國家開放大學《數(shù)學思想與方法》網絡討論參考答案

1、國家開放大學數(shù)學思想與方法網絡討論參考答案1.談談你對學習本課程的認識參考答案：數(shù)學思想與方法課程是研究數(shù)學思想方法及其教學的一門課程。隨著現(xiàn)代科學技術的迅速發(fā)展和素質教育的全面實施，對科學思想、科學方法有著全局影響的數(shù)學思想方法其重要性日益凸現(xiàn)。鑒于數(shù)學思想方法在素質教育中的重要作用，數(shù)學思想與方法被列為國家開放大學小學教育專業(yè)（專升本）的一門重要的必修課。本課程的主要內容分為三大塊：上篇為數(shù)學的起源與基本內涵；中篇為各種數(shù)學方法的介紹與應用；下篇為數(shù)學的素質教育及實施。課程內容包括數(shù)學思想與方法的兩個源頭、數(shù)學思想與方法的幾次重要突破、數(shù)學的真理性、現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展趨勢、抽象與概括、猜想與反

2、駁、演繹與化歸、計算與算法、應用與建模、其他方法、數(shù)學思想與方法與素質教育、數(shù)學思想與方法教學、數(shù)學思想與方法教學案例。2.西方數(shù)學的特質？東方數(shù)學的特質？參考答案：古希臘數(shù)學和中國古代數(shù)學有許多共同之處。但是，由于希臘和中國這兩個文明古國的社會制度、數(shù)學和哲學的關系、文化背景及統(tǒng)治階級對數(shù)學的態(tài)度等方面的差異又決定了希臘與中國古代數(shù)學的很大不同。首先，從內容上，古希臘數(shù)學以定性研究為主，以幾何研究為中心；中國數(shù)學則以定量研究為主，以算法研究為中心。其次，希臘數(shù)學不是用來解決實際問題的，他們所研究的內容都是離開具體應用對象的相當抽象的性質。相反，中國古代數(shù)學的目的就是實際應用，并在應用中發(fā)展。

3、離開實際應用的純理論數(shù)學在中國未占主流。第三，從形式上說，希臘數(shù)學都包括命題的證明，并試圖構成一個演繹體系。與此不同，中國傳統(tǒng)數(shù)學的特色是構造性、計算性和機械化。中國古代數(shù)學著作則采取應用問題集的形式。第四，由于中國古代數(shù)學家追求實際應用的效果，而古希臘數(shù)學家強調邏輯的嚴密，因此中國古代數(shù)學家沒有像希臘人那樣受悖論困擾。幾何原本是古希臘數(shù)學的代表，而中國古代數(shù)學以九章算術為代表。幾章算術確立了中國古代數(shù)學應用題的形式，以算法為中心的特點，理論聯(lián)系實際的風格，構筑了中國古代數(shù)學的基本框架。在中國和東方影響深遠。今天，電子計算機的廣泛應用使人們重新認識到中國算法的重要意義。3.數(shù)學思想方法突破的基

4、礎是什么？ 參考答案：（1）在認知心理學里，思想方法屬于元認知范疇，數(shù)學思想對認知活動起著監(jiān)控、調節(jié)作用，對培養(yǎng)能力起著決定性的作用。學習數(shù)學的目的“就意味著解題”（波利亞語），解題的關鍵在于找到合適的解題思路，數(shù)學思想方法就是幫助構建解題思路的指導思想。因此，向學生滲透一些基本的數(shù)學思想方法，提高學生的元認知水平，是培養(yǎng)學生分析問題和解決問題能力的重要途徑。（2）數(shù)學知識本身是非常重要的，但它并不是惟一的決定因素，真正對學生以后的學習、生活和工作長期起作用，并使其終生受益的是數(shù)學思想方法。未來社會需要大量具有較強數(shù)學意識和數(shù)學素質的人才。因此，向學生滲透一些基本的數(shù)學思想方法，是未來社會的要

