微積分學(xué)中輔助函數(shù)的構(gòu)造

1、編號：08005110137南陽師范學(xué)院2012屆畢業(yè)生 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 題 目： 微積分學(xué)中輔助函數(shù)的構(gòu)造 完 成 人： 司玉會 班 級： 2008-01 學(xué) 制： 4 年 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)教師： 葛玉麗 完成日期： 2012-03-31 目 錄摘要(1)0引言(1)1構(gòu)造輔助函數(shù)的原則(1)1.1將未知化為已知(2)1.2 將復(fù)雜化為簡單(2)1.3 利用幾何特征(3)2構(gòu)造輔助函數(shù)的方法探討(3)2.1常數(shù)變易法(3)2.1.1羅爾定理應(yīng)用舉例(3)2.1.2構(gòu)造輔助函數(shù)證明積分不等式(4)2.2原函數(shù)法(4)2.3微分方程法(6)1 / 182.4積分法(6)2.5函數(shù)

2、增量法(7)2.6參數(shù)變易法(7)3構(gòu)造輔助函數(shù)在微分中值定理證明中的應(yīng)用分析(8)3.1輔助函數(shù)構(gòu)造在拉格朗日定理中應(yīng)用(8)3.1.1應(yīng)用舉例(9)4結(jié)束語(10)參考文獻(xiàn)(10)Abstract(11)微積分學(xué)中輔助函數(shù)的構(gòu)造作 者：司玉會指導(dǎo)教師：葛玉麗摘要：構(gòu)造輔助函數(shù)是數(shù)學(xué)分析中解決問題的重要方法，在解決實(shí)際問題中有廣泛應(yīng)用通過研究微積分學(xué)中輔助函數(shù)構(gòu)造法，構(gòu)造與問題相關(guān)的輔助函數(shù)，從而得出欲證明的結(jié)論本文介紹了構(gòu)造輔助函數(shù)的概念及其重要性，分析了構(gòu)造輔助函數(shù)的原則，歸納了構(gòu)造輔助函數(shù)的幾種方法，并研究了構(gòu)造輔助函數(shù)在微積分學(xué)中的重要作用和應(yīng)用.關(guān)鍵詞：原函數(shù)法； 輔助函數(shù)；常數(shù)變

3、易法；函數(shù)增量法0引言當(dāng)某些數(shù)學(xué)問題使用通常辦法按定勢思維去考慮而很難奏效時(shí)，可根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論特征、性質(zhì)展開聯(lián)想，進(jìn)而構(gòu)造出解決問題的特殊模式構(gòu)造輔助函數(shù)輔助函數(shù)構(gòu)造法是數(shù)學(xué)分析中一個重要的思想方法，在數(shù)學(xué)分析中具有廣泛的應(yīng)用構(gòu)造輔助函數(shù)是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為已知的容易解決問題的一種方法，在解題時(shí)，常表現(xiàn)為不對問題本身求解，而是構(gòu)造一個與問題有關(guān)的輔助問題進(jìn)行求解1-2微積分學(xué)中輔助函數(shù)的構(gòu)造是在一定條件下利用微積分中值定理求解數(shù)學(xué)問題的方法通過查閱現(xiàn)有的大量資料發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)在國內(nèi)外對微積分學(xué)中輔助函數(shù)構(gòu)造法的研究比較多，其中有一部分研究的是輔助函數(shù)構(gòu)造法的思路3，但大部分研究的是輔助函數(shù)的構(gòu)造在

4、微積分學(xué)解題中的應(yīng)用4通過構(gòu)造輔助函數(shù)，可以解決數(shù)學(xué)分析中眾多難題，尤其是在微積分學(xué)證明題中應(yīng)用頗廣，且可達(dá)到事半功倍的效果1構(gòu)造輔助函數(shù)的原則輔助函數(shù)的構(gòu)造是有一定的規(guī)律的.當(dāng)某些數(shù)學(xué)問題使用通常的方法按定勢思維去考慮很難奏效時(shí)，可根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的特征,性質(zhì)展開聯(lián)想，進(jìn)而構(gòu)造出解決問題的特殊模式，這就是構(gòu)造輔助函數(shù)解題的一般思路.1.1將未知化為已知在一元微積分學(xué)中許多定理的證明都是在分析所給命題的條件、結(jié)論的基礎(chǔ)上構(gòu)造一個函數(shù)將要證的問題轉(zhuǎn)化為可利用的已知結(jié)論來完成的. 比如, 柯西中值定理的證明就是通過對幾何圖形的分析, 構(gòu)造輔助函數(shù)轉(zhuǎn)化為利用已知的羅爾定理加以證明; 在牛頓- 萊布

