數(shù)學(xué)史著名公式定理在初中數(shù)學(xué)中的運用（Word版含答案解析）

1、.數(shù)學(xué)史著名公式定理在初中數(shù)學(xué)的運用2019.71. 我們把1，1，2，3，5，8，13，21，這組數(shù)稱為斐波那契數(shù)列，為了進一步研究，依次以這列數(shù)為半徑作90圓弧P1P2，P2P3，P3P4，得到斐波那契螺旋線，然后順次連結(jié)P1P2，P2P3，P3P4，得到螺旋折線(如圖)，點P1(0,1)，P2(1,0)，P3(0,1)，那么該折線上的點P9的坐標(biāo)為 .A. (6,24)B. (6,25)C. (5,24)D. (5,25)2. 閱讀下面的材料：1750年歐拉在寫給哥德巴赫的信中列舉了多面體的一些性質(zhì)，其中一條是：假如用V，E，F(xiàn)分別表示凸多面體的頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)，那么有VE+F=2.這

2、個發(fā)現(xiàn)，就是著名的歐拉定理.根據(jù)所閱讀的材料，完成：一個多面體的面數(shù)為12，棱數(shù)是30，那么其頂點數(shù)為 3. 數(shù)學(xué)家歌德巴赫通過研究下面一系列等式，作出了一個著名的猜測4=2+2；12=5+7；6=3+3；14=3+11=7+7；8=3+5；16=3+13=5+11；10=3+7=5+518=5+13=7+11； 通過這組等式，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是 (請用文字語言表達)4. “斐波那契數(shù)列是這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，21，34，(從第3個數(shù)開場，每個數(shù)是前面兩個數(shù)的和).“斐波那契螺旋線是以斐波那契數(shù)位邊的正方形拼成的長方形，然后再正方形里面畫一個90的扇形，連起來的弧線就是斐波那契

3、螺旋線.如圖1，自然界中有許多動植物是按照斐波那契螺旋線的規(guī)律生長.圖2是小明用“1，1，2，3，5，8構(gòu)成的斐波那契螺旋線，那么小明構(gòu)造的斐波那契螺旋線的長度為 5. 背景資料：在ABC所在平面上求一點P，使它到三角形的三個頂點的間隔 之和最小這個問題是法國數(shù)學(xué)家費馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點如圖，當(dāng)ABC三個內(nèi)角均小于120時，費馬點P在ABC內(nèi)部，此時APB=BPC=CPA=120，此時，PA+PB+PC的值最小解決問題：(1)如圖，等邊ABC內(nèi)有一點P，假設(shè)點P到頂點A、B、C的間隔 分別為3，4，5，求APB的度數(shù)為理解決此題，我們可以將

4、ABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到ACP處，此時ACPABP，這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA，PB，PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出APB=_；根本運用：(2)請你利用第(1)題的解答思想方法，解答下面問題：如圖，ABC中，CAB=90，AB=AC，E，F(xiàn)為BC上的點，且EAF=45，判斷BE，EF，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系并證明；才能提升：(3)如圖，在RtABC中，C=90，AC=1，ABC=30，點P為RtABC的費馬點，連接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值6. 用程度線和豎起線將平面分成假設(shè)干個邊長為1的小正方形格子，小正方形的頂點稱為格點，以格點為頂點的多邊形稱為格點多邊形.設(shè)格點多邊形

5、的面積為S，該多邊形各邊上的格點個數(shù)和為a，內(nèi)部的格點個數(shù)為b，那么S=12a+b1(史稱“皮克公式)小明認真研究了“皮克公式，并受此啟發(fā)對正三角形網(wǎng)格中的類似問題進展探究：正三角形網(wǎng)格中每個小正三角形面積為1，小正三角形的頂點為格點，以格點為頂點的多邊形稱為格點多邊形，以下圖是該正三角形格點中的兩個多邊形：1根據(jù)圖中提供的信息填表：格點多邊形各邊上的格點的個數(shù)格點多邊形內(nèi)部的格點個數(shù)格點多邊形的面積多邊形181多邊形273一般格點多邊形abS（2） 那么S與a、b之間的關(guān)系為S= _ (用含a、b的代數(shù)式表示)7. 請閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德折弦定理阿基米德(archimed

6、es，公元前287公元前212年，古希臘)是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子阿拉伯AlBinmi(9731050年)的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)AlBinmi譯本出版了俄文版?阿基米德全集?，第一題就是阿基米德折弦定理阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是O的兩條弦(即折線ABC是圓的一條折弦)，BCAB，M是ABC的中點，那么從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即CD=AB+BD.下面是運用“截長法證明CD=AB+BD的部分證明過程.證明：如圖2，在CB上截取CG=AB，連接MA，MB，MC和MGM是ABC的中點，MA=MC