5、求和國際數(shù)學教育發(fā)展的必然結果。（3）小學數(shù)學教材是數(shù)學教學的顯性知識系統(tǒng)，許多重要的法則、公式，教材中只能看到結論，許多例題的解法也只能看到巧妙的處理，而看不到由特殊實例的觀察、試驗、分析、歸納、抽象概括和探索推理的心智活動過程。因此，數(shù)學思想方法是數(shù)學教學的隱性知識系統(tǒng)，小學數(shù)學教學應包括顯性和隱性兩方面知識的教學。教師如果在教學中僅僅依照課本的安排，沿襲著從概念、公式到例題、練習這一傳統(tǒng)的教學過程，即使講深講透，并要求學生記住結論，掌握解題的類型和方法，這樣培養(yǎng)出來的學生也只能是“知識型”、“記憶型”的，將完全背離數(shù)學教育的目標。（4）小學數(shù)學教學的根本任務是全面提高學生素質，其中最重要

6、的因素是思維素質，而數(shù)學思想方法就是增強學生數(shù)學觀念，形成良好思維素質的關鍵。如果將學生的數(shù)學素質看作一個坐標系，那么數(shù)學知識、技能就好比橫軸上的因素，而數(shù)學思想方法就是縱軸的內容。淡化或忽視數(shù)學思想方法的教學，不僅不利于學生從縱橫兩個維度上把握數(shù)學學科的基本結構，而且必將影響其能力的發(fā)展和數(shù)學素質的提高。因此，向學生滲透一些基本的數(shù)學思想方法，是數(shù)學教學改革的新視角，是進行數(shù)學素質教育的突破。（5）小學數(shù)學中蘊含的數(shù)學思想方法很多，最基本的數(shù)學思想方法有轉化思想、類比思想、統(tǒng)計思想、符號思想、模型化思想、對應思想等，突出這些基本思想方法，就相當于抓住了小學數(shù)學知識的精髓。4.數(shù)學的三次危機產

7、生的原因。參考答案：第一次數(shù)學危機是無理數(shù)的誕生，發(fā)現(xiàn)根號2不能寫成兩個整數(shù)相除，最終無理數(shù)被納入了實數(shù)范圍。第二次數(shù)學危機源于微積分工具的使用，由于定義不嚴格，無窮小量這些概念引起爭論，最終建立了實數(shù)理論，極限理論，使得數(shù)學分析有了嚴格基礎。第三次數(shù)學危機是關于集合論，即著名的羅素悖論，集合的定義受到了攻擊.最終通過不同的公理化系統(tǒng)解決，使數(shù)理邏輯等學科得到發(fā)展。歷史上的三次數(shù)學危機，給人們帶來了極大的麻煩，危機的產生使人們認識到了現(xiàn)有理論的缺陷，科學中悖論的產生常常預示著人類的認識將進入一個新階段，所以悖論是科學發(fā)展的產物，又是科學發(fā)展源泉之一.第一次數(shù)學危機使人們發(fā)現(xiàn)無理數(shù)，建立了完整的

8、實數(shù)理論，歐氏幾何也應運而生并建立了幾何公理體系；第二次數(shù)學危機的出現(xiàn)，直接導致了極限理論、實數(shù)理論和集合論三大理論的產生和完善，使微積分建立在穩(wěn)固且完美的基礎之上；第三次數(shù)學危機，使集合論成為一個完整的集合論公理體系（ZFC系統(tǒng)），促進了數(shù)學基礎研究及數(shù)理邏輯的現(xiàn)代性.5. 當下計算機的應用又有哪些進展?參考答案：計算機的6個應用領域：科學計算、數(shù)據(jù)處理、人工智能、計算機輔助設計與制造、過程控制和多媒體技術。6. 抽象與概括參考答案：抽象是在思想上把事物的本質屬性、特征抽取出來，并把這些本質屬性、特征與其它屬性、特征分離開來的思維過程；概括是在思想上把抽象出來的本質屬性、特征推廣到同類事物中

9、去的思維過程。7. 舉一個用完全歸納法的實例參考答案：完全歸納法:把研究對象一一都考查到了而推出結論的歸納法稱為完全歸納法。完全歸納法是一種在研究了事物的所有（有限種）特殊情況后得出一般結論的推理方法，又叫做枚舉法。與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結論是可靠的。通常在事物包括的特殊情況數(shù)不多時，采用完全歸納法歸納法：條件：我養(yǎng)的一只貓a喜歡吃魚鄰居家的一只貓b喜歡吃魚貓c喜歡吃魚貓d喜歡吃魚結論：貓喜歡吃魚.8. 比較歸納猜想與類比猜想的異同？ 參考答案：（1）相同點：它們都是一種猜想，即一種推測性的判斷，都是一種合情推理，其結論具有或然性，或者經過邏輯推理證明其為真，或者舉出反例予以反

