與三角形的內(nèi)切圓有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論

1、與三角形的內(nèi)切圓有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論 鄭建元 (浙江省余姚市實(shí)驗(yàn)學(xué)校 315400) 三角形與其內(nèi)切圓是直線與圓位置關(guān)系的重要內(nèi)容，運(yùn)用切線、面積等知識(shí)可得到一些重要的結(jié)論，特別是當(dāng)三角形是直角三角形時(shí)，結(jié)論尤為豐富如果我們平時(shí)解題的時(shí)候，不滿足于就題論題，而是向更深的層次去探究題目的內(nèi)在規(guī)律這樣不僅可以培養(yǎng)創(chuàng)造思維能力，而且可以免受題海之困擾，從而大大提高學(xué)習(xí)效率例1 如圖，在RtABC中，C90°，BCa，ACb，ABc，ABC的內(nèi)心為O，O與AB，BC，CA分別相切于D、E、F，O的半徑為r.求證：r.證明：連接OE，OF.O與AB，BC，CA分別相切于D、E、F，OFC=OEC=9

2、0°，AD=AF，BD=BE，CF=CE又C=90°四邊形OECF是正方形，CE=OE=r，r =CE=.于是我們得到結(jié)論：“直角三角形內(nèi)切圓半徑等于兩直角邊的和與斜邊差的一半.”由于r =CE=（abc）c，2r =abc，于是上述結(jié)論又可敘述為：“直角三角形內(nèi)切圓半徑等于它的半周長(zhǎng)與斜邊的差.”或"直角三角形內(nèi)切圓的直徑等于兩直角邊的和與斜邊的差.”例 如圖，在ABC中，BCa，ACb，ABc，ABC的內(nèi)心為O，O與AB，BC，CA分別相切于D、E、F，O的半徑為r.求證：SABC( a + b +c) r證明：連接OE、OF、OD、OA、OB、OC.O與AB

3、，BC，CA分別相切于D、E、F，ODAB，OEBC，OFAC，SABCSBOC + SAOC + SAOB(a r +b r +c r)( a + b +c) r于是我們得到結(jié)論：“三角形面積等于它的半周長(zhǎng)與內(nèi)切圓半徑的積.由于r ，所以又有結(jié)論：“三角形內(nèi)切圓半徑等于三角形的面積與半周長(zhǎng)的商.”特別是當(dāng)三角形是直角三角形時(shí)，r .例3 如圖，在RtABC中，C90°，BCa，ACb，ABc，ABC的內(nèi)心為O，O與AB，BC，CA分別相切于D、E、F，O的半徑為r.求證：SABCc r+r2證明：連接OE、OF、OD、OA、OB、OC. O與AB，BC，CA分別相切于D、E、F，O

4、DAB，OEBC，OFAC，AD=AF，BD=BE，CF=CEOFC=OEC=C=90°，CF=CE，四邊形OECF是正方形，CE=CF=OE=OF=rSABC( a + b +c) r =( a + b )r+c r，又(a + b )r =(AF+FC +BE+EC) r=(AD+ r +BD+ r) r=(c+2r ) r =c r+r2，SABCc r+r2例4 如圖，在RtABC中，C90°，ABC的內(nèi)心為O，O與AB，BC，CA分別相切于D、E、F.求證：AD×BD證明：O與AB，BC，CA分別相切于D、E、F，AD=AF，BD=BE，CF=CE.設(shè)B

5、Ca，ACb，ABc，則AD=，BD=AD×BD=×=.C=90°，AD×BD 例5 如圖，O為ABC的內(nèi)心，OEBC于E，且AB·AC=2BE·EC.求證：A =90°.分析：由于O為ABC的內(nèi)心，不妨作出ABC的內(nèi)切圓，則由切線長(zhǎng)定理和勾股定理逆定理可證證明：設(shè)ABC的內(nèi)切圓O分別與AB、BC、CA相切于點(diǎn)D、E、F，BEx，CFy，ADzBDBEx，CE=CFy，AF=ADzAB·AC=2BE·EC，(x +z)( y+ z)=2 x yAB2+AC2=(x +z) 2+( y+ z) 2=(x +

6、z) （y+ z）2+2(x +z)( y+ z) =(x y) 2 +4x y=(x + y) 2 =BC2A =90°練習(xí)第1題1.如圖，ABC中，內(nèi)切圓O和邊AB、BC、CA分別相切于點(diǎn)D、E、F，若DEF55°，則A的度數(shù)為 AOB第2題xy第3題2如圖，在直角，坐標(biāo)系中A、B的坐標(biāo)分別為(3，0)、(0，4)，則RtABO內(nèi)心的坐標(biāo)是 3.如圖，在RtABC中，C=90°，AB=5，O與RtABC的三邊AB、BC、AC分相切于點(diǎn)D、E、F，若O的半徑r2，則RtABC的面積為 4.若ABC的周長(zhǎng)為18cm，面積為18cm2，則ABC的內(nèi)切圓的半徑為 5. 在RtABC中