2016屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(知識(shí)點(diǎn)歸納與總結(jié))：等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和(共17頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 備考方向要明了考 什 么怎 么 考1.理解等比數(shù)列的概念2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式3.能在具體的問(wèn)題情境中，識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.1.以客觀題的形式考查等比數(shù)列的性質(zhì)及其基本量的計(jì)算，如2012年新課標(biāo)全國(guó)T5，浙江T13等2.以解答題的形式考查等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及性質(zhì)的綜合應(yīng)用，如2012年湖北T18等.歸納·知識(shí)整合1等比數(shù)列的相關(guān)概念相關(guān)名詞等比數(shù)列an的有關(guān)概念及公式定義q(q是常數(shù)且q0，nN*)或q(q是常數(shù)且q0，nN*且n2)通項(xiàng)公式ana1qn1

2、am·qnm前n項(xiàng)和公式Sn等比中項(xiàng)設(shè)a，b為任意兩個(gè)同號(hào)的實(shí)數(shù)，則a，b的等比中項(xiàng)G±探究1.b2ac是a，b，c成等比數(shù)列的什么條件？提示：b2ac是a，b，c成等比數(shù)列的必要不充分條件，因?yàn)楫?dāng)b0時(shí)，a，c至少有一個(gè)為零時(shí)，b2ac成立，但a，b，c不成等比數(shù)列；若a，b，c成等比數(shù)列，則必有b2ac.2如何理解等比數(shù)列an與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系？提示：等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式ana1qn1可改寫(xiě)為an·qn.當(dāng)q>0，且q1時(shí)，yqx是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，而y·qx是一個(gè)不為0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積，因此等比數(shù)列an的圖象是函數(shù)y·qx的圖象上的

3、一群孤立的點(diǎn)2等比數(shù)列的性質(zhì)(1)對(duì)任意的正整數(shù)m，n，p，q，若mnpq則am·anap·aq.特別地，若mn2p，則am·ana.(2)若等比數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn則Sm，S2mSm，S3mS2m仍成等比數(shù)列，即(S2mSm)2Sm(S3mS2m)(mN*，公比q1)(3)數(shù)列an是等比數(shù)列，則數(shù)列pan(p0，p是常數(shù))也是等比數(shù)列(4)在等比數(shù)列an中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即an，ank，an2k，an3k，為等比數(shù)列，公比為qk.自測(cè)·牛刀小試1在等比數(shù)列an中，如果公比q<1，那么等比數(shù)列an是()A遞增數(shù)列B遞減數(shù)列C常數(shù)

4、列 D無(wú)法確定數(shù)列的增減性解析：選D當(dāng)a1>0,0<q<1，數(shù)列an為遞減數(shù)列，當(dāng)q<0，數(shù)列an為擺動(dòng)數(shù)列2(教材習(xí)題改編)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a5a6a4a718，則log3a1log3a2log3a10()A12 B10C8 D2log35解析：選B數(shù)列an為等比數(shù)列，a5a6a4a79，log3a1log3a2log3a10log3(a1·a2··a10)log3(a5a6)55log3a5a65log3910.3(教材習(xí)題改編)在等比數(shù)列an中，若a5a115，a4a26，則a3_.解析：q210，.2q25q20，解得

5、q或q2.當(dāng)q2時(shí)，a11，a3a1q24.當(dāng)q時(shí)，a116，a3a1q24.答案：4或44在等比數(shù)列an中，an>0，a2a42a3a5a4a625，則a3a5的值為_(kāi)解析：由等比數(shù)列性質(zhì)，已知轉(zhuǎn)化為a2a3a5a25，即(a3a5)225，又an>0，故a3a55.答案：55在1與4之間插入三個(gè)數(shù)使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則這三個(gè)數(shù)分別是_解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則4q4.即q±.當(dāng)q時(shí)，插入的三個(gè)數(shù)是，2,2.當(dāng)q時(shí)，插入的三個(gè)數(shù)是，2，2.答案：，2,2或，2，2等比數(shù)列的基本運(yùn)算例1(1)(2012·新課標(biāo)全國(guó)卷)已知an為等比數(shù)列，a4a72，a5a

