第四章隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)特征

1、第四章 隨機(jī)變量的6大數(shù)字特征2009考試內(nèi)容隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（均值）、方差、標(biāo)準(zhǔn)差及其性質(zhì) 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)及其性質(zhì)2009考試要求1 理解隨機(jī)變量數(shù)字特征（數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)）的概念，會(huì)運(yùn)用數(shù)字特征的基本性質(zhì)，并掌握常用分布的數(shù)字特征。2會(huì)求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。一、數(shù)學(xué)期望 或考研數(shù)學(xué)內(nèi)容需要掌握4種平均概念：算數(shù)平均；幾何平均；區(qū)間平均；加權(quán)平均，即概率平均，也就是數(shù)學(xué)期望。1 一維隨機(jī)變量及函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 1.1 離散型1.2 連續(xù)型的概率密度為2 二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 或3 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 3.1 ； 3.2 3.3

2、獨(dú)立3.4 二、方 差 標(biāo)準(zhǔn)方差 1 離散型 2 連續(xù)型 3 性 質(zhì) 3.1 3.2 3.3 獨(dú)立 3.5 獨(dú)立 , 為任意常數(shù)。三、8+2大分布的數(shù)學(xué)期望與方差3.1 0-1分布 3.2 二項(xiàng)分布 , 為個(gè)分布之和 3.3 泊松分布 當(dāng) 3.4 均勻分布 3.5 正態(tài)分布 dt = 3.6 指數(shù)分布 3.7 幾何分布 3.8 超幾何分布 3.9 分布評(píng) 注 這個(gè)公式的證明如下： 3.10 分布四、二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征4.1 期 望 邊緣分布離散型： 邊緣分布連續(xù)型： 聯(lián)合分布函數(shù)型：4.2 方 差 邊緣分布離散型： 邊緣分布連續(xù)型： 聯(lián)合分布函數(shù)型： 兩個(gè)二維連續(xù)分布的數(shù)學(xué)期望和方差 隨機(jī)

3、變量的標(biāo)準(zhǔn)化方法 4.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) 矩 ，只反映了和各自的平均值，而，反映的是和各自偏離平均值的程度，而協(xié)方差則反映和之間的關(guān)系。 協(xié)方差 協(xié)方差的性質(zhì) 1) X和Y獨(dú)立或不相關(guān)，則； 2) 3) 4) 協(xié)方差的計(jì)算方法 1) 離散型 2) 連續(xù)型 3) 利用與和的關(guān)系是計(jì)算的主要方法 相關(guān)系數(shù) 描述的線性相關(guān)程度 相關(guān)系數(shù)本質(zhì)上是一種線性逼近?？紤]以的線性函數(shù)來近似表示，這種表示程度的好壞由下式的最小值決定證明如下 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)反應(yīng)了兩個(gè)隨機(jī)變量和的線性關(guān)系 1) 。2) 和獨(dú)立，說明和什么關(guān)系都沒有，當(dāng)然也不會(huì)有線性關(guān)系，從而；和不相關(guān)，但只能說明和沒有線性關(guān)系，但和可能有非線性

4、關(guān)系，和當(dāng)然不一定獨(dú)立。也就是說，獨(dú)立必不相關(guān)，不相關(guān)不一定獨(dú)立。只有對(duì)正態(tài)分布和二值分布而言，獨(dú)立和不相關(guān)才是完全等價(jià)。3）的充要條件是使 ，表示和是完全的線性關(guān)系。 不相關(guān)的等價(jià)命題（均為充要條件） 1) 2) 3) 4) 矩和協(xié)方差矩陣 1) 階矩原點(diǎn)矩 2) 階中心矩 3) 階混合矩 顯然，為X的一階原點(diǎn)矩，是X的二階中心矩，是X，Y的1+1階混合中心矩，也就是說隨機(jī)變量的全部數(shù)字特征最終都可以由矩來統(tǒng)一。 4) 協(xié)方差矩陣 設(shè)n維隨機(jī)變量階混合中心矩 則協(xié)方差矩陣定義如下： 由于是一個(gè)對(duì)稱矩陣，它給出了n 維隨機(jī)變量的全部方差和協(xié)方差。如對(duì)二維隨即變量，有四個(gè)二階中心矩，下面的是重要