5、尼茲公式的證明中也是構(gòu)造輔助函數(shù)利用積分上限函數(shù)的性質(zhì)得到證明的.1.2 將復(fù)雜化為簡單一些命題較為復(fù)雜, 直接構(gòu)造輔助函數(shù)往往較困難, 可通過恒等變形, 由復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單, 從中探索輔助函數(shù)的構(gòu)造, 以達(dá)到解決問題的目的, 這種通過巧妙的數(shù)學(xué)變換, 將一般化為特殊, 將復(fù)雜問題化為簡單問題的論證思想, 是一元微積分學(xué)中的重要而常用的數(shù)學(xué)思維體現(xiàn).例 1 設(shè)函數(shù)， 都在上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo), 且. 證明在開區(qū)間內(nèi)存在一點(diǎn), 使得 分析 將證明的結(jié)論變形為, 直接思考哪個函數(shù)求導(dǎo)后為,發(fā)現(xiàn)不易找到這個函數(shù).進(jìn)一步考慮除以一個非零因子，不難發(fā)現(xiàn)所證結(jié)論可變形為.因此, 找到了輔助函數(shù).對此函數(shù)在 上

6、應(yīng)用羅爾定理即得要證的結(jié)論.證明 作輔助函數(shù) 因?yàn)椋荚谏线B續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo), 且.所以在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，并且，所以有羅爾定理知存在一點(diǎn)，使得即所以1.3 利用幾何特征利用幾何圖形直觀形象的特點(diǎn)構(gòu)造輔助函數(shù). 在各種版本的“高等數(shù)學(xué)” 和“數(shù)學(xué)分析”的書中, 微分中值定理的證明大多是利用對幾何圖形的分析,探索輔助函數(shù)的構(gòu)造, 然后加以證明的.2 構(gòu)造輔助函數(shù)的方法探討2.1常數(shù)變易法常數(shù)變易法的思想就是，將于證明題中的某個常量用變量代替而構(gòu)成輔助函數(shù)，對輔助函數(shù)進(jìn)行討論，使欲證明題得到證明.2.1.1 羅爾定理應(yīng)用舉例在微分學(xué)等式證明中，我們通過引入輔助函數(shù)來證明，而輔助函數(shù)構(gòu)造是關(guān)鍵，一般情況

7、下可以用常數(shù)變易發(fā)來構(gòu)造輔助函數(shù).例2函數(shù)在區(qū)間上可微，證明在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得證明 記，我們來證明因?yàn)?，將此式中?shù)用變量代替，構(gòu)成輔助函數(shù)顯然，則，在在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，且，有羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)，使得即 ， .由上面這些例子看出, 一般說來在微分學(xué)中凡聯(lián)系到區(qū)間端點(diǎn)的值與導(dǎo)數(shù)中間值的式子都可以用常數(shù)變易法加以證明.常數(shù)變易法在證明積分恒等式也是有效的.2.1.2 構(gòu)造輔助函數(shù)證明積分不等式例3 設(shè)時(shí)，,證明.證明 需證即可.把常量換作變量，引入函數(shù) , 所以 當(dāng)時(shí)，由拉格朗日中值定理， 所以 又因?yàn)?，所以是單調(diào)遞增的，有，所以，注意到 所以 當(dāng)時(shí)，有即 2.2 原函數(shù)法

