數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)畢業(yè)論文-向量在立體幾何中的應用

1、向量在立體幾何中的應用摘要作為現(xiàn)代數(shù)學的重要標志之一的向量已進入了中學數(shù)學教學， 為用代數(shù)方法研究幾何問題提供了強有力的工具，促進了高中幾何的代數(shù)化 . 而在高中數(shù)學體系中，幾何占有很重要的地位，有些幾何問題用常規(guī)方法去解決往往比較復雜，運用向量作行與數(shù)的轉化，則使過程得到大大的簡化 . 向量法應用于平面幾何中時，它能將平面幾何許多問題代數(shù)化、 程序化從而得到有效的解決， 體現(xiàn)了數(shù)學中數(shù)與形的完美結合 . 立體幾何常常涉及到的兩大問題：證明與計算，用空間向量解決立體幾何中的這些問題， 其獨到之處， 在于用向量來處理空間問題， 淡化了傳統(tǒng)方法的有“形”到“形”的推理過程，使解題變得程序化 .裝關

2、鍵詞：向量；立體幾何；證明；計算；運用訂線ABSTRACTAs one of the important signs of modern mathematics the vector has entered middle school mathematics teaching, using algebraic method research geometry problems provides powerful tools, promoted the high school of the geometry of algebra. And in the high school mathemati

3、cs system, geometric occupies a very important position, some geometry problems with conventional method to solve tend to be complex, using vector for the number of rows and transformation, makes the process is greatly simplified. Vector method was used the plane geometry, it will be when the plane

4、geometry many problems algebra effectively, programmed to solve, reflected in mathematics, the perfect combination of Numbers and forms. Three-dimensional geometry often involved the two big problems: proof and calculation, with space vector solve three-dimensional geometry in these problems, its un

5、ique, is using vector to deal with the problem of space, fade the traditional methods are "form" to "form" reasoning process, causes the problem-solving become programmed.Keywords： Vector; solid geometry; proof; calculation; use合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）目錄摘要 . .ABSTRACT.1 向量方法在研究幾何問

6、題中的作用 .12 向量方法解決證明問題的直接應用 .22.1 平行問題 .22.1.1證明兩直線平行 .22.1.2證明線面平行 .32.2 垂直問題 .42.2.1證明兩直線垂直 .42.2.2證明線面垂直 .42.2.3證明面面垂直 .52.3 處理角的問題 .62.3.1求異面直線所成的角 . .62.3.2求線面角 .72.3.3求二面角 .83 向量方法解決度量問題的直接應用 .103.1兩點間的距離 .103.2點與直線距離 .103.3點到面的距離 .113.4求兩異面直線的距離 .113.5求面積 .12合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）3.6求體積 .134向量

7、方法解決證明與計算問題有關的綜合應用.145向量在立體幾何中應用的教學反思 .215.1對比綜合法與向量法的利弊 . .215.2向量法解決立體幾何問題的步驟 . .225.3向量法能解決所有立體幾何問題嗎 . .22參考文獻 . .23合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）1 向量方法在研究幾何問題中的作用 1向量是高中數(shù)學新增加的內容， 在作用上它取代了以往復數(shù)在高中數(shù)學教材中的地位，但從目前的使用情況來看，向量的作用要遠遠大于復數(shù). 一個復數(shù)所對應的點只能在平面上， 而向量卻有平面向量和空間向量之分，這一點在與幾何（尤其是立體幾何）的聯(lián)系上表現(xiàn)得更加突出. 向量知識、向量觀點在數(shù)

8、學、物理等學科的很多分支上都有著廣泛的應用，它具有代數(shù)形式和幾何形式的 “雙重身份”，能融數(shù)形于一體，能與中學數(shù)學教學內容中的許多主干知識相結合，形成知識交匯點 . 向量進入高中數(shù)學教材，為用代數(shù)方法研究幾何問題提供了強有力的工具，促進了高中幾何的代數(shù)化 . 而在高中數(shù)學體系中，幾何占有很重要的地位，有些幾何問題用常規(guī)方法去解決往往比較繁雜， 而運用向量作形與數(shù)的轉化，則能使過程得到大大的簡化 . 用向量法解決幾何問題有著思路清晰、過程簡潔的優(yōu)點，往往會產生意想不到的神奇效果 . 著名教育家布魯納說過：“學習的最好刺激是對所學材料的興趣，簡單的重復將會引起學生大腦疲勞，學習興趣衰退 . ”這充

