三角函數(shù)最全知識點(diǎn)總結(jié)

1、三角函數(shù)、解三角形、任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)1.任意角的概念(1) 我們把角的概念推廣到任意角，任意角包括正角、負(fù)角、零角.1正角：按 逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角.2負(fù)角：按_順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角.3零角：如果一條射線一沒有作任何旋轉(zhuǎn)_，我們稱它形成了一個零角.終邊相同角：與a終邊相同的角可表示為：B|B=a+2kn,k Z, 或B|B= a+k360,kZ.(3)象限角：角a的終邊落在 第幾象限_就稱a為第幾象限的角，終邊 落在坐標(biāo)軸上的角不屬于任何象限象限角軸線角集樂邊蕭止丿軸酗疝)邊蔣在壟標(biāo)軼上的(1*=*2)2.弧度制(1) 1 度的角： 把圓周分成 360 份，每一份所對的圓心

2、角叫 1的角(2) 1 弧度的角：_弧長等于半徑的圓弧所對的圓心角叫1 弧度的角.(3) 角度與弧度的換算：360= _2n_rad,1 = _;=0_rad,1rad = （_型_）57 18. 180n若扇形的半徑為r，圓心角的弧度數(shù)為a，則此扇形的弧長IIaI r_，面積 S= _2|a|r2_23 任意角的三角函數(shù)定義(1) 設(shè)a是一個任意角，a的終邊上任意一點(diǎn)(非頂點(diǎn))P 的坐標(biāo)是(X, y),yxy它與原點(diǎn)的距離為 r，貝 U sina= _r_，cosa= =_，tana= -_.rrx(2) 三角函數(shù)在各象限的符號是：sinacosatanaI+n+一一川+IV二土記憶口訣：一

3、全正，二正弦，三正切，四余弦.(3) 三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示. 正弦線的起點(diǎn)都在 x 軸上， 余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是(1,0).如圖中有向線段 MP OM AT分別叫做角 a 的_正弦線、余弦線和正切線.4.終邊相同的角的三角函數(shù)即終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等.重要結(jié)論1 終邊相同的角不一定相等，相等角的終邊一定相同，在書寫與角a終邊 相同的角時，單位必須一致.a2確定(k N)的終邊位置的方法討論法：1用終邊相同角的形式表示出角a的圍.2寫出a的圍.k3根據(jù) k 的可能取值討論確定a的終邊所在位置.sin(a+k2n)cos(a+k2n)tan(a+k2

4、n)(2)等分象限角的方法：已知角a是第 m( vm= 1,2,3,4)象限角，求下是第幾 象限角.1等分：將每個象限分成 k 等份.!2標(biāo)注： 從 x 軸正半軸開始，按照逆時針方向順次循環(huán)標(biāo)上1,2,3,4，直至回到 x 軸正半軸.3選答：出現(xiàn)數(shù)字 m 的區(qū)域，即為-k 所在的象限.如a判斷象限問題可采用等分象限法.、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式2 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式組數(shù)-二-三-四五六角2kn+a(kZ)n+aanan邁an2+a正弦sinasinasinasinacosacosa余弦cosacosacosacosasinasina正切tanatanatan

5、atana/重要結(jié)論2.特殊角的三角函數(shù)值表角a030456090120150180270角a的弧度數(shù)0n6n4nTn22n35n6n3n2sina0122至21邁21201cosa1至2亞212012巫210tana0至317303.誘導(dǎo)公式的記憶口訣22(1)平方關(guān)系：_sinx+ cosx= 1_. (2)商數(shù)關(guān)系:sinxcosxtanx1 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形應(yīng)用：如2+ cosx) = 1 + 2sinxcosx等.sinx= tanx cosx,2tanx+ 1 =12cosx(sinx“奇變偶不變，符號看象限”.“奇”與“偶”指的是誘導(dǎo)公式k守+a中的整數(shù)k是奇數(shù)還是偶

