高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案52向量的數(shù)量積

1、5.2 向量的數(shù)量積知識(shí)梳理1.數(shù)量積的概念：（1）向量的夾角：如下圖，已知兩個(gè)非零向量a和b，作=a，=b，則AOB=（0°180°）叫做向量a與b的夾角，記作a，b.（2）數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b=|a|b|cos.（3）數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的模與b在a方向上的投影|b|cos的乘積.2.數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)e是單位向量，a，e=.（1）e·a=a·e=|a|cos.（2）當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b=|a|b|；當(dāng)

2、a與b反向時(shí)，a·b=|a|b|，特別地，a·a=|a|2，或|a|=.（3）aba·b=0.（4）cos=.（5）|a·b|a|b|.3.運(yùn)算律：（1）a·b=b·a；（2）（a）·b=（a·b）=a·（b）；（3）（a+b）·c=a·c+b·c.4.向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則（1）a·b=x1x2+y1y2；（2）|a|=；（3）cosa，b=；（4）aba·b=0x1x2+y1y2=0.思考討論（a·

3、b）c與a（b·c）是否相等?點(diǎn)擊雙基1.（2004年全國(guó)，3）已知a、b均為單位向量，它們的夾角為60°，那么|a+3b|等于A.B.C.D.4解析：|a+3b|=.答案：C2.若向量a與b的夾角為60°，|b|=4，（a+2b）·（a3b）=72，則向量a的模是A.2B.4C.6D.12解析：（a+2b）·（a3b）=|a|2|a|b|cos60°6|b|2=|a|22|a|96=72，|a|22|a|24=0.（|a|6）·（|a|+4）=0.|a|=6.答案：C3.已知a=（，2），b=（3，5），且a與b的夾角為鈍

4、角，則的取值范圍是A.B.C.D.解析：a與b的夾角為鈍角，cosa，b0.a·b0.3+100.答案：A4.（2004年上海，6）（理）已知點(diǎn)A（1，2），若向量與a=（2，3）同向，|=2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_.解析：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（xA，yA），B點(diǎn)坐標(biāo)為（xB，yB）.與a同向，可設(shè)=a=（2，3）（0）.|=2，=2.則=（xBxA，yByA）=（4，6），B點(diǎn)坐標(biāo)為（5，4）.答案：（5，4）（文）已知點(diǎn)A（1，5）和向量a=（2，3），若=3a，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_.解析：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（xB，yB），則=（xB+1，yB+5）=3a=（6，9），B（5，4）.答案：（5，4）典例

5、剖析【例1】 判斷下列各命題正確與否：（1）若a0，a·b=a·c，則b=c；（2）若a·b=a·c，則bc當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)成立；（3）（a·b）c=a（b·c）對(duì)任意向量a、b、c都成立；（4）對(duì)任一向量a，有a2=|a|2.剖析：（1）（2）可由數(shù)量積的定義判斷.（3）通過計(jì)算判斷.（4）把a(bǔ)2轉(zhuǎn)化成a·a=|a|2可判斷.解：（1）a·b=a·c，|a|b|cos=|a|c|cos（其中、分別為a與b，a與c的夾角）.|a|0，|b|cos=|c|cos.cos與cos不一定相等，|b|與|c|不一

6、定相等.b與c也不一定相等.（1）不正確.（2）若a·b=a·c，則|a|b|cos=|a|c|cos（、為a與b，a與c的夾角）.|a|（|b|cos|c|cos）=0.|a|=0或|b|cos=|c|cos.當(dāng)bc時(shí)，|b|cos與|c|cos可能相等.（2）不正確.（3）（a·b）c=（|a|b|cos）c，a（b·c）=a|b|c|cos（其中、分別為a與b，b與c的夾角）.（a·b）c是與c共線的向量，a（b·c）是與a共線的向量.（3）不正確.（4）正確.評(píng)述：判斷上述問題的關(guān)鍵是要掌握向量的數(shù)量積的含義，向量的數(shù)量積的運(yùn)