9、分揭示了方法求變的重要性，如果我們能重視向量的教學，重視學生在學習向量過程中產生的障礙并且提供相應的教學對策， 必然能引導學生拓展思路，減輕他們的學習負擔 .向量方法在解決幾何問題時充分體現(xiàn)了它的優(yōu)越性，平面向量就具有較強的工具性作用，向量方法不僅可以用來解決不等式、三角、復數(shù)、物理、測量等某些問題，還可以簡捷明快地解決平面幾何許多常見證明（平行、垂直、共線、相切、角相等）與求值（距離、角、比值等）問題. 不難看出向量法應用于平面幾何中時，它能將平面幾何許多問題代數(shù)化、程序化從而得到有效的解決，體現(xiàn)了數(shù)學中數(shù)與形的完美結合.向量法是將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)方法研究幾何問題 . 立體幾何的證明與

10、計算常常涉及到兩大問題：一是位置關系，它主要包括線線垂直、線面垂直、線線平行、線面平行；二是度量問題，它主要包括點到線、點到面的距離，線線、線面所成的角，面面所成角等 .用空間向量解決立體幾何中的這些問題， 其獨到之處，在于用向量來處理空間問題，淡化了傳統(tǒng)方法的有“形”到“形”的推理過程，使解題變得程序化 .那么解立體幾何題時就可以用向量方法， 對某些傳統(tǒng)性較大， 隨機性較強的立體幾何問題，引入向量工具之后，可提供一些通法 .合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）2 向量方法解決證明問題的直接應用2.1 平行問題 22.1.1 證明兩直線平行A, Ba; C, Db, ABCDa /

11、b .知 AB(x, y ), CD( x, y) ，則有 x1 y2x2 y1a / b .1122例 1已知直線OA平面，直線 BD平面， O、 B 為垂足，求證：OA/BD.證明：如上圖，以點 O為原點，以射線 OA為 z 軸，建立空間直角坐標系Oxyz ，i , j , k 為沿 x軸， y 軸， z 軸的坐標向量，且設 BD( x, y, z) ， BD， BDi, BD j BD i(x, y, z) (1,0,0)x0 ，BD j(x, y, z) ( 0,1,0)y0 ， BD(0,0, z) BDzk ，又知 O、B 為兩個不同的點， BD / OA .方法思路：在兩條直線上

12、分別取不同的兩點得到兩向量，轉化為證明兩向量平行 .合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）2.1.2證明線面平行1、線 a 面A, B a，面的法向量為 n ，AB n 0AB nAB / .，方法思路：求面的法向量， 在直線找不同兩點得一向量， 證明這一向量與法向量垂直（即證明數(shù)量積為0），則可得線面平行 .2、已知面外的直線 a 的方向向量為 a ， e1 , e2 是平面的一組基底（不共線的向量），若 a1 e12 e2a / .例 2如上圖 , 正方形 ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面互相垂直 ,P 、Q分別是對角線 AC、BF 上的一點 , 且 AP = FQ, 求證

13、 :PQ平面 BCE.證明：設 APAC ， AP = FQ, FQFB ， PQPAAFFQ=ACBEFB=ABBCBEBEAB=BC(1)BE PQ / 平面 BCE.方法思路： 證明直線的方向向量可用平面的一組基底線性表示（即在平面內存在一向量與方向相等），則可得面內一直線與面外的線平行，從而證明線面平行.2.1.3面面平行1、不重合的兩平面與的法向量分別是 m 和 n ， mn/.方法思路：求平面的法向量，轉化為證明兩法向量平行，則兩平面平行.合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）2、不重合的兩平面與，面的法向量為 m ，若 m/.方法思路：求出其中一平面的法向量， 再證該法向