5、考點(diǎn)。5) n維正態(tài)隨機(jī)變量的性質(zhì) n 維隨機(jī)變量服從n 維正態(tài)分布的充要條件是，即他們的線性組合服從一維正態(tài)分布。 若服從n維正態(tài)分布，的線性函數(shù)，則 服從維正態(tài)分布。 服從n維正態(tài)的分布，則相互獨(dú)立的充要條件是 兩兩不相關(guān)，這是正態(tài)分布的特別之處。五、先進(jìn)題型和求解秘訣【例1】設(shè)排球隊(duì)和比賽，若有一隊(duì)勝三場(chǎng)，則比賽結(jié)束，假定獲勝的概率為，求比賽場(chǎng)數(shù)的數(shù)學(xué)期望。 解：的可能取值為3，4，5，=3，表示或全勝 =4，表示在第四場(chǎng)取勝或在第四場(chǎng)取勝 =5，表示在第五場(chǎng)取勝或在第五場(chǎng)取勝 同步訓(xùn)練 設(shè)球隊(duì)與進(jìn)行比賽，若有一隊(duì)勝4場(chǎng)則比賽結(jié)束，已知，兩隊(duì)在每場(chǎng)比賽中獲勝概率都是，求需要比賽的場(chǎng)數(shù)的。

6、解：設(shè)比賽的場(chǎng)數(shù)為，則的可能取值=4，5，6，7，相應(yīng)的概率為 第一場(chǎng)比賽中某隊(duì)勝一場(chǎng) 該隊(duì)還需連勝三場(chǎng)，比賽結(jié)束。 最后的表示勝出一隊(duì)輸一場(chǎng)，以此類推?！纠?】一輛汽車沿街道行使，需要通過三個(gè)相互獨(dú)立的紅綠信號(hào)燈路口，已知紅綠信號(hào)顯示時(shí)間相等，以表示該汽車首次遇到紅燈已通過的路口個(gè)數(shù)，求。解：的可能取值為0，1，2，3。記，則。 【例3】已知甲乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲中正品和次品各3件，乙只有3件正品，現(xiàn)從甲箱任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求 乙箱中的次品數(shù)的； 從乙箱中任取一件是次品的概率。解： 記 應(yīng)用全概率公式，記事件=從乙箱中任取一件是次品 【例4】設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件都 不發(fā)生的概率

7、為，事件發(fā)生不發(fā)生的概率與事件不發(fā)生發(fā)生的概率相等，令，求。解：事件發(fā)生不發(fā)生的概率與事件不發(fā)生發(fā)生的概率相等，即 【例5】設(shè)相互獨(dú)立，其中， ，求。解：?！纠?】，則與不相關(guān)的充要條件是什么？解： 【例7】，求。解：有四種可能值： 【例8】 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù) a為常數(shù)求 ，并判斷與的獨(dú)立性。解： 令 則 為奇函數(shù) （歸一性） 設(shè) ，事件，則 于是由 故 與x不是相互獨(dú)立?！纠?】，求 。 解： 【例10】 設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，試求：（1） 與 （2） 與 解： （1） （2） 【例11】 設(shè)，試求 （1） （2）解： （1） （2） 【例12】設(shè)隨機(jī)變量，求。解：

8、【例13】將一枚硬幣重復(fù)擲次，以分別表示正面向上和反面向上，求。解： 【例14】獨(dú)立同分布，則必然 解：，故成立。 當(dāng)為正態(tài)分布時(shí)，則也為正態(tài)，由不相關(guān)得出獨(dú)立，但為非正態(tài)分布時(shí)，就未必，如取 ，則有故，都不一定成立?！纠?5】和在上服從聯(lián)合均勻分布，求。解： 評(píng) 注 上例中，由于，所以不相關(guān)；又由于，故并不獨(dú)立。本題形象地表明：雖然沒有線性關(guān)系，但存在二次關(guān)系（非線性關(guān)系），因此不獨(dú)立。也說明了獨(dú)立的本質(zhì)是：既沒有線性關(guān)系，也沒有非線性關(guān)系。【例16】 設(shè)隨機(jī)變量X分布列 012求 。解：由隨機(jī)變量X的分布得0122101014故 【例17】 設(shè)的分布律為 0101010求 。解：易知X的分