8、在利用微分中值定理求解介值(或零點(diǎn)) 問題時(shí), 欲證明的結(jié)論往往是某個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn), 因此可通過不定積分反求出原函數(shù)作為輔助函數(shù).其步驟為: (1) 將欲證結(jié)論中的換成(2) 通過恒等變形, 將結(jié)論化為易積分的形式. (3) 用觀察法或湊微分等方法求出原函數(shù),為簡便起見,可將積分常數(shù)取為零.(4) 移項(xiàng), 使等式一邊為零, 則等式的另一邊即為所需的輔助函數(shù).例 4設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使分析 要證明，即證至少存在一點(diǎn)，使，用替換得，積分后得輔助函數(shù)證明 作輔助函數(shù)則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且所以 根據(jù)羅爾定理可知，至少存在一點(diǎn)使，即例 5若，在上可導(dǎo)，且則存在一個使分析 結(jié)

9、論中換成有即對等式兩邊積分，令得即可確定原輔助函數(shù)，證明 做輔助函數(shù)由題設(shè)條件知在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，因此，則滿足羅爾定理的條件：一個，使得 即 所以 2.3 微分方程法所謂“微分方程法”，是指在遇到諸如“求證: 存在，使得之類的問題時(shí), 可先解微分方程 得其通解，則輔助函數(shù)可構(gòu)造為 例 6 設(shè)函數(shù) 在上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo), 且, 試證 至少存在一點(diǎn)，使證明 將結(jié)論中的換成,得一階線性微分方程, 其通解為，即，于是可取輔助函數(shù)為則在上連續(xù), 在 內(nèi)可導(dǎo), 且并且, 由羅爾定理知, 存在, 使, 即有2.4 積分法將要證的結(jié)論轉(zhuǎn)化為對微分方程兩端進(jìn)行積分來構(gòu)造輔助函數(shù).例 7 設(shè)在內(nèi)可微, 證明在的

10、任何兩個零點(diǎn)之間必有的一個零點(diǎn).分析 設(shè)為的任何兩個零點(diǎn), 要證的是存在一點(diǎn)使得由于可微, 因此可用羅爾定理來證.其輔助函數(shù)構(gòu)造如下, 由得 兩端求不定積分得, , 令, 可得, 即，, 從而對輔助函數(shù)在上應(yīng)用羅爾定理即可.證明 做輔助函數(shù)，令為的任意兩個零點(diǎn).由在內(nèi)可微知在 上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)且. 由羅爾定理知使得即即2.5 函數(shù)增量法Lagrange 中值定理又稱為有限增量公式, 它將函數(shù)的增量與函數(shù)在一個點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值聯(lián)系起來, 因此在應(yīng)用中常用它來處理與函數(shù)增量有關(guān)的問題,因此利用函數(shù)的增量來構(gòu)造輔助函數(shù),也是常用的方法.例 8 設(shè)，在上可導(dǎo)，證明，使分析 左邊考慮到左端是函數(shù)增量的形式,

11、故考慮輔助函數(shù) ,注意到 ,對在上使用拉格朗日中值定理證明 做輔助函數(shù)由在上可導(dǎo)，則在上可微則，使得 即所以 2.6 參數(shù)變易法參數(shù)變易法是指把要證明的結(jié)論中的某個參 數(shù)“變易”為變量,從而構(gòu)造出輔助函數(shù)的方法.例 9 設(shè)在上單調(diào)遞增且連續(xù)，求證： 證明 不等式含有兩個參數(shù)，將其中的參數(shù) “變易”為變量，構(gòu)造如下輔助函數(shù)，易知，在上可導(dǎo)，且因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，從而故在上單調(diào)遞增，即 在此歸納總結(jié)了輔助函數(shù)構(gòu)造的六種方法和一般規(guī)律，一般的輔助函數(shù)構(gòu)造都以用這幾種方法來構(gòu)造，此外還有分析法，嘗試法，待定系數(shù)法5構(gòu)造輔助函數(shù)沒有什么萬能的方法，它是一種創(chuàng)造性思維的過程，具有較大的靈活性，運(yùn)用