14、量與另一面的不共線的兩向量數(shù)量積為 0（即垂直），則可得兩平面平行 .2.2 垂直問題 32.2.1證明兩直線垂直不重合的直線 a 和直線 b 的方向向量分別為 a 和 b ，則有 a b0ab .例 3 如圖，已知四棱錐 P-ABCD的底面為等腰梯形， AB/ CD,AC BD，垂足為 H，PH 是四棱錐的高， E 為 AD 中點 . 證明：PEBC證明：以H 為原點，HA , HB , HP分別為x, y, z 軸，線段 HA 的長為單位長， 建立空間直角坐標系如圖，則 A(1,0,0), B(0,1,0)設 C (m,0,0),P(0,0, n)(m0, n0) ，則 D ( 0, m,

15、0), E( 1 , m ,0) ，22可得1m ,n),BC( ,1,0)，PE (,m22因為 PE BCmm00 ，22所以PEBC .2.2.2 證明線面垂直直線 l 的方向向量為 a 4 ，平面 的方向向量為 m ，則有 am l.例 4，如圖，m, n 是平面內的兩條相交直線 . 如果 l m, ln ，求證：l.證明：在內作任一直線 g ，分別在 l , m, n, g 上取非零向量 l ,m, n, g .合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）因為 m與 n 相交，所以向量 m, n 不平行 . 由向量共面的充要條件知，存在唯一的有序實數(shù)對（ x,y ）, 使 gxmy

16、nl將上式兩邊與向量 l 作數(shù)量積，得nmlgxlm yl n ，g因為 lm 0, l n0 ，所以 l g0 ，所以 lg 即 lg . 這就證明了直線 l 垂直于平面內的任意一條直線，所以 l.方法思路：找直線的方向向量 （在兩直線上取兩點得一向量） 及平面的法向量，只需證明兩向量平行，則可證線面垂直 .2.2.3證明面面垂直1、不重合的平面與的法向量分別為 m 和 n ，則有 m n0.方法思路：找平面的法向量，只需證明兩向量數(shù)量積為0，則可證明兩平面垂直 .2、平面的法向量為 n ， e1 ,e2 是平面的一組基底（不共線的向量） ，則有 n1 e12 e2.例 5在正方體 ABCD

17、-A1B1C1D1 中， E、F 分別是 BB1，CD的中點（1）求證： AD D1F； (2) 證明平面 AED平面 A1FD1分析：涉及正方體中一些特殊的點、線、面的問題，建立空間直角坐標系來解，不僅容易找到解題方向，而且坐標也簡單，此時“垂直”問題轉化為“兩向量數(shù)量積為“ 0”的問題，當然也可用其它的證法 .證明：建立空間直角坐標系如圖，并設AB=2，z則 A(0,0,0), D(0,2,0),A1(0,0,2)A1D1D1(0,2,2)， E(2,0,1),F(1,2,0)B 1C 1(1) AD(0,2,0), D1F(1,0, 2)DAyxBCAD D1 F =0×1+2

18、×1+0×(-2)=0,ADD1F（2） AE =（2，0，1） D1F =（ 1，0，-2 ）， | AE |5 ， | D1 F | 5合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）設 AE與 D F 的夾角為 ，則1cosAE D 1F2 1 0 0 1 ( 2)=0| AE | D 1F |5 5所以 D1FAE，由（ 1）知 D1FAD，又 ADAE=A，D1F平面 AED，D1F平面 A1FD1 M平面 AED平面 A1FD1方法思路：找其中以平面的法向量， 證明法向量與另一平面平行， 即法向量可以用另一平面的一組基底（不共線的向量）線性表示 .2.3 處理角的

