一個(gè)特解，是該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，那么是該二階非齊次線性方程的通解定理4（疊加原理

3、）：設(shè)齊次線性方程的可以分解為兩個(gè)函數(shù)的和，即，而與分別是方程與的特解，那么就是原方程的特解6、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解步驟：第一步：寫出特征方程；第二步：求特征方程的兩根；第三步：根據(jù)根的情況，按下表寫出通解根的情況通解兩個(gè)不相等實(shí)根兩個(gè)相等實(shí)根一對(duì)共軛復(fù)根7、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法二階常系數(shù)非齊次線性微分方程待定系數(shù)法求特解（1）特解形式：不是特征方程的根，是特征方程的單根，是特征方程的重根，（2）特解形式：，不是特征方程的根，是特征方程的單根，個(gè)人總結(jié)：自由項(xiàng)為多項(xiàng)式，自由項(xiàng)為指數(shù)函數(shù)，自由項(xiàng)為正弦函數(shù)，特解設(shè)為自由項(xiàng)為余弦函數(shù)，特解設(shè)為8、一階常系數(shù)差分方程的概念及一般形式含有自變量、自變量的未知函數(shù)及其差分的方程，稱為差分方程。一階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為：，其中常數(shù)。對(duì)應(yīng)的齊次方程為9、一階常系數(shù)差分方程的通解與特解齊次方程的通解為，其中是一個(gè)任意常數(shù)。若給定初始條件，則即為滿足該初始條件的特解。對(duì)于非齊次方程，其通解也是非齊次方程的一個(gè)特解與對(duì)應(yīng)齊次方程通解之和。即：。10、幾種常見情形下非齊次方程特解所具有的形式的形式方程中系數(shù)的取值特解的形式其中是次多項(xiàng)式其中常數(shù)其中，是常數(shù)，且上表特解中是待定系數(shù)的次多項(xiàng)式，是兩個(gè)待定系數(shù)?！咀ⅰ炕驎r(shí)，可歸結(jié)為前兩種情況