7、算律不同于實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律.【例2】 平面內(nèi)有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），點(diǎn)X為直線OP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).（1）當(dāng)·取最小值時(shí)，求的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)X滿足（1）的條件和結(jié)論時(shí)，求cosAXB的值.剖析：因?yàn)辄c(diǎn)X在直線OP上，向量與共線，可以得到關(guān)于坐標(biāo)的一個(gè)關(guān)系式，再根據(jù)·的最小值，求得的坐標(biāo)，而cosAXB是與夾角的余弦，利用數(shù)量積的知識(shí)易解決.解：（1）設(shè)=（x，y），點(diǎn)X在直線OP上，向量與共線.又=（2，1），x2y=0，即x=2y.=（2y，y）.又=，=（1，7），=（12y，7y）.同樣=（52y，1y）.于是·=（12y）（52y）+

8、（7y）（1y）=5y220y+12=5（y2）28.當(dāng)y=2時(shí)，·有最小值8，此時(shí)=（4，2）.（2）當(dāng)=（4，2），即y=2時(shí)，有=（3，5），=（1，1）.|=，|=.cosAXB=.評(píng)述：（1）中最值問題不少都轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決，因此解題關(guān)鍵在于尋找變量，以構(gòu)造函數(shù).而（2）中即為數(shù)量積定義的應(yīng)用.【例3】 已知向量、滿足+ =0，|=|=|=1.求證：P1P2P3是正三角形.剖析：由|=|=|=1知O是P1P2P3的外接圓的圓心，要證P1P2P3是正三角形，只需證P1OP2=P2OP3=P3OP1即可，即需求與，與，與的夾角.由+=0變形可出現(xiàn)數(shù)量積，進(jìn)而求夾角.證明：

9、+=0，+=.|+|=|.|2+|2+2·=|2.又|=|=|=1，·=.|cosP1OP2=，即P1OP2=120°.同理P1OP3=P2OP3=120°.P1P2P3為等邊三角形.評(píng)述：解本題的關(guān)鍵是由+=0轉(zhuǎn)化出現(xiàn)向量的數(shù)量積，進(jìn)而求夾角.深化拓展本題也可用如下方法證明：以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），則=（x1，y1），=（x2，y2），=（x3，y3）.由+=0，得由|=|=|=1，得x12+y12=x22+y22=x32+y32=1.2+2（x1x2+y1y2）=1.|=.同理|=

10、，|=.P1P2P3為正三角形.闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.若a=（2，3），b=（4，7），則a在b方向上的投影為A.B.C.D.解析：a在b方向上的投影為=.答案：C2.已知|a|=10，|b|=12，且（3a）·（b）=36，則a與b的夾角是A.60°B.120°C.135°D.150°解析：由（3a）·（b）=36得a·b=60.cosa，b=.又0°a，b180°，a，b=120°.答案：B3.若向量c垂直于向量a和b，d=a+b（、R，且0），則A.cd B.cd C.c不平行于d，也不垂直

11、于d D.以上三種情況均有可能解析：ca，cb，c·a=0，c·b=0.c·d=c·（a+b）=c·（a）+c·（b）=c·a+c·b=0.答案：B4.給出下列命題：若a2+b2=0，則a=b=0；已知a、b、c是三個(gè)非零向量，若a+b=0，則|a·c|=|b·c|；在ABC中，a=5，b=8，c=7，則·=20；a與b是共線向量a·b=|a|b|.其中真命題的序號(hào)是_.（請(qǐng)把你認(rèn)為是真命題的序號(hào)都填上）解析：a2+b2=0，|a|=|b|.又|a|0，|b|0，|a|=|b

12、|=0.a=b=0.正確.a+b=0，a=b，|a·c|=|a|c|cosa，c|，|b·c|=|b|c|cosb，c|=|a|c|cosa，c|=|a|c|cos（a，c）|=|a|c|cosa，c|.正確.cosC=.·=|cos（C）=5×8×（）=20.不正確.a與b是共線向量a=b（b0）a·b=b2，而|a|b|=|b|b|=|b|2.不正確.答案：5.已知|a|=，|b|=3，a和b的夾角為45°，求當(dāng)向量a+b與a+b的夾角為銳角時(shí)，的取值范圍.解：a+b與a+b的夾角為銳角，即（a+b）·（a+b