6、68，則a1a10()A7B5C5D7(2)(2012·遼寧高考)已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，且aa10,2(anan2)5an1，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_.(3)(2012·浙江高考)設(shè)公比為q(q0)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若S23a22，S43a42，則q_.自主解答(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q，由得或所以或所以或所以a1a107.(2)2(anan2)5an1，2an2an·q25an·q，即2q25q20，解得q2或q(舍去)又aa10a5·q5，a5q52532.32a1·q4，解得a12.an2×2n1

7、2n，故an2n.(3)由S23a22，S43a42作差可得a3a43a43a2，即2a4a33a20，所以2q2q30，解得q或q1(舍去)答案(1)D(2)2n(3)等比數(shù)列運(yùn)算的通法與等差數(shù)列一樣，求等比數(shù)列的基本量也常運(yùn)用方程的思想和方法從方程的觀點(diǎn)看等比數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1·qn1(a1q0)及前n項(xiàng)和公式Sn中共有五個(gè)變量，已知其中的三個(gè)變量，可以通過(guò)構(gòu)造方程或方程組求另外兩個(gè)變量，在求公比q時(shí)，要注意應(yīng)用q0驗(yàn)證求得的結(jié)果1(1)(2013·海淀模擬)在等數(shù)列an中，a18，a4a3a5，則a7()A. B.C. D.(2)設(shè)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn

8、為其前n項(xiàng)和已知a2a41，S37，則S5()A. B.C. D.解析：(1)選B在等比數(shù)列an中，aa3a5，又a4a3a5，所以a41，故q，所以a7.(2)選B顯然公比q1，由題意得解得或(舍去)故S5.等比數(shù)列的判定與證明例2設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a11，Sn14an2.(1)設(shè)bnan12an，證明數(shù)列bn是等比數(shù)列；(2)在(1)的條件下證明是等差數(shù)列，并求an.自主解答(1)證明：由a11，及Sn14an2，有a1a24a12，a23a125，b1a22a13.由Sn14an2，知當(dāng)n2時(shí)，有Sn4an12，得an14an4an1，an12an2(an2an1)又bna

9、n12an，bn2bn1.bn是首項(xiàng)b13，公比q2的等比數(shù)列(2)由(1)可得bnan12an3×2n1，.數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列(n1)n.an(3n1)×2n2.等比數(shù)列的判定方法(1)定義法：若q(q為非零常數(shù)，nN*)或q(q為非零常數(shù)且n2，nN*)，則an是等比數(shù)列(2)等比中項(xiàng)公式法：若數(shù)列an中，an0且aan·an2(nN*)，則數(shù)列an是等比數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫(xiě)成anc·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，nN*)，則an是等比數(shù)列(4)前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snk·qnk(k為常數(shù)且k

10、0，q0,1)，則an是等比數(shù)列注意：前兩種方法常用于解答題中，而后兩種方法常用于選擇、填空題中的判定.2成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15，并且這三個(gè)數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列bn中的b3、b4、b5.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，求證：數(shù)列是等比數(shù)列解：(1)設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為ad，a，ad.依題意，得adaad15，解得a5.所以bn中的b3，b4，b5依次為7d,10,18d.依題意，有(7d)(18d)100，解得d2或d13(舍去)故bn的第3項(xiàng)為5，公比為2.由b3b1·22，即5b1×22，解得b1.所以bn是

11、以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為bn×2n15×2n3.(2)證明：由(1)得數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn5×2n2，即Sn5×2n2.所以S1，2.因此是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用例3(1)在等比數(shù)列an中，若a1·a2·a3·a41，a13·a14·a15·a168，則a41·a42·a43·a44_.(2)已知數(shù)列an為等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，nN*，若a1a2a33，a4a5a66，則S12_.自主解答(1)法一：a1&#