10、駁。（2）不同點：歸納猜想是運用歸納法得到的猜想，是一種由特殊到一般的推理形式，其思維步驟為“特例歸納猜測”。類比猜想是運用類比法得到的猜想，是一種由特殊到特殊的推理形式，其思維步驟為“聯(lián)想類比猜測”。9. 什么是公理方法和公理體系? 參考答案：（1）公理化方法：在一個數(shù)學理論系統(tǒng)中，從盡可能少的原始概念和一組不加證明的公理出發(fā)，用純邏輯推理的法則，把該系統(tǒng)建立成一個演繹系統(tǒng)的方法，就是公理化方法。它是隨著數(shù)學和邏輯學的發(fā)展而產生的。（2）公理體系也稱公理系統(tǒng)：一個公理系統(tǒng)（或稱公理化系統(tǒng)，公理體系，公理化體系）是一個公理的集合，從中一些或全部公理可以用來一起邏輯的導出定理。一個數(shù)學理論由一個

11、公理系統(tǒng)和所有它導出的定理組成。一個完整描述出來的公理系統(tǒng)是形式系統(tǒng)的一個特例；但是通常完全形式化的努力帶來在確定性上遞減的收益，并讓人更加無法閱讀。所以，公理系統(tǒng)的討論通常只是半形式化的。一個形式化理論通常表示一個公理系統(tǒng)，例如在模型論中表述的那樣。一個形式化證明是一個證明在形式化系統(tǒng)中的表述。10. 簡述算法工具的發(fā)展歷史參考答案：“算法”即演算法的大陸中文名稱出自周髀算經；而英文名稱Algorithm 來自于9世紀波斯數(shù)學家al-Khwarizmi，因為al-Khwarizmi在數(shù)學上提出了算法這個概念。“算法”原為algorism，意思是阿拉伯數(shù)字的運算法則，在18世紀演變?yōu)閍lgor

12、ithm。歐幾里得算法被人們認為是史上第一個算法。 第一次編寫程序是Ada Byron于1842年為巴貝奇分析機編寫求解伯努利方程的程序，因此Ada Byron被大多數(shù)人認為是世界上第一位程序員。因為查爾斯·巴貝奇（Charles Babbage）未能完成他的巴貝奇分析機，這個算法未能在巴貝奇分析機上執(zhí)行。 因為well-defined procedure缺少數(shù)學上精確的定義，19世紀和20世紀早期的數(shù)學家、邏輯學家在定義算法上出現(xiàn)了困難。20世紀的英國數(shù)學家圖靈提出了著名的圖靈論題，并提出一種假想的計算機的抽象模型，這個模型被稱為圖靈機。圖靈機的出現(xiàn)解決了算法定義的難題，圖靈的思想

13、對算法的發(fā)展起到了重要作用。11.就下面例子進行討論，對其建立數(shù)學模型。案例：庫存問題：商店經營商品需要倉庫存貨，而貯存貨物需要貯存費用，若進貨太多，一時賣不掉，就得凈付存貨費；但是進貨太少也不行，這是因為每次進貨總得耗費人力、物力，諸如派人采購、動用車輛運輸、電訊聯(lián)絡等都要用錢。那么每次究竟進貨多少最經濟?參考答案：所謂每次進貨多少最經濟，就是指每年用于采購訂貨及庫存的總費用最少。為了建立庫存問題的數(shù)學模型，必須掌握某商品的全年銷售量，該商品的每次進貨量，每件商品的年存貯費用，每次進貨所需的費用。為了保證商品不脫銷，還應考慮倉庫中要有一定數(shù)量的備用商品，進貨商品中的不合格率和運輸途中的損壞率

14、等。要同時考慮這許多因素，建立數(shù)學模型就比較困難，因此可將問題適當簡化，對于該問題中的備用商品量，進貨中的不合格率和運輸過程中的損壞率等因素暫時不加考慮。12. 針對下面例子進行討論案例：一個星級旅館有150個房間。經過一段時間的經營實踐，經理得到數(shù)據(jù)：如果每間客房定價為160元，住房率為55%；如果每間客房定價為140元，住房率為65%；如果每間客房定價為120元，住房率為75%；如果每間客房定價為100元，住房率為85%。欲使每天收入提高，問每間住房的定價應是多少？參考答案：弄清實際問題加以化簡。經分析為了建立旅館一天收入的數(shù)學模型，可作如下假設：設每間客房的最高定價為160元；根據(jù)題中提