12、基本的數(shù)學(xué)思想，經(jīng)過認(rèn)真的觀察，深入思考構(gòu)造輔助函數(shù)是解題關(guān)鍵.3 構(gòu)造輔助函數(shù)在微分中值定理證明中的應(yīng)用分析羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，積分中值定理是微積分學(xué)中的重要內(nèi)容6，這些定理貫穿了微積分學(xué)的始終，利用它們證明有關(guān)命題7，往往需要構(gòu)造輔助函數(shù)，便可以把微積分學(xué)中較難的問題轉(zhuǎn)化為易解決的問題，下面以拉格朗日中值定理為例說明輔助函數(shù)在解決微積分學(xué)問題中的應(yīng)用3.1 輔助函數(shù)構(gòu)造在拉格朗日中值定理中的應(yīng)用拉格朗日中值定理若函數(shù)滿足如下條件：(1) 在閉區(qū)間上連續(xù)；(2) 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得證明記 則作輔助函數(shù)則顯然有又因?yàn)樵陂]區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，所

13、以顯然有滿足羅爾定理的條件：(1) 在閉區(qū)間上連續(xù)；(2) 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；(3) ；所以在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，即從而定理得證3.1.1應(yīng)用舉例例10對一切，成立不等式證明構(gòu)造輔助函數(shù)，則由拉格朗日中值定理可得，當(dāng)時(shí)，由可推知，當(dāng)時(shí)，由可推得從而得到所要證明的結(jié)論例11設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，若不是線性函數(shù)，且，求證：使得證明利用原函數(shù)法構(gòu)造輔助函數(shù)， 則，在內(nèi)可導(dǎo)，且，因?yàn)椴皇蔷€性函數(shù)，所以，使若，則在上應(yīng)用拉格朗日中值定理，使 即.若，則在上應(yīng)用拉格朗日中值定理，使即所以4結(jié)束語輔助函數(shù)的構(gòu)造在數(shù)學(xué)分析中一直占有重要地位，尤其是在微積分學(xué)中，構(gòu)造輔助函數(shù)解題得到了廣泛的應(yīng)用8輔助函數(shù)的構(gòu)造

14、是我們解決問題的重要工具，對它的研究從沒中斷過，眾多數(shù)學(xué)工作者對微積分學(xué)中輔助函數(shù)的構(gòu)造做了很多研究，也取得了很多學(xué)術(shù)成果9本文從構(gòu)造輔助函數(shù)的基本概念入手，總結(jié)了幾種輔助函數(shù)的構(gòu)造方法，對其在微積分學(xué)中的應(yīng)用做了大量的問題舉例，同時(shí)也體現(xiàn)出了構(gòu)造輔助函數(shù)解決問題對培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的重要作用10參 考 文 獻(xiàn)1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊)M.北京：高等教育出版社，2001：119-127.2 陳靜等.淺析一元微積分學(xué)中的構(gòu)造輔助函數(shù)方法J.高等數(shù)學(xué)研究.2006(9):16-18.3 李君士.兩個微分中值定理證明中輔助函數(shù)的多種作法J.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2004，（10）；165

15、-169.4 丁凱.微分中值定理在輔助函數(shù)構(gòu)造中的應(yīng)用初探J.魅力中國.2010(4):475 夏銀紅,王寶銀 Lagrange 定理證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造J.黃淮學(xué)院學(xué)報(bào)2010.09.6 惠存陽.對微分中值定理證明中輔助函數(shù)構(gòu)造探討J.延安教育學(xué)報(bào).1997(2):26-27.7 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊）M. 北京：高等教育出版社，2002:127-131.8 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法M.北京：高等教育出版社，2006：206-222.9 趙志云.微分中值定理教學(xué)的幾點(diǎn)思考J.陰山學(xué)刊，自然科學(xué)報(bào).1998(12):72-73.10 曹金文.教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生猜想和分析

16、能力的嘗試J.1994(4):56-58.Construct The Auxiliary Function In The CalculusSI Yu-huiAbstract :The construction of auxiliary function in mathematical analysis is the important method to solve the problem ,in the solution of practical problems have wide application. Through the research on the construction

17、of auxiliary function in calculus, construction and problems related to the auxiliary function , thus to prove the conclusion. This paper introduces the concept and importance of constructing auxiliary function, analysis of the structural auxiliary function principle , summarizes several methods of constructing auxiliary function, a