微積分的基本運(yùn)算

1、第4章 微積分的基本運(yùn)算本章學(xué)習(xí)的主要目的：1 復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)中有關(guān)函數(shù)極限、導(dǎo)數(shù)、不定積分、定積分、二重積分、級(jí)數(shù)、方程近似求解、常微分方程求解的相關(guān)知識(shí).2通過作圖和計(jì)算加深對(duì)數(shù)學(xué)概念：極限、導(dǎo)數(shù)、積分的理解.3 學(xué)會(huì)用MatLab軟件進(jìn)行有關(guān)函數(shù)極限、導(dǎo)數(shù)、不定積分、級(jí)數(shù)、常微分方程求解的符號(hào)運(yùn)算；4了解數(shù)值積分理論,學(xué)會(huì)用MatLab軟件進(jìn)行數(shù)值積分;會(huì)用級(jí)數(shù)進(jìn)行近似計(jì)算.1 有關(guān)函數(shù)極限計(jì)算的MatLab命令 (1)limit(F,x,a) 執(zhí)行后返回函數(shù)F在符號(hào)變量x趨于a的極限 (2)limit(F,a) 執(zhí)行后返回函數(shù)F在符號(hào)變量findsym(F)趨于a的極限 (3)limit

2、(F) 執(zhí)行后返回函數(shù)F在符號(hào)變量findsym(F)趨于0的極限52 / 36 (4)limit(F,x,a,left) 執(zhí)行后返回函數(shù)F在符號(hào)變量x趨于a的左極限 (5)limit(F,x,a,right) 執(zhí)行后返回函數(shù)F在符號(hào)變量x趨于a的右極限注:使用命令limit前,要用syms做相應(yīng)符號(hào)變量說明.例7 求下列極限(1)在MatLab的命令窗口輸入:syms xlimit(cos(x)-exp(-x2/2)/x4,x,0)運(yùn)行結(jié)果為ans =-1/12理論上用洛必達(dá)法則或泰勒公式計(jì)算該極限:方法1 方法2 (2) %自變量趨于無窮大,帶參數(shù)t在MatLab的命令窗口輸入:syms

3、x tlimit(1+2*t/x)(3*x),x,inf)運(yùn)行結(jié)果為ans =exp(6*t)理論上用重要極限計(jì)算:(3) %求右極限在MatLab的命令窗口輸入:syms x limit(1/x,x,0,right)運(yùn)行結(jié)果為ans = inf2 有關(guān)函數(shù)導(dǎo)數(shù)計(jì)算的MatLab命令(1)diff(F,x) 表示表達(dá)式F對(duì)符號(hào)變量x求一階導(dǎo)數(shù)，允許表達(dá)式F含有其他符號(hào)變量，若x缺省，則表示對(duì)由命令syms定義的變量求一階導(dǎo)數(shù)。(2)diff(F,x,n) 表示表達(dá)式F對(duì)符號(hào)變量x求n階導(dǎo)數(shù)。例10 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1） 已知,求；在MatLab的命令窗口輸入如下命令序列:syms x y=x

4、*asin(x/2)+sqrt(4-x2)diff(y,x) %執(zhí)行結(jié)果ans = asin(1/2*x)與理論推導(dǎo)完全吻合。diff(y,x,3) %執(zhí)行結(jié)果ans = 1/(4-x2)(3/2)*x與理論推導(dǎo)完全吻合。（2） 已知,求在MatLab的命令窗口輸入如下命令序列:syms x y zz=x2*sin(2*y);diff(z,x) %執(zhí)行結(jié)果ans =2*x*sin(2*y)diff(z,x,2) %執(zhí)行結(jié)果ans =2*sin(2*y)diff(diff(z,x),y) %執(zhí)行結(jié)果ans =4*x*cos(2*y)（3） 已知,求 (復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù))在MatLab的命令窗口

5、輸入如下命令序列:syms x y z uz=x2+y2;u=(x-y)z;diff(u,x) %執(zhí)行結(jié)果 (x-y)(x2+y2)*(2*x*log(x-y)+(x2+y2)/(x-y)diff(u,y,2) %執(zhí)行結(jié)果(x-y)(x2+y2)*(2*y*log(x-y)-(x2+y2)/(x-y)2+(x-y)(x2+y2)*(2*log(x-y)-4*y/(x-y)-(x2+y2)/(x-y)2)diff(diff(u,x),y) %執(zhí)行結(jié)果 (x-y)(x2+y2)*(2*y*log(x-y)-(x2+y2)/(x-y)*(2*x*log(x-y)+(x2+y2)/(x-y)+(x-y

