實變函數(shù)試卷及答案

1、題號一二三四五總分滿分2010102040100得分閱卷人復(fù)核人課程名稱： 實變函數(shù) 任課教師： 劉文苗 考試時間：120分鐘 一考試性質(zhì)(學(xué)生填寫“，”)：正常考試()緩考補考()重修()提前修讀()一滿分 20 | 一、判斷正誤(每小題2分) W滿分20得分,則 mE m(E A)()二E,f(x) 0,則 f(x) 0.()二0,1和0,1之間1 1對應(yīng)的映射. 二()一() _滿分10得分邯鄲學(xué)院2009-2010學(xué)年第一學(xué)期二2007級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本科期末考試試卷(A)_一 1、若一個點不是E的聚點，則必然也不是E的內(nèi)點.()二一封2、若f(x)g(x),a.e.于E,f(x)

2、在可測集E上可測，則g(x)也在E上可二一一測.()二一 3、若f(x)在可測集E上可測，則f(x)在E的任意可測子集上也可測.()二_二4、任意個開集的交也是開集.一5、可列集在無限集中具有最小的勢.一6、若E可測，A可測，且m(AE)0一 7、設(shè)f(x)在可測集E上可積分，若x一密8、由于0,10,10,1,故不存在使一 9、ae收斂的函數(shù)列必依測度收斂. 10、連續(xù)函數(shù)一定是有界變差函數(shù)./、填空題(每空2分)二本試卷共6頁第1頁一-1.1、設(shè)A2n1(0,),An(0,n),n1,2,則集列An的上限集為n2、設(shè)P為Cantor集，則mP.3、設(shè)Q為有理數(shù)集，則04、f(x)可測的條件

3、是它可以表成一列簡單函數(shù)的極限函數(shù).(填“充分”，“必要”，“充要”)5、設(shè)mE,則有LpL1,(P1).滿分10三、單項選擇題(每小題2分)得分1、下列斷言中()是錯誤的.(A)零測集是可測集；(B)可數(shù)個零測集的并是零測集；(C)任意個零測集的并是零測集；(D)零測集的任意子集是可測集.2、設(shè)f(x)是a,b上絕對連續(xù)函數(shù)，則下面不成立的是().(A)f(x)在a,b上的一致連續(xù)函數(shù)；(B)f(x)在a,b上處處可導(dǎo)；(C)f(x)在a,b上L可積；(D)f(x)是有界變差函數(shù).3、設(shè)fn(x)是E上的ae有限的可測函數(shù)列，則下面不成立的是().(A)若fn(x)f(x),則fn(x)f(

4、x)；(B)SUpfn(x)是可測函數(shù)；n(C)inffn(x)是可測函數(shù)；(D)若fn(x)f(x)，則f(x)可測.n4、若f(x)是可測函數(shù)，則下列斷言()是正確的.(A) f(x)在a,bL可積|f(x)|在a,bL可積；(B) f(x)在a,bR可積|f(x)|在a,bR可積；本試卷共6頁第2頁(C)f(x)在a,bL可積|f(x)|在a,bR可積；(D)f(x)在a,R廣義可積f(x)在a,+L可積.5、設(shè)f(x)是a,b上有界變差函數(shù)，則下面不成立的是().(A)f(x)在a,b上有界；(B)f(x)在a,b上幾乎處處存在導(dǎo)數(shù)；b(C)f'(x)在a,b上L可積；(D)f'(x)dxf(b)f(a).a滿分20四、計算題(每小題10分)得分2、一x,xP，1、設(shè)f(x),其中Po為Cantor集，計算rndlf(x)dm.Vx,x0,1Po0'12、求極限lim01nlexcosxdx_滿分40五、證明題(每小題10分)_得分二1、設(shè)f(x)是，上的實值連續(xù)函數(shù)，則對于任意常數(shù)a,Ex|f(x)a_是閉集.2、設(shè)在E上fn(x)f(x)，而fn(x)gn(x)a.e.成立，n1,2,則有g(shù)n(x)f(x).本試卷共6頁第3頁本試卷共6頁第5頁3、設(shè)f(x)是E上ae有限的函數(shù)，若對任意0,存在閉子集FE,使f(x)在F上連續(xù)，且m(E