12、183;a2·a3·a4a1·a1q·a1q2·a1q3a·q61，a13·a14·a15·a16a1q12·a1q13·a1q14·a1q15a·q548，由÷，得q488q162，又a41·a42·a43·a44a1q40·a1q41·a1q42·a1q43a·q166a·q6·q160(a·q6)·(q16)101·2101 024

13、.法二：由性質(zhì)可知，依次4項(xiàng)的積為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，T1a1·a2·a3·a41，T4a13·a14·a168，T4T1·q31·q38，即q2.T11a41·a42·a43·a44T1·q102101 024.(2)法一：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則q3，即q32.故S12(a1a2a3)(a4a5a6)(a7a8a9)(a10a11a12)(a1a2a3)(a1·q3a2·q3a3·q3)(a1·q6a2·q6a3·q

14、6)(a1·q9a2·q9a3·q9)(a1a2a3)(a1a2a3)q3(a1a2a3)q6(a1a2a3)q9(a1a2a3)(1q3q6q9)3×(122223)45.法二：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則q3，即q32.因?yàn)镾6a1a2a3a4a5a69，S12S6a7a8a9a10a11a12，所以q64.所以S125S645.答案(1)1 024(2)45等比數(shù)列常見(jiàn)性質(zhì)的應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：通項(xiàng)公式的變形，等比中項(xiàng)的變形，前n項(xiàng)和公式的變形根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問(wèn)題的突破口3已知等比數(shù)列前n項(xiàng)的和為2

15、，其后2n項(xiàng)的和為12，求再后面3n項(xiàng)的和解：Sn2，其后2n項(xiàng)為S3nSnS3n212，S3n14.由等比數(shù)列的性質(zhì)知Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數(shù)列，即(S2n2)22·(14S2n)解得S2n4，或S2n6.當(dāng)S2n4時(shí)，Sn，S2nSn，S3nS2n，是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，則S6nSn(S2nSn)(S6nS5n)364，再后3n項(xiàng)的和為S6nS3n36414378.當(dāng)S2n6時(shí)，同理可得再后3n項(xiàng)的和為S6nS3n12614112.故所求的和為378或112.3個(gè)防范應(yīng)用等比數(shù)列的公比應(yīng)注意的問(wèn)題(1)注意q1時(shí)，Snna，這一特殊情況(2)由an1qan

16、(q0)，并不能斷言an為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a10.(3)在應(yīng)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)q1和q1分類討論，防止因忽略q1這一特殊情況而導(dǎo)致錯(cuò)誤4個(gè)思想求解等比數(shù)列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式中聯(lián)系著五個(gè)量：a1，q，n，an，Sn，已知其中三個(gè)量，可以通過(guò)解方程(組)求出另外兩個(gè)量；其中基本量是a1與q，在解題中根據(jù)已知條件建立關(guān)于a1與q的方程或者方程組，是解題的關(guān)鍵(2)整體思想：當(dāng)公比q1時(shí)，Sn·(1qn)，令t，則Snt(1qn)把與qn當(dāng)成一個(gè)整體求解，也可簡(jiǎn)化運(yùn)算(3)分類討論思想：在應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)