15、供的數(shù)據(jù).設隨著房價的下降.住房率呈線性增長；設旅館每間客房定價相等。13. 數(shù)學教學中引起“分類討論”的原因是什么? 參考答案：數(shù)學教學中引起“分類討論”的原因有：數(shù)學中的許多概念的定義是分類給出的，因此涉及到這些概念時要分類討論；數(shù)學中有些運算性質、運算法則是分類給出的，進行這類運算時要分類討論有些幾何問題，根據(jù)題設不能只用一個圖形表達，必須全面考慮各種不同的位置關系，需要分類討論；許多數(shù)學問題中含有字母參數(shù)，隨著參數(shù)取值不同，會使問題出現(xiàn)不同的結果。因此需要對字母參數(shù)的取值情況進行分類討論。14.舉一個應用數(shù)形結合方法的實例參考答案：把兩個形狀和大小相同的長方體月餅盒包裝成一包，怎樣包裝

16、最省包裝紙？分析：此題是小學數(shù)學比較典型的通過探索活動發(fā)現(xiàn)規(guī)律的題目，一般情況下教師會給學生足夠的學具進行操作，拼出幾種包裝方法，再通過計算比較表面積的大小找到最佳答案?，F(xiàn)在我們從代數(shù)思想出發(fā)，不用任何操作和具體數(shù)量的計算，一般性地，假設長方體的長、寬、高分別為a、b、c，并且a>b>c（只要給出三個數(shù)的大小順序便可，誰大誰小并不影響用代數(shù)方法計算的過程和結論）。首先要明確的是，問題所求怎樣包裝最省包裝紙，實際上就是求怎樣拼才能使拼成的大長方體的表面積最小。每個長方體有6個面，兩個長方體拼成一個大長方體后仍然有6個面，但這6個面的面積是原來長方體的10個面的面積，其中有兩個面是原來

17、長方體的面，另4個面分別是原來的相同的兩個面拼成的；也就是說，大長方體的表面積已經不是原來兩個長方體的12個面的面積直接相加的和了，而是它們的和再減去拼在一起的兩個面的面積和。原來兩個長方體的12個面的面積和是恒定不變的，因而大長方體的表面積的大小，取決于減去的（拼在一起的）兩個面的面積和的大小，減去的兩個面的面積和越大，大長方體的表面積就越小。根據(jù)已知條件可知，ab>ac>bc，所以把最大的兩個側面貼在一起包裝最省包裝紙。列成公式為：4（ab+bc+ac）2ab。15. 舉一個應用特殊化方法的實例參考答案：利用特殊值（圖形）解選擇題某些選擇題按常規(guī)方法解比較困難或者運算繁瑣，若利

18、用特殊值（圖形）來解則非常簡捷。例l 給定一個三角形，設它的周長、外接圓半徑長、內切圓半徑長分別為。 l，R，r（這里R為定值），則下面結論正確的是（ ）（A）l>R+r （B）l£R+r （C）l<R+r （D）以上關系都不成立。不妨考慮三角形的一些特殊情況。當這個三角形的三個頂點彼此非常接近時，則該三角形各邊的邊長均遠小于R，這時（A）和（C）顯然都不成立。當這個三角形是頂角很小的等腰三角形時，腰長接近于外接圓直徑長，顯然（B）也不能成立。因此應選（D）。16. 針對數(shù)學思想方法教學的主要階段，設想在具體教學中應該如何做？參考答案：一、改變應試教育觀念，創(chuàng)新數(shù)學思想方

19、法。數(shù)學思想方法隱含在數(shù)學知識體系里，是無“形”的，而數(shù)學概念、法則、公式、性質等知識都明顯地寫在教材中，是有“形”的。作為教師首先要改變應試教育觀念，從思想上不斷提高對滲透數(shù)學思想方法重要性的認識，把掌握數(shù)學知識和滲透數(shù)學思想方法同時納入教學目的，把數(shù)學思想方法教學的要求融入備課環(huán)節(jié)。其次要深入鉆研教材，努力挖掘教材中可以進行數(shù)學思想方法滲透的各種因素，對于每一章每一節(jié)，都要考慮如何結合具體內容進行數(shù)學思想方法滲透，滲透哪些數(shù)學思想方法，怎么滲透，滲透到什么程度，應有一個總體設計，提出不同階段的具體教學要求。在小學數(shù)學教學中，教師不能僅僅滿足于學生獲得正確知識的結論，而應該著力于引導學生對知