6、)(x2+y2)*(-2*x/(x-y)+2*y/(x-y)+(x2+y2)/(x-y)2)3 極值問題MatLab軟件提供了求一元和多元函數(shù)極值問題的命令：fmin(f,x1,x2) 求函數(shù)f(x)在x1<x<x2區(qū)間取到極小值對(duì)應(yīng)的x值。fmins('f',x1,x2),求二元函數(shù)在點(diǎn)（x1 x2）附近的極值點(diǎn)。例12 求函數(shù)的極值，并作圖。 在MatLab的命令窗口輸入如下命令序列:syms xf=2.*x.3-6.*x.2-18.*x+7; xmin=fmin('2.*x.3-6.*x.2-18.*x+7',-5,5) x=xmin; min

7、y3=subs(f) a31='-2.*x.3+6.*x.2+18.*x-7' xmax=fmin(a31,-5,5) x=xmax; maxy3=subs(f)fplot('2.*x.3-6.*x.2-18.*x+7',-5 5)grid on 執(zhí)行結(jié)果：xmin =3.0000 %在x3處取極小值miny3 =-47.0000 %極小值為47xmax = -1.0000 %在x1處取極大值maxy3 =17.0000 極大值為17圖15 4方程的數(shù)值求解方法fzero(f，x0) %在xx0附近求f(x)=0的近似解。例14 用MatLab函數(shù)、編程二分法、

8、切線法三種方法求方程的實(shí)根的近似值，使誤差不超過。解 令,顯然f(x)在內(nèi)連續(xù)。因?yàn)?，故f(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，至多有一個(gè)實(shí)根。由，知在0,1內(nèi)有唯一的實(shí)根。取a=0,b=1,0,1即是一個(gè)隔離區(qū)間。先畫出函數(shù)f(x)的圖形,如圖17,在MatLab的命令窗口輸入如下命令：f= 'x3+1.1*x2+0.9*x-1.4 'fplot(f,0,1)grid on 圖17f= 'x3+1.1*x2+0.9*x-1.4 'fzero(f,1) 運(yùn)行結(jié)果為：ans =0.6707 5 有關(guān)計(jì)算函數(shù)不定積分的MatLab命令int(f) 求函數(shù)f關(guān)于syms定義的符號(hào)變量的

9、不定積分；int(f,v) 求函數(shù)f關(guān)于變量v的不定積分。注：MatLab在不定積分結(jié)果中不自行添加積分常數(shù)C例15 用MatLab軟件，計(jì)算下列不定積分在MatLab的命令窗口輸入如下命令：syms xint('x3*exp(-x2)',x)執(zhí)行結(jié)果：ans =-1/2*x2/exp(-x2)-1/2/exp(-x2)6 有關(guān)計(jì)算函數(shù)定積分的MatLab命令int(f,a,b) 求函數(shù)f關(guān)于syms定義的符號(hào)變量從a到b的定積分；int(f,v,a,b) 求函數(shù)f關(guān)于變量v從a到b的定積分。例17 用MatLab軟件求下列定積分：（1）（2）在MatLab的命令窗口輸入如下命

10、令序列:（1）syms x;y=log(x)*x(-0.5);int(y,1,4)運(yùn)行結(jié)果:ans = 8*log(2)-4（2）syms x;y=(x*(1+x)3)(-0.5);int(y,x,0,inf)8二重積分目前,MatLab還沒有求二重積分的命令,我們用定積分的int命令,結(jié)合函數(shù)圖形的觀察,完成對(duì)二重積分的計(jì)算.例19 計(jì)算,其中D為直線圍成區(qū)域.具體步驟如下:(1) 劃定積分區(qū)域:syms xy1=2*x;y2=x/2;y3=12-x;ezplot(y1,-2,12)hold onezplot(y2,-2,12) ezplot(y3,-2,12)title('積分區(qū)域

11、')結(jié)果如圖20 ,三條直線相交所圍區(qū)域即為積分區(qū)域. (2) 確定交點(diǎn)的橫坐標(biāo):xa=fzero('2*x-x/2',0)xb=fzero('2*x-12+x',4) xc=fzero('12-x-x/2',8) 圖20 結(jié)果為:xa = 0 xb = 4xc = 8(3)化二重積分為累次積分 .在MatLab的命令窗口輸入:syms x y zz=x2/y2;dx1=int(z,y,x/2,2*x);j1=int(dx1,0,4);dx2=int(z,y,x/2,12-x);j2=int(dx2,4,8);jf=j1+j2結(jié)果為: j