17、，必須分類求和，當(dāng)q1時(shí)，Snna1；當(dāng)q1時(shí)，Sn；在判斷等比數(shù)列單調(diào)性時(shí)，也必須對(duì)a1與q分類討論(4)函數(shù)思想：在等比數(shù)列an中，an·qn，它的各項(xiàng)是函數(shù)y·qx圖象上的一群孤立的點(diǎn)，可以根據(jù)指數(shù)函數(shù)的一些性質(zhì)研究等比數(shù)列問(wèn)題(如單調(diào)性)，注意函數(shù)思想在等比數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用. 創(chuàng)新交匯以等比數(shù)列為背景的新定義問(wèn)題1在新情境下先定義一個(gè)新數(shù)列，然后根據(jù)定義的條件推斷這個(gè)新數(shù)列的一些性質(zhì)或者判斷一個(gè)數(shù)列是否屬于這類數(shù)列的問(wèn)題是近年來(lái)新興起的一類問(wèn)題，同時(shí)，數(shù)列也常與函數(shù)、不等式等形成交匯命題2對(duì)于此類新定義問(wèn)題，我們要弄清其本質(zhì)，然后根據(jù)所學(xué)的數(shù)列的性質(zhì)即可快速解決典例

18、(2012·湖北高考)定義在(，0)(0，)上的函數(shù)f(x)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列an，f(an)仍是等比數(shù)列，則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”，現(xiàn)有定義在(，0)(0，)上的如下函數(shù)：f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln|x|.則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號(hào)為()ABC D解析法一：設(shè)an的公比為q.f(an)a，2q2，f(an)是等比數(shù)列排除B、D.f(an)，f(an)是等比數(shù)列法二：不妨令an2n.因?yàn)閒(x)x2，所以f(an)4n.顯然f(2n)是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列因?yàn)閒(x)2x，所以f(a1)f(2)22，f(a2)f(4)

19、24，f(a3)f(8)28，所以416，所以f(an)不是等比數(shù)列因?yàn)閒(x)，所以f(an)()n.顯然f(an)是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列因?yàn)閒(x)ln|x|，所以f(an)ln 2nnln 2.顯然f(an)是首項(xiàng)為ln 2，公差為ln 2的等差數(shù)列答案C1本題具有以下創(chuàng)新點(diǎn)(1)命題背景新穎：本題是以“保等比數(shù)列函數(shù)”為新定義背景，考查等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)(2)考查內(nèi)容創(chuàng)新：本題沒(méi)有直接指明判斷等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，而是通過(guò)新定義將指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)、二次函數(shù)與數(shù)列有機(jī)結(jié)合，對(duì)學(xué)生靈活處理問(wèn)題的能力有較高要求2解決本題的關(guān)鍵有以下兩點(diǎn)(1)迅速脫掉“新定義”的外衣，認(rèn)清本題的實(shí)

20、質(zhì)是：已知數(shù)列an為正項(xiàng)等比數(shù)列，判斷數(shù)列a，2an，及l(fā)n|an|是否為等比數(shù)列問(wèn)題(2)靈活運(yùn)用排除法或特殊值法也是正確解決本題的關(guān)鍵1已知方程(x2mx2)(x2nx2)0的四個(gè)根組成以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，則()A. B.或C. D以上都不對(duì)解析：選B設(shè)a，b，c，d是方程(x2mx2)(x2nx2)0的四個(gè)根，不妨設(shè)a<c<d<b，則a·bc·d2，a，故b4，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，得到c1，d2，則mab，ncd3，或mcd3，nab，則或.2設(shè)f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，yR，都有f(x)·f(y)f(xy)，若

21、a1，anf(n)(nN*)，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選D由已知可得a1f(1)，a2f(2)f(1)22，a3f(3)f(2)·f(1)f(1)33，anf(n)f(1)nn，Sn23n1n.nN*，Sn<1.一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1已知等比數(shù)列an的前三項(xiàng)依次為a1，a1，a4，則an()A4×nB4×nC4×n1 D4×n1解析：選C(a1)2(a1)(a4)a5，a14，q，故an4·n1.2(2012·安徽高考)公比為2的等比數(shù)列an的各項(xiàng)