7、任務(wù)：1請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；2填空：如圖3，等邊ABC內(nèi)接于O，AB=2，D為AC上一點，ABD=45，AEBD于點E，那么BDC的周長是_ 8. 問題探究：【1】新知學(xué)習(xí)1梯形的中位線：連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線2梯形的中位線性質(zhì)：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半3形如分式mx+2m(m為常數(shù)，且m0)，假設(shè)x0，那么mx+2m，并且有以下結(jié)論：當(dāng)x逐漸增大時，分母x+2m逐漸增大，分式mx+2m的值逐漸減少并趨于0，但仍大于0.當(dāng)x逐漸減少時，分母x+2m逐漸減少，分式mx+2m的值逐漸增大并趨于m2m，即趨于12，但仍小于12【2】問題解決

8、一如圖2，在梯形ABCD中，AD/BC，ADBC，E、F分別是AB、CD的中點(1)設(shè)AD=7，BC=17，求S四邊形BCFES四邊形ADFE的值(2)設(shè)AD=a(a為正的常數(shù))，BC=x，請問：當(dāng)BC的長不斷增大時，S四邊形BCFES四邊形ADFE的值能否大于或等于3，試證明你的結(jié)論【3】問題解決二進一步猜測：任何一個梯形的中位線所分成的兩部分圖形的面積的比值所在的范圍是什么，并說明理由數(shù)學(xué)史著名公式定理在初中數(shù)學(xué)的運用2019.7【答案】1. B2. 203. 所有大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個素數(shù)之和4. 1925. 1506. a+2(b1)7. 2+228. 問題解決一解：1設(shè)梯形ADF

9、E的高為h，那么梯形BCFE的高為h，E、F分別是AB、CD的中點，EF是梯形ABCD的中位線，EF/AD/BC，EF=12(AD+BC)=12(7+17)=12，S四邊形BCFES四邊形ADFE=12(12+17)h12(7+12)h=2919；2當(dāng)BC的長不斷增大時，S四邊形BCFES四邊形ADFE的值不能大于或等于3；理由如下：E、F分別是AB、CD的中點，EF是梯形ABCD的中位線，EF=12(AD+BC)=12(a+x)，由1得：S四邊形BCFES四邊形ADFE=12(a+x)+xa+12(a+x)=a+3x3a+x，當(dāng)BC的長x不斷增大時，a+3x3a+x的分子a+3x逐漸增大并趨

10、于，即趨于3，但仍小于3；當(dāng)BC的長不斷增大時，S四邊形BCFES四邊形ADFE的值不能大于或等于3；問題解決二解：任何一個梯形的中位線所分成的兩部分圖形的面積的比值所在的范圍是大于1而小于3；理由如下：由(2)得：S四邊形BCFES四邊形ADFE=a+3x3a+x3，當(dāng)x逐漸減少時，分母3a+x逐漸減少，x趨于a，那么a+3x趨于4a，3a+x趨于4a，S四邊形BCFES四邊形ADFE=a+3x3a+x的值趨于1，但大于1，1S四邊形BCFES四邊形ADFE3，故任何一個梯形的中位線所分成的兩部分圖形的面積的比值所在的范圍是大于1而小于3【解析】1. 解：由題意，P5在P2的正上方，推出P9

11、在P6的正上方，且到P6的間隔 =21+5=26，所以P9的坐標(biāo)為(6,25)，應(yīng)選：B觀察圖象，推出P9的位置，即可解決問題此題考察規(guī)律型：點的坐標(biāo)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，確定P9的位置2. 解：由題意可得，V30+12=2，解得V=20故答案為：20 直接把面數(shù)、棱數(shù)代入公式，即可求得頂點數(shù)此題考察歐拉公式的應(yīng)用，直接代入計算即可3. 解：此規(guī)律用文字語言表達為：所有大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個素數(shù)之和，故答案為：所有大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個素數(shù)之和根據(jù)以上等式得出規(guī)律進展解答即可此題考察規(guī)律問題，關(guān)鍵是根據(jù)幾個等式尋找規(guī)律再用文字表達即可4. 解：小明構(gòu)造的斐波那契螺旋線的長度為：