19、問題 52.3.1求異面直線所成的角a,b是兩 異面 直 線 ， A, Ba, C , Db ， a ， b所 成 的 角 為， 則有coscos AB,CDAB CD.ABCD例 6 如圖所示 , 三棱錐 A-BCD,AB 平面 BCD, BDCD, 若 AB=BC=2BD,求二面角 B-AC-D 的大小 .解:如圖建立空間直角坐標系O-xyz,AB=BC=2BD,設 BD=1則 AB=BC=2,DC=3A(1,0,2),B(1,0,0),C(0,3 ,0),D(0,0,0)AB(0,0, 2), BC ( 1,3,0), DC(0,3,0), DA (1,0,2)設平面 ABC的法向量為

20、n1( x1 , y1 , z1 ) ,則 AB. n10z10合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）BC .n1 0x13 y10取平面 ABC的法向量 n1( 3,1,0)設平面 ACD的法向量為 n2(x2 , y2 , z2 )則 DC . n20y20DA .n2 0x22z20取法向量 n(2,0,1)cos< n1 , n2 >= n1n23(2)1 00115n2n23104015n1, n2arccos155二面角 BACD 平面角與n1 , n2互補 ,所求二面角 BACD 的大小的 arccos15 .5方法思路：找兩異面直線的方向向量，轉化為向量的夾

21、角問題，套公式（但要理解異面直線所成的夾角與向量的夾角相等或互補） .2.3.2求線面角設平面 的斜線 l 與面 所成的角為，若 A, Bl , m 是面的法向量，則有 sincos AB, m .例 7 如圖，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面是等z腰直角三角形， ACB90 ，側棱 AA12，D、E 分C1別是 CC1 與 A1 B 的中點，點 E 在平面 ABD上的射影是A1B1 ABD的重心 G.求 A1B 與平面 ABD所成角的大?。ńYD果用余弦值表示）；D解析：如圖所示，建立坐標系，坐標原點為C，EK GC設 CA2a ，則 A(2a,0,0) ， B(0,2a,0) ， D

22、(0,0,1)，xABy合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）A1 (2a,0,2) ， E(a, a,1) ， G (2a,2a,1) ，333 GEa ,a ,2，333BD0,2a,1 ，GEBD2 a 220 ，33 a1 ，GE1,12，33 ,3A1 B2,2, 2A1 B GE2 GE 為平面 ABD的法向量，且 cos A1 B,GE.A1 B GE3 A1B 與平面 ABD所成角的余弦值是2 .3方法思路：找直線的方向向量與平面的法向量， 轉化為向量的夾角問題， 再套公式（注意線面角與兩向量所在直線夾角互余） .2.3.3求二面角方法一：構造二面角l的兩個半平面、 的

23、法向量 n1 、n2 （都取向上的方向，如右圖所示） ，則n2BAln1 若二面角l是“鈍角型”的如圖 3甲所示，那么其大小等于兩法向量n1 、n2 的夾角的補n1 n2.角，即 cos| n1 | | n2| 若二面角l是“銳角型”的如右圖所示，那么其n1n2大小等于兩法向量 n1 、nn1n2.2 的夾角，即 cos| n1 | | n2 |方法二：在二面角的棱l 上確定兩個點A、 B ，過 A、 B 分別在平面、 內求出與 l 垂直的向量 n1 、n2 ，則二面角ll合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）的大小等于向量 n1、n2 的夾角，即cosn1n2.| n1| n2|例

24、8 在長方體 ABCDA B CD 中， AB=2，BC=4，AA=2, 點 Q是 BC的中點，求11111此時二面角 AA1DQ的大小解 如圖所示，建立空間直角坐標系Oxyz ，z依題意： A （0，0，2），D（0，a，0）.D11C1Q（2，2，0）， D（ 0， 4， 0），A1B1 A1 Q(2,2,2), QD (2,20)，面 AAD的法向量 n1(1,0,0)，y1CD設面 A1DQ的法向量 n2(a1 , a2, a3 ) ，Q（）BxO An2 A1Q 2a12a22a30,a2a1 ,則a32a1 ,n2QD2a12a20, n2(a1 , a1 ,2a1 ) ，令 a1