9、布律 Y的分布律 故： （僅當(dāng)時(shí)不為0） 【例18】 設(shè)的概率密度為， 求。解：； 【例19】點(diǎn)在以為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)服從均勻分布，求。 解： 評(píng) 注 盡管為常數(shù)，相當(dāng)于可分離變量，但由于正概率區(qū)間非矩形，故一定 是部分相關(guān)的，本質(zhì)上相當(dāng)于兩個(gè)隨機(jī)變量存在取值糾纏。【例20】，。求 ；。解： 【例21】 設(shè)服從二維正態(tài)分布概率密度 求 及協(xié)方差矩陣形式。解：易知的邊緣概率密度為 且 = 令 則 在二維正態(tài)分布的概率密度函數(shù)中 令 由于 故 上式很容易推廣到n維情況。令 則【例22】設(shè)二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，為二維正態(tài)密度函數(shù)，它們對(duì)應(yīng)的二維隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)分別為和，它們的 邊緣密度函數(shù)所對(duì)應(yīng)

10、的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望都是0，方差都是1。求 ； 證明是否獨(dú)立。解：故不相關(guān)。 又故不獨(dú)立。評(píng) 注 本題中，兩個(gè)分量都是正態(tài)分布的聯(lián)合分布不是二元正態(tài)分布，不相關(guān)但是也不獨(dú)立?！纠?3】設(shè)是兩個(gè)相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布，求。解：令， 【例24】 一個(gè)系統(tǒng)由兩個(gè)系統(tǒng)并聯(lián)而成，若只有一個(gè)系統(tǒng)發(fā)生故障，則系統(tǒng)還能工作，設(shè)兩個(gè)系統(tǒng)的工作壽命分別為X與Y，且相互獨(dú)立，并服從相同的指數(shù)分布： 求系統(tǒng)工作壽命下的。解： 聯(lián)合密度函數(shù)為： 由 得 評(píng) 注 重要關(guān)系 【例25】設(shè)和相互獨(dú)立，且都服從，求。解：方法一：定義積分法 方法二：利用重要關(guān)系，先標(biāo)準(zhǔn)化和的分布 令 【例26】獨(dú)立同分布，。求。 解：有三個(gè)可

11、能值 。 12102 【例27】設(shè)為隨機(jī)事件，。求和的概率分布。解： 0101【例28】獨(dú)立同分布，服從，。求 ；。解： 【例29】在長(zhǎng)為 的線段上任取兩點(diǎn)，試求兩點(diǎn)間距離的數(shù)學(xué)期望與方差。解： 將線段置于x軸的區(qū)間上，設(shè)X，Y表示線路上任取兩點(diǎn)的坐標(biāo)，隨機(jī)變量表示這兩點(diǎn)的距離，則由X、Y相互獨(dú)立，且均服從上的均勻分布，得的聯(lián)合密度函數(shù)為 【例30】 設(shè)X，Y，Z相互獨(dú)立，且兩兩構(gòu)成的二維隨機(jī)變量均服從二維正態(tài)分布。 試求 。解：， 【例31】 設(shè) 求 。解： 【例32】設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為 ， 求，并求的最小值。解：取得最小值時(shí)，有 又 顯然，不獨(dú)立。又 【例33】設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，

12、都服從，求 的概率密度；的分布函數(shù)和概率密度；解： 令 ?！纠?4】設(shè)服從上的均勻分布，其中， ，求。解法一：利用面積比。解法二：利用的分布律。 0101【例35】設(shè)，求。解： 【例36】已知 ，在條件下，求的分布和。解：【例37】已知，相互獨(dú)立且服從和，求。解：【例38】，求的值。解： 【例39】已知，相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布，求。解：【例40】已知在以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域服從均勻分布，對(duì)作4次獨(dú)立重復(fù)觀察，觀察值不超過1出現(xiàn)的次數(shù)為，求。解： ；【例41】已知相互獨(dú)立，方差相同，求和。解：第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征模擬題一 填空題1 某產(chǎn)品的次品率為0.1，檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn)4次。每次隨機(jī)地