12、901180+902180+903180+905180+908180 =9019180 =192，故答案為：192根據(jù)弧長公式計算這5段弧的長度之和即可此題主要考察弧長的計算，純熟掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵5. 解：(1)ACPABP，AP=AP=3、CP=BP=4、APC=APB，由題意知旋轉(zhuǎn)角PAP=60，APP為等邊三角形，PP=AP=3，APP=60，易證PPC為直角三角形，且PPC=90，APB=APC=APP+PPC=60+90=150；故答案為：150；(2)EF2=CE2+FC2，理由如下：如圖2，把ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90得到ACE，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AE=AE，CE=BE，C

13、AE=BAE，ACE=B，EAE=90，EAF=45，EAF=CAE+CAF=BAE+CAF=BACEAF=9045=45，EAF=EAF，在EAF和EAF中，AE=AEEAF=EAFAF=AF，EAFEAF(SAS)，EF=EF，CAB=90，AB=AC，B=ACB=45，ECF=45+45=90，由勾股定理得，EF2=CE2+FC2，即EF2=BE2+FC2.(3)如圖3，將APB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60至APB處，連接PP，在RtABC中，C=90，AC=1，ABC=30，AB=2，BC=AB2AC2=3，APB繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60，APB如下圖；ABC=ABC+60=30+60=90，

14、C=90，AC=1，ABC=30，AB=2AC=2，APB繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60，得到APB，AB=AB=2，BP=BP，AP=AP，BPP是等邊三角形，BP=PP，BPP=BPP=60，APC=CPB=BPA=120，COP+BPP=BPA+BPP=120+60=180，C、P、A、P四點共線，在RtABC中，AC=A/B2+BC2=(3)2+22=7，PA+PB+PC=AP+PP+PC=AC=7(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個三角形全等，全等三角形對應(yīng)邊相等，全等三角形對應(yīng)角相等以及等邊三角形的斷定和勾股定理逆定理解答；(2)把ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90得到ACE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=A

15、E，CE=CE，CAE=BAE，ACE=B，EAE=90，再求出EAF=45，從而得到EAF=EAF，然后利用“邊角邊證明EAF和EAF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF=EF，再利用勾股定理列式即可得證(3)將APB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60至APB處，連接PP，根據(jù)直角三角形30角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AB=2AC，即AB的長，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出BPP是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得BP=PP，等邊三角形三個角都是60求出BPP=BPP=60，然后求出C、P、A、P四點共線，再利用勾股定理列式求出AC，從而得到PA+PB+PC=AC此題考察三角形綜合題，全等三角形的斷

16、定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用旋轉(zhuǎn)變換添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題6. 解：填表如下：格點多邊形各邊上的格點的個數(shù)格點邊多邊形內(nèi)部的格點個數(shù)格點多邊形的面積多邊形1818多邊形27311一般格點多邊形abS那么S與a、b之間的關(guān)系為S=a+2(b1)(用含a、b的代數(shù)式表示)根據(jù)8=8+2(11)，11=7+2(31)得到S=a+2(b1)考察了作圖應(yīng)用與設(shè)計作圖.此題需要根據(jù)圖中表格和自己所算得的數(shù)據(jù)，總結(jié)出規(guī)律.尋找規(guī)律是一件比較困難的活動，需要仔細觀察和大量的驗算7. (1)證明：如圖2，在CB上截取CG=AB，連接MA，MB，

17、MC和MGM是ABC的中點，MA=MC在MBA和MGC中BA=GCA=CMA=MC，MBAMGC(SAS)，MB=MG，又MDBC， BD=GD，DC=GC+GD=AB+BD；(2)解：如圖3，截取BF=CD，連接AF，AD，CD，由題意可得：AB=AC，ABF=ACD，在ABF和ACD中AB=ACABF=ACDBF=DC，ABFACD(SAS)，AF=AD，AEBD，F(xiàn)E=DE，那么CD+DE=BE，ABD=45，BE=AB2=2，那么BDC的周長是2+22故答案為：2+22(1)首先證明MBAMGC(SAS)，進而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出BD=GD，即可得出答案；(2)首先證明ABFACD(SAS)，進而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，進而求出DE的長即可得出答案此題主要考察了全等三角形的斷定與性質(zhì)以及等腰三角形以及等邊三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線利用全等三角形的斷定與性質(zhì)解題是解題關(guān)鍵8. 問題解決一(1)設(shè)梯形ADFE的高為h，那么梯形BCFE的高為h，證出EF是梯形ABCD的中位線，由梯形中位線定理得出EF/AD/BC，EF=12(AD+BC)=12，由梯形面積公式即可得出答案；(2)由梯形中位線定理得出EF=12(AD+BC)=12(a+x)，由(1)得：S四邊形B