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1、與三角形的內(nèi)切圓有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論 鄭建元 (浙江省余姚市實(shí)驗(yàn)學(xué)校 315400) 三角形與其內(nèi)切圓是直線與圓位置關(guān)系的重要內(nèi)容,運(yùn)用切線、面積等知識(shí)可得到一些重要的結(jié)論,特別是當(dāng)三角形是直角三角形時(shí),結(jié)論尤為豐富如果我們平時(shí)解題的時(shí)候,不滿足于就題論題,而是向更深的層次去探究題目的內(nèi)在規(guī)律這樣不僅可以培養(yǎng)創(chuàng)造思維能力,而且可以免受題海之困擾,從而大大提高學(xué)習(xí)效率例1 如圖,在RtABC中,C90°,BCa,ACb,ABc,ABC的內(nèi)心為O,O與AB,BC,CA分別相切于D、E、F,O的半徑為r.求證:r.證明:連接OE,OF.O與AB,BC,CA分別相切于D、E、F,OFC=OEC=9
2、0°,AD=AF,BD=BE,CF=CE又C=90°四邊形OECF是正方形,CE=OE=r,r =CE=.于是我們得到結(jié)論:“直角三角形內(nèi)切圓半徑等于兩直角邊的和與斜邊差的一半.”由于r =CE=(abc)c,2r =abc,于是上述結(jié)論又可敘述為:“直角三角形內(nèi)切圓半徑等于它的半周長(zhǎng)與斜邊的差.”或"直角三角形內(nèi)切圓的直徑等于兩直角邊的和與斜邊的差.”例 如圖,在ABC中,BCa,ACb,ABc,ABC的內(nèi)心為O,O與AB,BC,CA分別相切于D、E、F,O的半徑為r.求證:SABC( a + b +c) r證明:連接OE、OF、OD、OA、OB、OC.O與AB
3、,BC,CA分別相切于D、E、F,ODAB,OEBC,OFAC,SABCSBOC + SAOC + SAOB(a r +b r +c r)( a + b +c) r于是我們得到結(jié)論:“三角形面積等于它的半周長(zhǎng)與內(nèi)切圓半徑的積.由于r ,所以又有結(jié)論:“三角形內(nèi)切圓半徑等于三角形的面積與半周長(zhǎng)的商.”特別是當(dāng)三角形是直角三角形時(shí),r .例3 如圖,在RtABC中,C90°,BCa,ACb,ABc,ABC的內(nèi)心為O,O與AB,BC,CA分別相切于D、E、F,O的半徑為r.求證:SABCc r+r2證明:連接OE、OF、OD、OA、OB、OC. O與AB,BC,CA分別相切于D、E、F,O
4、DAB,OEBC,OFAC,AD=AF,BD=BE,CF=CEOFC=OEC=C=90°,CF=CE,四邊形OECF是正方形,CE=CF=OE=OF=rSABC( a + b +c) r =( a + b )r+c r,又(a + b )r =(AF+FC +BE+EC) r=(AD+ r +BD+ r) r=(c+2r ) r =c r+r2,SABCc r+r2例4 如圖,在RtABC中,C90°,ABC的內(nèi)心為O,O與AB,BC,CA分別相切于D、E、F.求證:AD×BD證明:O與AB,BC,CA分別相切于D、E、F,AD=AF,BD=BE,CF=CE.設(shè)B
5、Ca,ACb,ABc,則AD=,BD=AD×BD=×=.C=90°,AD×BD 例5 如圖,O為ABC的內(nèi)心,OEBC于E,且AB·AC=2BE·EC.求證:A =90°.分析:由于O為ABC的內(nèi)心,不妨作出ABC的內(nèi)切圓,則由切線長(zhǎng)定理和勾股定理逆定理可證證明:設(shè)ABC的內(nèi)切圓O分別與AB、BC、CA相切于點(diǎn)D、E、F,BEx,CFy,ADzBDBEx,CE=CFy,AF=ADzAB·AC=2BE·EC,(x +z)( y+ z)=2 x yAB2+AC2=(x +z) 2+( y+ z) 2=(x +
6、z) (y+ z)2+2(x +z)( y+ z) =(x y) 2 +4x y=(x + y) 2 =BC2A =90°練習(xí)第1題1.如圖,ABC中,內(nèi)切圓O和邊AB、BC、CA分別相切于點(diǎn)D、E、F,若DEF55°,則A的度數(shù)為 AOB第2題xy第3題2如圖,在直角,坐標(biāo)系中A、B的坐標(biāo)分別為(3,0)、(0,4),則RtABO內(nèi)心的坐標(biāo)是 3.如圖,在RtABC中,C=90°,AB=5,O與RtABC的三邊AB、BC、AC分相切于點(diǎn)D、E、F,若O的半徑r2,則RtABC的面積為 4.若ABC的周長(zhǎng)為18cm,面積為18cm2,則ABC的內(nèi)切圓的半徑為 5. 在RtABC中
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