12、f =132-144*log(2)9 MatLab級(jí)數(shù)求和命令: symsum(s) %s為待求和的級(jí)數(shù)的通項(xiàng)表達(dá)式,求出關(guān)于系統(tǒng)默認(rèn)變量如k從0到k-1的級(jí)數(shù)有限項(xiàng)的和,如不能確定s的默認(rèn)變量,則用findsym(s)來查.symsum(s,v) %v為求和變量,求出v由0到v-1的級(jí)數(shù)有限項(xiàng)的和.symsum(s,v,a,b) %求出v由a到b的級(jí)數(shù)有限項(xiàng)的和.例22 syms ksimple(symsum(k) 1/2*k*(k-1) simple(symsum(k,0,n-1) 1/2*n*(n-1) simple(symsum(k,0,n) 1/2*n*(n+1) simple(sy

13、msum(k2,0,n) 1/6*n*(n+1)*(2*n+1) symsum(k2,0,10) 385 symsum(k2,11,10) 0 symsum(1/k2,1,Inf) 1/6*pi210 冪級(jí)數(shù) MatLab完成泰勒展開命令:下面f代表待展開的函數(shù)表達(dá)式,taylor(f) %求出函數(shù)f關(guān)于系統(tǒng)默認(rèn)變量的麥克勞林型的6階近似展開.taylor(f,n) %求出函數(shù)f關(guān)于系統(tǒng)默認(rèn)變量的麥克勞林型的n階近似展開.taylor(f,v) %求出函數(shù)f關(guān)于變量v的麥克勞林型的6階近似展開.taylor(f,a) %求出函數(shù)f關(guān)于系統(tǒng)默認(rèn)變量等于a處的麥克勞林型的6階近似展開.taylor

14、(f,n,v,a) %求出函數(shù)f關(guān)于變量v等于a處的麥克勞林型的n階近似展開.例23 求函數(shù)在x=1處的3階泰勒展式.syms xtaylor(exp(x),x,4,1)執(zhí)行后得到:ans = exp(1)+exp(1)*(x-1)+1/2*exp(1)*(x-1)2+1/6*exp(1)*(x-1)311常微分方程在MatLab中的表達(dá)方式為:符號(hào)D表示對(duì)變量的求導(dǎo),Dy表示對(duì)變量y求一階導(dǎo)數(shù), Dny表示對(duì)變量求n階導(dǎo)數(shù).dsolve(diff_equation) % diff_equation為待求解的常微分方程,自變量為t,得方程的通解dsolve(diff_equation,var)

15、 % diff_equation為待求解的常微分方程,自變量為vardsolve(diff_equation,cond1, cond2,var) %帶初始條件的常微分方程例27 解常微分方程syms x diff_equ='D2y+y=x*cos(2*x)'y=dsolve(diff_equ, 'x')解得結(jié)果為:y =(1/2*cos(x)+1/2*x*sin(x)+1/18*cos(3*x)+1/6*x*sin(3*x)*sin(x)+(-1/18*sin(3*x)+1/6*x*cos(3*x)+1/2*sin(x)-1/2*x*cos(x)*cos(x)+

16、C1*sin(x)+C2*cos(x)例28 求常微分方程滿足的特解.syms x diff_equ='D3y D2y=x'y=dsolve(diff_equ, 'y(1)=8', 'Dy(1)=7', 'D2y(1)=4','x')解得結(jié)果為:y =-1/2*x2-1/6*x3+1/6+5/2*x+6/exp(1)*exp(x)4.9 上機(jī)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1 用描點(diǎn)法列出數(shù)列從第1項(xiàng)到第1000項(xiàng),觀察數(shù)列的極限,若,N可以取多少?2作圖觀察當(dāng)時(shí),的極限,若,取多少,使當(dāng)時(shí),?3 用MatLab軟件求極限,并理論上推導(dǎo)計(jì)

17、算.4 用MatLab軟件求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）已知求（2）已知，求（3）已知,求5 已知函數(shù),按要求完成下面的任務(wù)：（1）用MatLab軟件求函數(shù)的一階，二階導(dǎo)函數(shù)（2）畫出函數(shù)y及其一階、二階導(dǎo)函數(shù)曲線，觀察單調(diào)區(qū)間，凹凸區(qū)間以及極值點(diǎn)，拐點(diǎn)（3）用作圖觀察法找出函數(shù)的四個(gè)零點(diǎn)，四個(gè)極值點(diǎn)和四個(gè)拐點(diǎn)，與其相應(yīng)的理論值比較。（要求結(jié)果保留三位小數(shù)）6 使用MatLab軟件求下列積分：（1） (2) (3)（4）7 使用MatLab軟件求二重積分：,其中D是由圓周及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域.8 用下面不同方法近似的值,并和準(zhǔn)確值比較.方法1利用和近似的值.方法2 利用方法3 利用方