25、 =1，則 n2(1,1,2) ， cosn1 , n2n1n21166 ，n1 n26二面角的平面角為銳角，6二面角 A A1D Q的大小為 arccos.6此法在處理二面角問題時， 可能會遇到二面角的具體大小問題，如本題中若令a11 ，則n2( 1, 1, 2)，cos n1, n26 ，二面角 1DQ 的6A A大小 是n1, n2arccos6 的補角 arccos6 . 所以在計算之前不妨先依題66意直觀判斷一下所求二面角的大小，然后根據(jù)計算取“相等角”或取“補角”.合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）3 向量方法解決度量問題的直接應用3.1 兩點間的距離 6兩點間距離重在

26、 “轉化”，即將空間兩點間距離轉化為向量的長度問題 . 利用向 量 的 模 ， 可 以 推 導 出 空 間 兩 點 的 距 離 公 式 ， 即 空 間 兩 點Px,y,z ,Px,y,，則z dPPx2yy222xzz111122221212121例 1在三棱錐 SABC 中，面 SAC面 ABC ， SAAC ， BCACSA6 , AC21,BC8 ，求 SB的長 .分析如圖，本題可以用幾何法求出SB，但需要證明若用向量法，注意到SAACBC，之間的關系 . 建立以 A 點為原點的空間直角坐標系 .則無須證明就有如下巧解.解如圖，建立以 A 為原點的空間直角坐標系，則A 0,0,0 , B

27、 8,21,0, S 0,0,6，222所以 SB SB08216 0011.本題用向量法巧妙地把與SB 有關元素的位置關系轉化為相應向量是SB的數(shù)量關系，構造向量的空間距離模型，然后通過數(shù)值計算將問題加以解決.3.2 點與直線距離 7如圖 求得向量 AP 在向量 AB 的射影長為 d ,則點 P 到直線 AB的距離等于2d 2 .AP例 2 設 P為矩形 ABCD所在平面外的一點，直線PA垂直平面外的一點，直線 PA垂直平面 ABCD，AB ，BC ，PA求點 P 到直線 BP的距離.=3=4=1解2BP BDBAAPBCBAAB9合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）BD5所以 B

28、P 在 BD 上的射影長為9 ，又 BP10 ，5所以點 P 到直線 BD的距離d103.3 點到面的距離291355任取一點 Q得 PQ, m 是平面的法向量，則有：點P 到平面的距離dPQ m （向量 PQ 在法向量 m 的投影的長度） .m方法思路：求出平面的任一法向量m（方程組可求），在平面內任取一點 Q 與點 P 得一向量轉化為 PQ 在法向量的投影長度，套公式 .3.4 求兩異面直線的距離知 a, b 是兩異面直線， A, B a,C , D b ，找一向量與兩異面直線都垂直的向AC m量 m ，則兩異面直線的距離 dm例 3 如圖，三棱柱中，已知 A BCD是邊長為 1 的正方形

29、，四邊形AA B B 是矩形， 平面 AA B B平面 ABCD 。'若 AA ，求直線 AB到面 DAC 的距離 .解：如圖建立空間坐標系 Axyz ，DA'( 1,1,a) ， DC (0,1,0)合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）'( x, y,1)，則DA' n0設面 DAC 的法向量為 n1DC n10得 n1'的距離就等于點到面'(a,0,1) ，直線 AB到面 DACDAC 的距離，'ADn12.也等于向量 AD 在面 DAC 的法向量上的投影的絕對 d2n1方法思路：求異面直線的距離，先找一向量與兩異面直線都垂

30、直的向量m ，然后分別在兩異面直線上任取一點A, C , 則距離 d 就是 AB 在向量 m 上的投影長度，距離 d AC m . m3.5 求面積 8由于平行四邊形 ABCD面積 S ABCD = ABAC ，所以三角形的面積是平行四邊形的面積的一半 .S ABC= 1 ABAC2特別地當 A、 B、C 三點均在 Oxy 面上，且坐標為 A x1 , y1 ,0， Bx2 , y2 ,0 ，C x3 , y3 ,0 ，時x1y11S ABC2x2y21（ =1 或-1 ，保證面積取正值） .x3y31例4已知空間三點A（ ， ， ）B（ ， ） C（ ， ，）1）試求三1 2 32 -153

