數列與函數的極限

1、數列與函數的極限一、知識回顧1、函數的極限1） 當x時函數f(x)的極限:； 當自變量x取正值并且無限增大時,如果函數f(x)無限趨近于一個常數a,就說當x趨向于正無窮大時, 函數f(x)的極限是a,記作,(或x+時,f(x)a)當自變量x取負值并且無限增大時,如果函數f(x)無限趨近于一個常數a,就說當x趨向于負無窮大時, 函數f(x)的極限是a,記作,(或x-時,f(x)a)注：自變量x+和x-都是單方向的，而x是雙向的，故有以下等價命題令，分別求2） 當xx0時函數f(x)的極限:； ； 如果當x從點x=x0左側（即xx0）無限趨近于x0時，函數f(x)無限趨近于常數a。就說a是函數f(

2、x)的左極限，記作。如果當x從點x=x0右側（即xx0）無限趨近于x0時，函數f(x)無限趨近于常數a。就說a是函數f(x)的右極限，記作。注：1與函數f（x）在點x0處是否有定義及是否等于f（x0）都無關。2。并且可作為一個判斷函數在一點處有無極限的重要工具。注：極限不存在的三種形態(tài)：左極限不等于右極限；時，時，的值不唯一。3）函數極限的運算法則：若，那么；。1 / 7注：以上規(guī)則對于x的情況仍然成立。5）兩個重要的極限：；和一個法則：羅必塔法則：2、函數的連續(xù)性(1)函數連續(xù)性的概念:如果函數f(x)在x=x0處及其附近有定義,而且,就說函數f(x)在x=x0處連續(xù)。注：函數f(x)在x=

3、x0處連續(xù)必須具備三個條件：）函數f(x)在x=x0處及其附近有定義；）函數f(x)在x=x0處有極限；）函數f(x)在x=x0處的極限值等于這一點處的函數值f(x0)。右連續(xù)（或左連續(xù)）：如果函數f(x)在x=x0處及其右側（或左側）有定義，而且（或）。若函數f(x)在(a,b)內每一點都連續(xù),且在a點右連續(xù)，b點左連續(xù)，則稱f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)。注：函數f(x)在(a,b)內連續(xù)，只要求在(a,b)內每一點都連續(xù)即可，對在端點處是否連續(xù)不要求。(2)函數連續(xù)性的運算:若f(x)，g(x)都在點x0處連續(xù)，則f(x)±g(x)，f(x)g(x)，(g(x)0)也在點x0處連

4、續(xù)。若u(x)都在點x0處連續(xù)，且f(u)在u0=u(x0)處連續(xù),則復合函數fu(x)在點x0處連續(xù)。(3)初等函數的連續(xù)性:基本初等函數（指數函數，對數函數，三角函數等）在定義域里每一點處都連續(xù)。基本初等函數及常數經過有限次四則運送所得到的函數，都是初等函數，初等函數在其定義域里每一點處的極限都等于該點的函數值。（3）圖甲表示的是f(x)在點x0處的左、右極限存在但不相等，即不存在圖乙表示的是f(x)在點x0處的左極限存在、右極限不存在，也屬于不存在圖丙表示的是存在，但函數f(x)在點x0處沒有定義圖丁表示的是存在，但它不等于函數f(x)在點x0處的函數值。注意：函數f(x)在x=x0處連

5、續(xù)與函數f(x)在x=x0處有極限的聯系與區(qū)別?！斑B續(xù)必有極限，有極限未必連續(xù)。” 二、基本訓練1、是函數在點xo處存在極限的（）（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充要條件（D）既不充分也不必要條件2、m<0,n>0時，的值是（ ）（A） （B）0 （C）1 （D）3、（ ）（A）0 （B） （C） （D）不存在4、的值為（ ）（A）1 （B）0 （C）1 （D）±15、f(x)=下面結論正確的是（ ）（A） （B）2 ，不存在 （C）0， 不存在 （D）6.A1B1CD7.極限存在是函數在點處連續(xù)的A充分而不必要的條件B必要而不充分的條件C充要條件D既不

6、充分也不必要的條件8.（1）指出下列函數的不連續(xù)點：； ； （2）已知，確定常數a，使存在。三、例題分析例1：判斷下列函數的極限是否存在：（1）（2）（3）（4），例2：設 ，問a，b為何值時，存在。例3：求下列各極限(1)()； (2) ()(3)； (4) (5) 例4：利用連續(xù)函數的圖象特征，判斷方程：是否存在實數根。例5：已知求例6：為多項式，且，求。答案：基本訓練 17、CBBCB CB例1（1）不存在， （2）不存在， （3）存在， （4）不存在， 例2、當b=2，a為任何實數時，存在。例3.(1) (2) (3)不存在 (4) （5）時，不存在。例4解：設，則在R上連續(xù)，又，因此

7、在3，0內必存在點x0使得，所以x0是方程的一個實數根，因此方程有實根。例5. ， 例6. 。1的值為（ ）A不存在 B.2 C.0 D.12（ ）A0 B. C.1 D.3若，則ab的值是（ ）A4 B.8 C. 8 D.164下列各式不正確的是（ ）A BC D5給出下列命題（1）若函數f(x)在x0處無定義，則必不存在；（2）是否存在與函數f(x)在x0處是否有定義無關；（3）與都存在，則也存在；（4）若不存在，則必定不存在.正確的命題個數是（ ）A0 B1 C2 D36.（05全國卷） ( A )A B C D 7. （05湖北卷）若，則常數的值為（ C ）ABCD8.（04年廣東卷.3）函數在處連續(xù)，則（ ） A. B. C. D. 9.（04年福建卷.理14）設函數在處連續(xù)，則實數的值為 . 1011(m和n為自然數)=_.12=_.13若f(x)=的極限為1，則x的變化趨向是_.14（1） = （2）= 15討論函數f(x)=當時的極限與在x=0處的連續(xù)性.16.討論函數的連續(xù)性；適當定義某點的函數值，使在區(qū)間(3,3)內連續(xù)。