22、都是正數(shù)，且a3a1116，則log2a10()A4 B5C6 D7解析：選B由題意可知a3a11a16，因?yàn)閍n為正項(xiàng)等比數(shù)列，所以a74.所以log2a10log2(a7×23)log2255.3各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，首項(xiàng)a13，前三項(xiàng)和為21，則a3a4a5()A33 B72C84 D189解析：選Ca1a2a321，a1a1·qa1·q221,33×q3×q221，1qq27，解得q2或q3.an>0，q2，a3a4a521×q221×484.4(2013·西安模擬)已知a，b，m，n，x，y

23、均為正數(shù)，且ab，若a，m，b，x成等差數(shù)列，a，n，b，y成等比數(shù)列，則有()Am>n，x>y Bm>n，x<yCm<n，x<y Dm<n，x>y解析：選Bm，n(ab)，m>n.又2bmx，由b2ny，得b，即2mx2，即nymx，>1.y>x.5已知等比數(shù)列an中，a12，a518，則a2a3a4等于()A36 B216C±36 D±216解析：選B由等比數(shù)列的性質(zhì)得aa1·a52×1836，又a3a1q22q2>0，故a36.所以a2a3a4a216.6已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和

24、為Sn，a11，Sn2an1，則()A2n1 B.n1C.n1 D.解析：選B利用等比數(shù)列知識(shí)求解Sn2an1，當(dāng)n2時(shí)，Sn12an.anSnSn12an12an.3an2an1.又S12a2，a2.an從第二項(xiàng)起是以為公比的等比數(shù)列Sna1a2a3an1n1再利用Sn2an1，.二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S33S20，則公比q_.解析：S33S20，即a1a2a33(a1a2)0，a1(44qq2)0.a10，q2.答案：28若數(shù)列an(anR)對(duì)任意的正整數(shù)m，n滿足amnaman，且a32，那么a12_.解析：令m1，則an1a

25、na1a1q，a3a1q22q32，a12q1264.答案：649(2013·聊城模擬)已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的a，bR，滿足f(a·b)af(b)bf(a)，f(2)2，an(nN*)，bn(nN*)，考察下列結(jié)論f(0)f(1)；f(x)為偶函數(shù)；數(shù)列an為等比數(shù)列；bn為等差數(shù)列其中正確的是_解析：令a0，b0，則f(0)0，令ab1，則f(1)2f(1)，故f(0)f(1)0；設(shè)a1，bx，因?yàn)閒(1)f(1)×(1)2f(1)，則f(1)0，所以f(x)f(x)xf(1)f(x)，f(x)為奇函數(shù)；f(2n)2f(2n1)2

26、n1f(2)2f(2n1)2n1，則bn為等差數(shù)列；b11，bn1(n1)×1n.n，an2n，則數(shù)列an為等比數(shù)列答案：三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10數(shù)列an中，Sn1kan(k0，k1)(1)證明：數(shù)列an為等比數(shù)列；(2)求通項(xiàng)an；(3)當(dāng)k1時(shí)，求和aaa.解：(1)Sn1kan，Sn11kan1，得SnSn1kankan1(n2)，(k1)ankan1，為常數(shù)，n2.an是公比為的等比數(shù)列(2)S1a11ka1，a1.an·n1.(3)an中a1，q，a是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列當(dāng)k1時(shí)，等比數(shù)列a的首項(xiàng)為，公比為，aaa.11設(shè)數(shù)

27、列an是一等差數(shù)列，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn(bn1)，若a2b1，a5b2.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)S1(b11)b1，b12.又S2(b21)b1b22b2，b24.a22，a54.an為等差數(shù)列，公差d2，即an2(n2)·22n6.(2)Sn1(bn11)，Sn(bn1)，得Sn1Sn(bn1bn)bn1，bn12bn.數(shù)列bn是等比數(shù)列，公比q2，首項(xiàng)b12，bn(2)n.Sn(2)n112已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a11，公差d>0，且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別是等比數(shù)列bn的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng)(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列cn對(duì)nN*均有an1成立，求c1c2c3c2 013.解：(1)由已知得a21d，a514d，a14113d，(14d)2(1d)(11