微積分第七部分常微分方程

1、第七部分 常微分方程填空題1微分方程的通解為 。2過(guò)點(diǎn)且滿(mǎn)足關(guān)系式的曲線(xiàn)方程為。3微分方程的通解為 。4設(shè)是線(xiàn)性微分方程的三個(gè)特解，且，則該微分方程的通解為。5設(shè)是某二階線(xiàn)性非齊次微分方程的兩個(gè)特解，且相應(yīng)齊次方程的一個(gè)解為，則該微分方程的通解為。6設(shè)出微分方程的一個(gè)特解形式。7微分方程的通解為 。8微分方程的通解為 。9函數(shù)滿(mǎn)足的二階線(xiàn)性常系數(shù)齊次微分方程為。10若連續(xù)函數(shù)滿(mǎn)足關(guān)系式 ，則。選擇題11設(shè)曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)，其中具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則等于 (A)。 (B) 。 1 / 19(C) 。 (D) 。答B(yǎng)注：根據(jù)題意，解得。由，得，所以，即選項(xiàng)(B)正確。12若函數(shù)是微分方程的一個(gè)

2、特解，則該方程滿(mǎn)足初始條件的特解為 (A) 。 (B) 。(C) 。 (D) 。答D注：根據(jù)解的結(jié)構(gòu)，通解為，由得。故選項(xiàng)(D)正確。其他選項(xiàng)經(jīng)驗(yàn)證不滿(mǎn)足方程或定解條件。13設(shè)函數(shù)是微分方程的兩個(gè)不同特解，則該方程的通解為 (A)。 (B) 。(C) 。 (D) 。答D注：因?yàn)槭俏⒎址匠痰膬蓚€(gè)不同特解，所以是該方程的一個(gè)非零特解。根據(jù)解的結(jié)構(gòu)，其通解為，即選項(xiàng)(D)正確。另：根據(jù)通解定義，選項(xiàng)(A)中有兩個(gè)任意常數(shù)，故其不對(duì)。當(dāng)時(shí)，選項(xiàng)(B)不對(duì)。當(dāng)時(shí)，選項(xiàng)(C)不對(duì)。14已知函數(shù)在任意點(diǎn)處的增量，則等于 (A)。 (B)。 (C)。 (D) 。答D注：根據(jù)微分定義及微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系得，解得，

3、由，得，所以。因此選項(xiàng)(D)正確。15設(shè)函數(shù)是微分方程的一個(gè)解。若，則函數(shù)在點(diǎn) (A) 取到極大值。 (B) 取到極小值。(C) 某個(gè)鄰域內(nèi)單調(diào)增加。 (D) 某個(gè)鄰域內(nèi)單調(diào)減少。答A注：因?yàn)?，所以選項(xiàng)(A)正確。16. 設(shè)是二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次方程的兩個(gè)特解，是兩個(gè)任意常數(shù)，則下列命題中正確的是 （A） 一定是微分方程的通解。（B）不可能是微分方程的通解。（C）是微分方程的解。（D）不是微分方程的解。答C注：根據(jù)疊加原理，選項(xiàng)（C）正確，選項(xiàng)（D）錯(cuò)誤。當(dāng)線(xiàn)性相關(guān)時(shí)，選項(xiàng)（A）錯(cuò)誤, 當(dāng)線(xiàn)性無(wú)關(guān)時(shí)，選項(xiàng)（B）錯(cuò)誤。17. 微分方程的一個(gè)特解應(yīng)具有形式 (A)。 (B)。(C) 。 (D) 。答

4、B注：相應(yīng)齊次方程的特征根為，所以的一個(gè)特解形式為，的一個(gè)特解形式為。根據(jù)疊加原理，原方程的一個(gè)特解形式為，即選項(xiàng)(B)正確。其他選項(xiàng)經(jīng)檢驗(yàn)不滿(mǎn)足方程。18. 具有特解的三階線(xiàn)性常系數(shù)齊次微分方程是 (A)。 (B) 。(C) 。 (D) 。答B(yǎng)注：根據(jù)題意，是特征方程的兩個(gè)根，且是重根，所以特征方程為。故所求微分方程為，即選項(xiàng)(B)正確。19. 設(shè)是三階線(xiàn)性常系數(shù)齊次微分方程的兩個(gè)特解，則的值為 (A)。 (B)。(C)。 (D)。答C注：根據(jù)題意，是特征方程的兩個(gè)根，且是重根，所以特征方程為。故原微分方程應(yīng)為，所以即選項(xiàng)(C)正確。20. 設(shè)二階線(xiàn)性常系數(shù)齊次微分方程的每一個(gè)解都在區(qū)間上有

5、界，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 (A)。 (B)。 (C)。 (D)。答A注：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，要想使在區(qū)間上有界，只需要，即。當(dāng)時(shí)，要想使在區(qū)間上有界，只需要與的實(shí)部大于等于零，即。當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有界。當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上無(wú)界。綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程的每一個(gè)解都在區(qū)間上有界，即選項(xiàng)(A)正確。解答題21求微分方程的通解。解：方程兩端同乘以，得，此方程是一個(gè)變量分離方程，其通解為。22求微分方程的通解。解：這是一個(gè)一階線(xiàn)性微分方程，求解其相應(yīng)的齊次方程，得其通解為，即。令，代入原方程，得，解得。所以原方程的通解為。注：本題也可直接利用一階線(xiàn)性非齊次微分方程的通解公式，得。23求解微分方程。解：將看成