18、法4 利用方法5 利用方法6利用9 求解微分方程4.10 上機(jī)操作步驟1在MatLab的命令窗口輸入如下命令序列:clfsubplot(1,2,1)hold ongrid onn=1:1000;m=1./n.*cos(n*pi/2);plot(n,m,'k.')觀察數(shù)列的散點(diǎn)圖22,當(dāng)n趨于無窮大時(shí),數(shù)列趨于 subplot(1,2,2)hold ongrid onn=500:10000;m=1./n.*cos(n*pi/2);plot(n,m,'k.')fplot('0.001',500,10000)fplot('-0.001'

19、,500,10000)axis(500,10000,-0.005,0.005)觀察圖23,當(dāng)時(shí),可以取N= ,當(dāng)n>N時(shí)有.圖22 圖232 在MatLab的命令窗口輸入如下命令序列:clfsubplot(1,2,1)hold ongrid onfplot('x.*x',1,3)觀察函數(shù)圖24, 當(dāng)時(shí),的極限是 subplot(1,2,2)hold ongrid onfplot('x.*x',1.9,2.1)fplot('4.001', 1.9,2.1)fplot('3.999', 1.9,2.1)axis(1.9997,2

20、.0005,3.9989,4.0011) % 調(diào)整顯示圖形的范圍是該實(shí)驗(yàn)的重點(diǎn)觀察圖25,當(dāng)時(shí), 取 ,使當(dāng)時(shí),?圖24 圖253 在MatLab的命令窗口輸入:syms xlimit(2.x-log(2.x)-1)./(1-cos(x),x,0)運(yùn)行結(jié)果為ans = 理論上用洛必達(dá)法則計(jì)算該極限:= 4 在MatLab的命令窗口輸入如下命令序列:（1）syms xy=sqrt(x+2)*(3-x)4/(x+1)5diff(y,x) 求一階導(dǎo)數(shù)運(yùn)行結(jié)果 x=1;eval(y) 求導(dǎo)數(shù)在x1處的值運(yùn)行結(jié)果 = （2）syms xy=exp(x)*cos(x)diff(y,x,4) 求運(yùn)行結(jié)果 =

21、 （3）已知,求在MatLab的命令窗口輸入如下命令序列:syms x y zz=log(x+y2)*xydiff(z,x) 運(yùn)行結(jié)果 diff(z,x,2) 運(yùn)行結(jié)果 diff(diff(z,x),y)運(yùn)行結(jié)果 5 （1）作函數(shù)f(x)的曲線，求f(x)的零點(diǎn)。在MatLab的命令窗口輸入如下命令序列:syms xy=x2*sin(x2-x-2);d1=diff(y,x) % 求一階導(dǎo)數(shù)d2=diff(d1,x) % 求二階導(dǎo)數(shù) subplot(1,3,1)hold on grid on ezplot(y,-2 2) %作函數(shù)f(x)的曲線title('f(x)')下面用作圖

22、觀察法求函數(shù)f（x）的各零點(diǎn)：觀察圖26，可知函數(shù)f(x)在區(qū)間-2,2上有4個(gè)零點(diǎn)，分別為-1，0，2，還有一個(gè)零點(diǎn)位于區(qū)間-2,1上，下面通過不斷縮小零點(diǎn)的取值范圍，在區(qū)間-2,1上求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，輸入命令序列：axis(-2,-1.5,-0.1,0.1) 見圖27axis(-1.9,-1.8,-0.01,0.01) %見圖28 axis(-1.85,-1.8,-0.001,0.001) %見圖29axis(-1.84,-1.82,-0.001,0.001) %見圖30axis(-1.825,-1.82,-0.001,0.001) %見圖31axis(-1.823,-1.821,-0

23、.001,0.001) %見圖32axis(-1.822,-1.8215,-0.001,0.001) %見圖33axis(-1.8218,-1.8216,-0.0001,0.0001) %見圖34圖26圖27圖28用作圖法得零點(diǎn)的近似值為： 圖29 圖30 圖31 圖32 圖33 圖34 方法2在區(qū)間-2,-2上用求根公式求零點(diǎn)，在命令窗口輸入如下命令：f1=char(y);fzero(f1,-2)運(yùn)行結(jié)果得近似零點(diǎn)為 fzero(f1,-1)運(yùn)行結(jié)果 fzero(f1,0)運(yùn)行結(jié)果 fzero(f1,2)運(yùn)行結(jié)果 比較作圖法和求根公式法，結(jié)論是 。（2）作函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的曲線，求駐點(diǎn)。在Mat