20、識形成過程的理解。讓學生逐步領會蘊涵其中的數(shù)學思想方法。也就是說，對于數(shù)學教學重視過程與重視結果同樣重要。教師要站在數(shù)學思想方面的高度，對其教學內容，用恰當?shù)恼Z言進行深入淺出的分析，把隱蔽在知識內容背后的思想方法提示出來。例如，長方體和正方體的認識概念教學，可以按下列程序進行：（1）由實物抽象為幾何圖形，建立長方體和正方體的表象；（2）在表象的基礎上，指出長方體和正方體特點，使學生對長方體和正方體有一個更深層次的認識；（3）利用長方體和正方體的各種表象，分析其本質特征，抽象概括為用文字語言表達的長方體和正方體的概念；（4）使長方體和正方體的有關概念符號化。顯然，這一數(shù)學過程，既符合學生由感知到

21、表象，再到概念的認知規(guī)律，又能讓學生從中體會到教師是如何應用數(shù)學思想方法，對有聯(lián)系的材料進行對比的，對空間形式進行抽象概括的，對教學概念進行形式化的。二、課堂教學中及時滲透數(shù)學思想方法。為了更好地在小學數(shù)學教學中滲透數(shù)學思想方法，教師不僅要對教材進行研究，潛心挖掘，而且還要講究思想滲透的手段和方法。在教學過程中，我經常通過以下途徑及時向學生滲透數(shù)學思想方法：（1）在知識的形成過程中滲透。如概念的形成過程，結論的推導過程等，這些都是向學生滲透數(shù)學思想和方法的極好機會。例如量的計量教學，首要問題是要合理引入計量單位。作為課本不可能花大氣力去闡述這個過程。但是作為教師根據(jù)教學的實際情況，適當?shù)卣故舅?/p>

22、的簡單過程和所運用的思想方法，有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維品質和為追求真理而勇于探索的精神。例如，在“面積與面積單位”一課教學中，當學生無法直接比較兩個圖形面積的大小時，引進“小方塊”，并把它一個一個地鋪在被比較的兩個圖形上，這樣，不僅比較出了兩個圖形的大小，而且，使兩個圖形的面積都得到了“量化”。使形的問題轉化為數(shù)的問題。在這一過程中，學生親身體驗到“小方塊”所起的作用。接著又通過“小方塊”大小必須統(tǒng)一的教學過程，使學生深刻地認識到：任何量的量化都必須有一個標準，而且標準要統(tǒng)一。很自然地滲透了“單位”思想。（2）在問題的解決過程中滲透。如：教學“雞兔同籠” 這一課時，在解決問題的過程中，用圖表

23、、課件展示的方法讓學生逐步領會“假設”這種策略的奧妙所在。（3）在復習小結中滲透。在章節(jié)小結、復習的數(shù)學教學中，我們要注意從縱橫兩個方面，總結復習數(shù)學思想與方法，使師生都能體驗到領悟數(shù)學思想，運用數(shù)學方法，提高訓練效果，減輕師生負擔，走出題海誤區(qū)的輕松愉悅之感。如教學 “梯形面積”這一單元之后，我及時幫助學生依靠梯形面積的推導過程回憶平行四邊形的面積、三角形的面積公式的推導方法，使學生能清楚地意識到：“轉化”是解決問題的有效方法。三、讓學生學會自覺運用數(shù)學思想方法。數(shù)學思想方法的教學，不僅是為了指導學生有效地運用數(shù)學知識、探尋解題的方向和入口，更是對培養(yǎng)人的思維素質有著特殊不可替代的意義。它在新授中屬于“隱含、滲透”階段，在練習與復習中進入明確、系統(tǒng)的階段，也是數(shù)學思想方法的獲得過程和應用過程。這是一個從模糊到清晰的飛躍。而這樣的飛躍，依靠著系統(tǒng)的分析與解題練習來實現(xiàn)。學生做練習，不僅對已經掌握的數(shù)學知識以及數(shù)學思想方法會起到鞏固和深化的作用，而且還會從中歸納和提煉出新的數(shù)學思想方法。數(shù)學思想方法的教學過程首先是從模仿開始的。學生按照例題師范的程序與格式解答和例題相同類型