6、自變量，看成是的函數(shù)，則原方程是關(guān)于未知函數(shù)的一階線(xiàn)性微分方程，此方程通解為，其中是任意常數(shù)。24求微分方程滿(mǎn)足初始條件的特解。解：將原方程變形，得，這是一個(gè)齊次型方程。令，代入上式，得，分離變量，得，積分，得，即。因?yàn)?，所以。于是所求特解為?5設(shè)施微分方程的一個(gè)解，求此微分方程滿(mǎn)足條件的特解。解：將代入原方程，得，解出。所以原方程為，解其對(duì)應(yīng)的齊次方程，得。所以原方程的通解為。由，得。故所求特解為。26求微分方程的通解。解：將原方程化為，這是一個(gè)伯努利方程。令 ，則原方程化為。這是一個(gè)一階線(xiàn)性微分方程，解得，所以原微分方程的通解為。27求微分方程的通解。解：將看成自變量，則是的函數(shù)。由于原

7、方程是齊次型方程，令，原微分方程化為，這是一個(gè)變量可分離的方程，解得。所以原方程的通解為。另解：令 ，則，所以，在時(shí)，原方程為全微分方程。令 ，由于此曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)，所以就是全微分式的一個(gè)原函數(shù)，且所以原方程的通解為。28設(shè)為實(shí)數(shù)，求微分方程的通解。解：此方程的特征方程為，所以， （1）當(dāng)時(shí)，特征方程有一對(duì)復(fù)根 ，方程有兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解 。因此微分方程的通解為。 （2）當(dāng)時(shí)，特征方程有一個(gè)二重根。方程有兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解,于是微分方程的通解為。 （3）當(dāng)時(shí)，特征方程有兩個(gè)單重實(shí)根 。方程有兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解，所以微分方程的通解為。29求微分方程的通解。解 將方程寫(xiě)作。因?yàn)槭翘卣鞣匠痰膯胃栽匠?/p>

8、一個(gè)特解形式為，將此解代入原方程，得，比較兩端同次項(xiàng)的系數(shù)，有。解上述方程組，得。從而得到原方程的一個(gè)特解。又因?yàn)橄鄳?yīng)齊次方程的通解為。所以原方程的通解為。另解：方程兩端積分，得，這是一個(gè)一階線(xiàn)性微分方程，其通解為30求解微分方程。解：因?yàn)槭翘卣鞣匠痰闹馗?，所以原方程的一個(gè)待定特解為，將此解代入原方程，得。比較兩端系數(shù)，得。于是得到原方程的一個(gè)特解。又因?yàn)橄鄳?yīng)齊次方程的通解是。因此原方程的通解為。31求微分方程的通解。解：原方程所對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為。設(shè)非齊次方程的一個(gè)特解為，代入次方程，得 。所以 。設(shè)非齊次方程的一個(gè)特解為，代入方程，得 。所以 。因?yàn)闉樵匠痰囊粋€(gè)特解，所以原方程的通解為

9、。32求解微分方程 。解：因?yàn)樵⒎址匠滩伙@含自變量，所以這是一個(gè)可降階微分方程。令 ，則。原方程變?yōu)?。再?，則有，這是一個(gè)一階線(xiàn)性微分方程，求得。所以，故 。這是個(gè)變量可分離微分方程，解得，這就是原微分方程的通解。注：方程是一個(gè)伯努利方程，可用伯努利方程的一般解法求解。33求解微分方程。解：微分方程 的特征方程為，是其三重特征根。所以該齊次方程的通解為。令原微分方程的一個(gè)特解形式為，代入原微分方程，并整理得，所以 。因此原微分方程的一個(gè)特解為，故所求通解為。34求解微分方程。解：令 ，則原方程化為，這是個(gè)一階線(xiàn)性微分方程，解得。因此 ，所以原微分方程的通解為，其中是任意常數(shù)。另解：令，則原

10、方程化為 ，所以 。由得。35求解微分方程。解：原方稱(chēng)為二階歐拉方程。令 ，得。所以原微分方程化為，其中是自變量。這是一個(gè)二階線(xiàn)性常系數(shù)非齊次方程，解得。所以原微分方程的通解為，其中是任意常數(shù)。36 求解定解問(wèn)題。解：令 ，則原方程化為，這是個(gè)變量可分離微分方程，解得，或，根據(jù) ，得。由 ，得 。因?yàn)?，所以 ，故原定解問(wèn)題的解為。注：在求解變量可分離微分方程時(shí)，容易丟掉解，從而得不到原定解問(wèn)題的解。37已知函數(shù)上可導(dǎo)，且滿(mǎn)足等式，求，并證明。解：根據(jù)條件，得，因?yàn)樯峡蓪?dǎo)，由上式，知上二階導(dǎo)數(shù)存在，所以，這是滿(mǎn)足的一個(gè)一階線(xiàn)性齊次方程，解得，由于 ，所以 ，故。當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以。又時(shí)，所以。故。注：證明不等式時(shí)，只需要知道導(dǎo)數(shù)的符號(hào)及函數(shù)在某點(diǎn)上的值，并不要求一定知道函數(shù)的表達(dá)式。38設(shè)為連續(xù)函數(shù),證明方程的所有積分曲線(xiàn)上橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)的切線(xiàn)交于一點(diǎn)。證：記 為方程的一條積分曲線(xiàn)，則 方程的任一條積分曲線(xiàn)可記為。曲線(xiàn)在點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，曲線(xiàn)在點(diǎn)的切線(xiàn)方程為。求解方程組，得。所以，任一條積分曲線(xiàn)與積分曲線(xiàn)在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處的切線(xiàn)相交于與無(wú)關(guān)的點(diǎn)，即方程的所有積分曲線(xiàn)上橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)的切線(xiàn)交于一點(diǎn)。39設(shè)在上連續(xù)非負(fù)，證明微分方程的任意非零解滿(mǎn)足的充