6、數(shù)“變”與“不變”是指函數(shù)的名稱的變化，若k是奇數(shù)，則正、余弦互變；若nnk為偶數(shù)，則函數(shù)名稱不變.“符號看象限”指的是在k2+a中，將a看成銳角時k 2 +a所在的象限.4.sinx+ cosx、sinx cosx、sinxcosx之間的關(guān)系2sinx+ cosx、sinx cosx、sinxcosx之間的關(guān)系為(sinx+ cosx) = 1 + 2sinxcosx, (sinx2 2 2cosx) = 1 2sinxcosx, (sinx+ cosx) + (sinx cosx) = 2.因此已知上述三個代數(shù)式中的任意一個代數(shù)式的值，便可求其余兩個代數(shù)式的值.三、兩角和與差的三角函數(shù)二倍

7、角公式1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2=2sinacosa_；ta=cos2a sin2a_=2cos2a_1=12sin2a_；2tanakn nn ,1077_(T+匸且akn+l，kZ).3 半角公式（不要求記憶）重要結(jié)論(sina cosx)2.4.輔助角（“二合一”）公式:asina +bcosa =_ a2+b2sin(a + ),5.三角形中的三角函數(shù)問題在三角形中，常用的角的變形結(jié)論有：A+ B=n C; 2A+ 2B+ 2C= 2n(1)sina=2 1cosa2；(2)cos1+cosa7tana=1cosasina1+co

8、sa =1+cos_1COSaasina1 降幕公式:21+cos2acosa =.21cos2asina =22.升幕公式:21+cos2a =2cosa,1cos2a =2sin3 公式變形:tana tanB =tan(aB)(1 ? tana1tana1+ana=tan(za)；7t1+tanan=tan(憶+1tanasin2acosa =,sin2a2sina2tana1+tan2a，cos2a1tan2a=1+tan2a，1sin2其中cos=- a?bsin =；2.a2+ b2A；?+B Cn _+ _=2+2 2 -三角函數(shù)的結(jié)論有：sin( A+ B) = sin C,

9、cos(A+ B)= cosC, tan( A+ B)=A+ BC A+ B C血 丁 二cos2,跡丁 二sin2.AB? sin Asin B? cosAvcosBtan C,四、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1 周期函數(shù)的定義及周期的概念(1)對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域的每一個值時，都有f(x+T) =f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的_周期 _. 如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期_.(2)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，_2k n(k Z,k工 0)_都是它們的周期，最小

10、正周期是_2n_.2 正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx圖象尋2呼一w定義域xRxRnxR,且XM-j+kn,kZ值域_y|-iwywi_y|1wyw1_R單調(diào)性亠nn在一+ 2kn,二=+ 2kn_22_,k Z 上遞增；n3n在丁+ 2kn，駕+ 2kn2- 2 -_,kZ上遞減在(2k1)n,2kn ,k Z 上 遞增；在2kn,(2k+1)n,k Z上遞減nn在(-+kn,+kn) ,k Z 上遞增最值x= + 2k n(k Z)時，nVmax=1 :x= + 2kn(kZ)時，ymin= 1x=2k n( kZ)時，ymax= 1 ；x= n +

11、2k n( k Z)_時，ymin= 1無最值奇偶性一奇一遇_奇_對稱性對稱中心_(kn,0),kZ_nkn + ,0 ,kZ _kn(=,0),kZ_對稱軸nx=kn +W, kZ 2 _x=kn,kZ_無對稱軸最小正周期_2n _2n _ n _重要結(jié)論n1.函數(shù)y= sin x,x 0,2n的五點(diǎn)作圖法的五個關(guān)鍵點(diǎn)是_(0,0)_、_(=2, 1)_、_(n,3n0)_、_(肓,1)一、一(2n,0)_ .n函數(shù)y= cosx,x 0,2n的五點(diǎn)作圖法的五個關(guān)健點(diǎn)是_(0,1)_、 _(2，0)一、 _(n,3n-1)、汀,)_、一(2n,I2n2.函數(shù)y=Asin(x+0)和y=Aco