13、取10件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，如發(fā)現(xiàn)其中的次品數(shù)多于1，就去調(diào)整設(shè)備，以X表示一天中調(diào)整設(shè)備的次數(shù)，則X的數(shù)學(xué)期望為_，方差為_（設(shè)諸產(chǎn)品是否為次品是相互獨(dú)立的）。2 設(shè)的概率密度為3 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)4 設(shè)隨機(jī)變量和的相關(guān)系數(shù)5 設(shè)隨機(jī)變量_。二 選擇題 設(shè)離散型隨機(jī)變量的所有可能取值為：則所對(duì)應(yīng)的概率為（）（）（）（）設(shè)是一隨機(jī)變量，且則對(duì)任意常數(shù)c必有（）（）（）（）設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，且同服從（，）上的均勻分布，則服從相應(yīng)區(qū)間或區(qū)域上均勻分布的是（）（）（）（）（，）設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，則（）()()() （）（）()<()() （）設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量（，）服從上的均勻分布，則

14、（）和不相關(guān)，不獨(dú)立。（）和相互獨(dú)立。（）和相關(guān)。（）和均服從上的均勻分布。設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布（方差大于零），令，。如果與不相關(guān)，則有（）a與b可以是任意實(shí)數(shù)。（）a與b一定相等。（）a與b互為負(fù)倒數(shù)。（）a與b互為倒數(shù)。已知隨機(jī)變量在區(qū)間，上服從均勻分布，隨機(jī)變量，則與（）相關(guān)且不獨(dú)立 （B）不相關(guān)且獨(dú)立（C）不相關(guān)且不獨(dú)立 （D）相關(guān)且獨(dú)立 三解答題1從1,2,3,4,5中任取一個(gè)數(shù)，記為X，再?gòu)?,2,，X中任取一個(gè)數(shù)，記為Y，求Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)。2一汽車沿一街道行駛，需要通過三個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其他的信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號(hào)顯示的時(shí)間相等

15、，以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個(gè)數(shù)。求。3設(shè)（X,Y）的分布律為：Y X1 0 2 00.1 0.2 0 1 2求E(XY)，D(XY)。4設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度為 求E(XY)，D(XY)。5.兩臺(tái)自動(dòng)記錄儀，每臺(tái)無故障工作的時(shí)間服從參數(shù)為的指數(shù)分布。若先開動(dòng)其中一臺(tái)，當(dāng)其發(fā)生故障時(shí)停用而另一臺(tái)自動(dòng)開啟。試求兩臺(tái)記錄儀無故障工作的總時(shí)間T的數(shù)學(xué)期望與方差。6 設(shè)與相互獨(dú)立，且均服從7 在線段0,1上取n個(gè)點(diǎn)，求其中最遠(yuǎn)兩點(diǎn)間距離的數(shù)學(xué)期望。8 設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為 求E(X)，E(Y)，Cov(X,Y)，D(X+Y)。9 假設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為

16、0.2，機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作，若一周5個(gè)工作日無故障，可獲利潤(rùn)10萬元；發(fā)生一次故障，可獲利潤(rùn)5萬元；發(fā)生二次故障，可獲利潤(rùn)0元；發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬元。求一周內(nèi)期望利潤(rùn)是多少？10. 設(shè)某種商品每周的需求量X是服從區(qū)間10，30上均勻分布的隨機(jī)變量，而經(jīng)銷商店進(jìn)貨量為區(qū)間10，30中的某一整數(shù)，商店每銷售一單位商品可得利潤(rùn)500元；若供大于求則削價(jià)處理，每處理一單位商品虧損100元；若供不應(yīng)求，則可從外部調(diào)劑供應(yīng)，此時(shí)每單位僅獲利300元。為使商店所獲利潤(rùn)期望值不少于9280元，試確定最少進(jìn)貨量。第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征模擬題答案一 填空題4. 5. 二選擇題1（B） 2. （A