13、）0，也就是a2+（2+1）a·b+b20，即2+（2+1）··3·+90，解得或.6.如下圖，以原點(diǎn)和A（5，2）為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角OAB，使B=90°.求點(diǎn)B和向量的坐標(biāo).分析：這里關(guān)鍵是求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)B（x，y），由和|=|，則可列出x、y的方程組.解：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則=（x，y），=（x5，y2）.，x（x5）+y（y2）=0，即x2+y25x2y=0.又|=|，x2+y2=（x5）2+（y2）2，即10x+4y=29.解得或B點(diǎn)坐標(biāo)為（，）或（，）.故=（，）或=（，）培養(yǎng)能力7.（2004年浙江，14）（理）已知平面

14、上三點(diǎn)A、B、C滿足|=3，|=4，|=5，則·+·+·的值等于_.解析：|2+|2=|2，ABC為直角三角形，其中B=90°.·+·+·=0+|cos（C）+|cos（A）=25.答案：25（文）已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿足|=2，|=1，|=，則·+·+·的值等于_.解析：|2+|2=|2，ABC為直角三角形且C=90°.·+·+·=|cos（B）+0+|cos（A）=4.答案：48.已知F1（1，0），F(xiàn)2（1，0），A（，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足3

15、3;+·=0.（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.（2）是否存在點(diǎn)P，使PA成為F1PF2的平分線?若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）設(shè)P（x，y），則=（1x，y），=（1x，y）， =（x，y）.·=（1x）（x）+（y）2=（x+1）（x）2+y2，·=（1x）·（x）+（y）2=（x1）（x）+y2.3（x+1）（x）+y2+（x1）（x）+y2=0.x2+y2=即為P點(diǎn)的軌跡方程.（2）設(shè)存在，則cosF1PA=cosAPF2.將條件3·=·代入上式不成立.不存在.探究創(chuàng)新9.已知平面向量a=（，1），b=（，），

16、（1）證明：ab；（2）若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t，使x=a+（t23）b，y=ka+tb，且xy，試求函數(shù)關(guān)系式k=f（t）；（3）據(jù)（2）的結(jié)論，確定函數(shù)k=f（t）的單調(diào)區(qū)間.（1）證明：a·b=×+（1）×=0.（2）解：xy，x·y=0，且a·b=0，a2=4，b2=1，整理得4k+t（t23）=0，k= t（t23）.（3）解：記f（t）=（t33t），（t）=t2.令（t）0得t1或t1.因此，當(dāng)t（，1）時(shí)，f（t）是增函數(shù)；當(dāng)t（1，+）時(shí)，f（t）也是增函數(shù).再令（t）0，得1t1，故t（1，1）時(shí)，f（t）是減函數(shù).思悟

17、小結(jié)1.平面向量的數(shù)量積及其幾何意義是本節(jié)的重點(diǎn)，用數(shù)量積處理向量垂直問題，向量的長(zhǎng)度、角度問題是難點(diǎn).2.向量的數(shù)量積是向量之間的一種乘法運(yùn)算，它是向量與向量的運(yùn)算，結(jié)果卻是一個(gè)數(shù)量，所以向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示是純數(shù)量的坐標(biāo)表示.3.向量a與b的夾角：（1）當(dāng)a與b平移成有公共起點(diǎn)時(shí)兩向量所成的角才是夾角；（2）0°a，b180°；（3）cosa，b=.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛1.本課時(shí)復(fù)習(xí)的重點(diǎn)是：平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，掌握向量垂直的條件，了解用平面向量的數(shù)量積處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題.2.向量的數(shù)量積是向量之間的一種乘法運(yùn)算，它是向量與向量的運(yùn)算，結(jié)果卻是一個(gè)數(shù)量.3.要讓學(xué)生掌握向量的夾角的含義.要會(huì)用cos=或cos=求兩向量的夾角.拓展題例【例題】 在ABC中，（1）若=a，=b，求證：SABC=；（2）若=（a1，a2），=（b1，b2），求證：ABC的