24、Lab的命令窗口輸入如下命令序列:subplot(1,3,2)hold on grid on ezplot(d1,-2,2)title ('一階導(dǎo)數(shù)f(x)')觀察圖36，可知一階導(dǎo)數(shù)在區(qū)間-2,2有4個(gè)零點(diǎn)，近似值為-1.5,-0.8,0,1.5,下面用求根公式計(jì)算較精確的零點(diǎn)值，輸入命令：f2=char(d1);x=fzero(f2,-1.5)eval(y)運(yùn)行結(jié)果，記該零點(diǎn)為x1 ，f(x1)= x=fzero(f2,-0.8)eval(y)運(yùn)行結(jié)果，記該零點(diǎn)為x2 ，f(x2)= x=fzero(f2,0) eval(y)運(yùn)行結(jié)果，記該零點(diǎn)為x3 ，f(x3)= x=f

25、zero(f2,1.5) eval(y)運(yùn)行結(jié)果，記該零點(diǎn)為x4 ，f(x4)= 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與一階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，可得函數(shù)f(x)的單增區(qū)間為 ，單減區(qū)間為 。根據(jù)函數(shù)圖形，可判別函數(shù)的極大值點(diǎn)為 ，極小值點(diǎn)為 。圖35 圖36 圖37（3）作函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的曲線，求拐點(diǎn)。在MatLab的命令窗口輸入如下命令序列:subplot(1,3,3)hold on grid on ezplot(d2,-2,2) title ('二階導(dǎo)數(shù)f(x) ')觀察圖37，可知二階導(dǎo)數(shù)在區(qū)間-2,2有4個(gè)零點(diǎn)，近似值為-1.9,-1.3,0.5,1.2,下面用求根公式計(jì)算較精確的零點(diǎn)值，輸入命令：f

26、3=char(d2);x=fzero(f3,-1.9)eval(y)運(yùn)行結(jié)果，記該零點(diǎn)為x5 ，f(x5)= x=fzero(f3,-1.3)eval(y)運(yùn)行結(jié)果，記該零點(diǎn)為x6 ，f(x6)= x=fzero(f3,0.5) eval(y)運(yùn)行結(jié)果，記該零點(diǎn)為x7 ，f(x7)= x=fzero(f3,1.2) eval(y)運(yùn)行結(jié)果，記該零點(diǎn)為x8 ，f(x8)= 根據(jù)函數(shù)凹凸性與二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，可得函數(shù)f(x)的凹區(qū)間為 ，凸區(qū)間為 。根據(jù)函數(shù)圖形37，可判別函數(shù)的拐點(diǎn)為 。6 使用MatLab軟件求下列積分：（1） (2) (3)在MatLab的命令窗口輸入如下命令序列:（1）sym

27、s x;y=x*cos(x)*(sin(x)(-3);int(y)運(yùn)行結(jié)果:ans = (2) syms x;y=x*exp(x)*(exp(x)1)(-2);int(y)運(yùn)行結(jié)果:ans = （3）syms x;y= exp(2*x)*cos(x);int(y,0,pi/2)運(yùn)行結(jié)果:ans = (4) quad('exp(-x.2)',0,1)運(yùn)行結(jié)果:ans = 7,其中D是由圓周及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域.具體步驟如下:(1)劃定積分區(qū)域: ezplot('x2+y2-1',0,1,0,1) 結(jié)果如圖38,D為積分區(qū)域. (2)化二重積分為累次

28、積分 . 圖38在MatLab的命令窗口輸入如下命令 syms x y zz=x2+y2;dx1=int(z,y,0,sqrt(1-x2);jf=int(dx1,0,1);結(jié)果為:jf = 8用MatLab創(chuàng)建函數(shù)pii.m文件實(shí)現(xiàn)方法i對(duì)進(jìn)行近似, n代表展開階數(shù),function zhi=pi1(n)syms x s tt=atan(x);s=taylor(t,n);x=1;zhi=4*eval(s);function zhi=pi2(n)syms x tt=1/(2*x-1)2;zhi=symsum(t,1,n);function zhi=pi3(n)syms x tt=(-1)(x-1)/x2;zhi=sqrt(