31、 2 -5角形的面積， 2）求三角形的 AB邊上的高 .解: S ABC1 ABAC2AB1, 3,2AC2,0, 8合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）ijkABAC13224i12 j6k208ABAC24212 262621，所以三角形的面積是 321 .因為三角形 ABC的 AB邊上的高 CH即是平行形四邊形的 AB邊上的高，所以 CHS ABCDAB ACABAB，又因為AB1222214 ，3所以CHABAC62136 .AB14例 5已知 ABabADab ，其中 a 2b1 a 與 b 的夾角為，3求平行四邊形 ABCD的面積 .解： ABaba2222a b222

32、ab cos7babab3同理 AD3，設 AB 與 AD 的夾角為，2222abababcosAB ADab3 ，ABADABADABADABAD21所以 sin1cos22 7 ，7所以 SABCDABAD sin23 .3.6 求體積三個不共面向量a, b, c 的混合積的絕對值等于以a, b, c 為棱的平行六面體的體積，即 V6a,b, c.合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）四面 體的 體 積等于以 a, b,c 為 棱的 平行 六面 體體積的 六分 之一，即V41a, b, c .6例 6 已知空間四點的坐標A（0，0，0）， B（ 0，1，0），C（0，1，1），D（

33、1，1，1）求四面體 ABCD的體積及 A 到 BCD平面的距離 .解 由初等幾何知識，四面體ABCD的體積 V 等于以 AB，AC，AD為棱的平行六面體的體積的 1 ,6010V4 1AB, AC, AD1 0 1 11 ,661161另外設 A 到 BCD所確定平面的距離為 d ， dAB, AC, ADBCBD則 V41 BC BD d1 1 d， d 1.66上三個點 B，C，D注：求點 A 到平面 的距離時，?。?）求出 AB, AC, AD ；（2）求出 AB, AC, AD 為棱的平行六面體的體積AB, AC, AD ；（3）求出 BC, BD 為鄰邊的平行四邊形的面積BCBD

34、；（4）求出點到平面的距離 d ，即 dAB, AC, AD.BC BD4 向量方法解決證明與計算問題有關的綜合應用例 1 證明三角形各邊的垂直平分線共點，且這點到各頂點等距.分析 設ABC 三邊 BC,CA,AB的中點分別為 D,E,F ,如圖，令 AB的垂直平分線與AC的垂直平分線交于一點G，連接 GD，只要證明 GD BC，也即證 GD CB0 . 從而GD垂直平分 BC.證明 設 GAa, GB b ,GC c 則合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）1GF a b , BA a b 2由于 GFBA, 因而0=GF BA1a b a b122a b所以 a b22利用 GE

35、CA0 可得0=1 a c a c122a c所以 a c22GA GB GC從而 =b c1 b c，且 b c , 故又 GD CB1 b c2222GD CB0 于是 GDCB 所以 GD是 BC邊上的垂直平分線 .于是證得了三角形三條垂直平分線交于一點G，且 G到 A，B，C的距離均相等 .例 2 一個空間四邊形對邊平方和相等的充要條件是四邊形的對角線互相垂直證明：如圖，設 ABa, BCb, CDc, DA d ，各邊長各為 a,b,c,d對角線是 AC和 BD.由 abcd0 得2abc2d22c22c a2a bab2b c2222a b c 2 b b c a b a c22222 a b b c 2 AC BD ，故于是 d a b c2222ACBDdbac即 d 2b2a 2c2AC BD .例 3 如果一個四面體 ABCD有兩對對棱互相垂直，則第三對對棱也互相垂直,且三對對棱的平方和相等.合肥師范學院2011 屆本科生畢業(yè)論文（設計）證法一 : 設 ABa, BCb,CDc, DA d, AC e, DBf22222 AC BD（1）（如圖），由上例知 dabc又由 ecfa 0 ，可得 ae cf222f2ae