12、s(x+0)的最小正周期為T=，函數(shù)y= tan(cox13丨n+0)的最小正周期為T= .1o13. 正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半周期，相鄰的對稱1 中心與對稱軸之間的距離是周期.而正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半周期.44.三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y=Asinox或y=Atanox的形式，而偶函數(shù)一般可化為y=Acosox+b的形式.五、函數(shù)y=Asin(cox+)的圖象及應(yīng)用1.五點(diǎn)法畫函數(shù)y=Asin(ox+0)(A0)的圖象(1)列表：x=0n3n2nox2n2+0 x6- 3n2 36-3 n63-33n 62 3一3 2n63 -3 sinx

13、01010y0A0:-A06n 6n 63n 62n 6(2)描點(diǎn)： _( - =, 0)_ , _(丁一=,A)_ , (=-=, 0) ,(2= =, A)_ ,(=,323 33 323 CO3 3一0)_.(3)連線：把這 5 個點(diǎn)用光滑曲線順次連接，就得到y(tǒng)=Asin(3x+6)在區(qū)間長度為一個周期的圖象.擴(kuò)展：將所得圖象，按周期向兩側(cè)擴(kuò)展可得y=Asin(3x+6)在 R 上的圖象2.由函數(shù)y= si nx的圖象變換得到y(tǒng)=Asin(3x+6)(A0,30)的圖象的步驟3.函數(shù)y=Asi n(3x+6)(A0,30,x 0 ,+)的物理意義頻率f= _T_= 3_. (4) 相位是

14、3x+6 (5) 初相是6.重要結(jié)論1.函數(shù)y=Asin(3x+6)的單調(diào)區(qū)間的長度 為T.bl-WEinui來K的塑JWan wJI| y=*n ( i+ Inil(KuJXi15 筑/ -y=Aii-n仏如|h百，嘆 曲YW問右(1)振幅為 A周期T=2n32.“五點(diǎn)法”作圖中的五個點(diǎn)：y=Asin(3x+6)，兩個最值點(diǎn)，三個零點(diǎn)；yn=Acos(3x+0)，兩個零點(diǎn)，三個最值點(diǎn).3.正弦曲線y= sinx向左平移個單位即得余弦曲線y= cosx.六、正弦定理、余弦定理1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理2a=_2 2b+c 2bccosA_abc亠容si nAsin sinC尺其

15、b2=_a+c 2accosB_是厶ABC外接圓的半徑)2c=_2 2a+b 2abcosC_a=2RsinA,b=2RsinB,c=_2RsinC_；absinA=匚,sinB=二,sinC22RcosA=Ji22b+ca2bc ；常見變形ccosB=2 2 . 2a+cb=2R；一 2ac一；a b c= sinAsinBsinCcosC=2i2a+bc一 2ab一asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA解決解斜三(1)已知兩角和任一邊，求另一角和其 他兩條邊；(1)已知三邊，求各角；角形的問題(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另 一邊和其他兩角(2)已知兩邊

16、一角，求第三邊和其他兩 個角2.在ABC中，已知a,b和A時，解的情況如下A為銳角A為鈍角或直角圖形ZlA8ciiAJ-J &關(guān)系式absinAa=bsinAbsinAababawb解的個數(shù)無解一解兩解一解一解無解3.三角形常用面積公式1 一 亠S= $aha（ha表示a邊上的咼）.S= labsinC= pcsinB= 2bcsinAS=1r（a+b+c）（r為切圓半徑）.重要結(jié)論在厶ABC中，常有以下結(jié)論1./A+/B+/C=n.2. 在三角形邊對大角，大角對大邊.3. 任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.C=sin 2-5.tanA+tan B+ tanC=tanA -tanB tanC6.ZAZB?ab? sinAsinB? cosAcosBsin2B= sin2A+ sin2C 2sinAsinCcos B,2 2 24. sin(A+B) = sinC;cos(A+B) = cosC；an(A+B) = tanC;sinA+BCA+B=cos-,cos7.三角形式的余弦定理sin2A= sin2B+sin2C 2sinBsinCcosA,sinC= sinA+ sinB2sinAsinBcosCnn&若A為最大的角，貝UA ,n);若A為最小的角，則A (0 ,三;若A B、C33n成等差數(shù)列，則B=.9.三角形形狀的判定方法通過正