七大函數(shù),七大性質(zhì)

1、 函數(shù) 綜合問題概述 趙老師教你打通關(guān) 七大函數(shù) 1、一次函數(shù)2、二次函數(shù)3、反比例函數(shù)4、指數(shù)函數(shù)5、對(duì)數(shù)函數(shù)6、冪函數(shù)7、三角函數(shù)七大性質(zhì) 1、定義域2、值域3、最值4、周期性5、奇偶性6、單調(diào)性7、對(duì)稱性壹一次函數(shù)（正比例函數(shù)）1、定義與定義式： 自變量x和因變量y有如下關(guān)系： y=kx+b 則此時(shí)稱y是x的一次函數(shù)。 特別地，當(dāng)b=0時(shí)，即：y=kx （k為常數(shù)，k0） 則此時(shí)稱y是x的正比例函數(shù)。2、一次函數(shù)的性質(zhì)：（1） 在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)P（x，y），都滿足等式：y=kx+b。（2） 一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是（0，b)，與x軸總是交于（-b/k，0）正比例函數(shù)的圖像總是過

2、原點(diǎn)。（3) k，b與函數(shù)圖像所在象限： 當(dāng)k0時(shí)，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大； 當(dāng)k0時(shí)，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。 當(dāng)b0時(shí)，直線必通過一、二象限； 當(dāng)b0時(shí)，直線必通過三、四象限。 當(dāng)b=0時(shí)，直線通過原點(diǎn)。 (4)特別地，當(dāng)b=O時(shí)，直線通過原點(diǎn)O（0，0）表示的是正比例函數(shù)的圖像。這時(shí)，當(dāng)k0時(shí)，直線只通過一、三象限；當(dāng)k0時(shí)，直線只通過二、四象限。3、一次函數(shù)和正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)貳二次函數(shù)1函數(shù)叫做一元二次函數(shù)。其圖象是一條拋物線。2根與系數(shù)的關(guān)系-韋達(dá)定理（1）若一元二次方程中，兩根為，。 求根公式， 補(bǔ)充公式 。 韋達(dá)定理，。（2）以，為兩根的

3、方程為（3）用韋達(dá)定理分解因式3任何一個(gè)二次函數(shù)都可配方為頂點(diǎn)式：，性質(zhì)如下：（1）圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸是直線。（2）最大（小）值 當(dāng)，函數(shù)圖象開口向上，有最小值，無(wú)最大值。 當(dāng)，函數(shù)圖象開口向下，有最大值，無(wú)最小值。（3）當(dāng)，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。 當(dāng)，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。 4二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關(guān)系：判別式二次函數(shù)的圖象一元二次方程的根有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根 有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根不等式的解集 叁反比例函數(shù)1、定義：一般地，形如（k為常數(shù)，）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，它可以從以下幾個(gè)方面來(lái)理解：（1）x是自變量，y是x的反比

4、例函數(shù)；（2）自變量x的取值范圍是的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)值的取值范圍是；（3）反比例函數(shù)有三種表達(dá)式：（）， （）， （定值）（）。（4）函數(shù)（）與（）是等價(jià)的，所以當(dāng)y是x的反比例函數(shù)時(shí)，x也是y的反比例函數(shù)。2、反比例函數(shù)解析式的特征：反比例函數(shù)（）的符號(hào)圖像 定義域和值域，；即（，0）U（0，+），即（，0）U（0，+）單調(diào)性圖像的兩個(gè)分支分別在第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小。圖像的兩個(gè)分支分別在第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。肆指數(shù)函數(shù)（一）指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算1根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中1，且*2實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（1） （2） （

5、3） 均滿足（二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中定義域?yàn)閤R2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)條件a10a10a0)（1），則的周期T=a；（2），或，或,或,則的周期T=2a；(3)，則的周期T=3a；(4)且，則的周期T=4a；(5) ,則的周期T=5a；(6)，則的周期T=6a.8. 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 (1)（，且）. (2)（，且）.9. 根式的性質(zhì)（1）.（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，； 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.10. 有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1). (2). (3).注：若a0，p是一個(gè)無(wú)理數(shù)，則ap表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪都適用.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互

6、化式 . 對(duì)數(shù)的換底公式 (,且,且, ). 推論 (,且,且, ).11. 對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則若a0，a1，M0，N0，則(1); (2); (3).注：設(shè)函數(shù),記.若的定義域?yàn)?則，且;若的值域?yàn)?則，且.對(duì)于的情形,需要單獨(dú)檢驗(yàn).12. 對(duì)數(shù)換底不等式及其推論若,則函數(shù)(1) 當(dāng)時(shí),在和上為增函數(shù).(2) 當(dāng)時(shí),在和上為減函數(shù).推論：設(shè)，且，則 （1）. （2）. 函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性）“定義域優(yōu)先”的思想是研究函數(shù)的前提，在求值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、換元時(shí)易忽略定義域，所以必須先考慮函數(shù)的定義域，離開函數(shù)的定義域去研究函數(shù)的性質(zhì)沒有任何意義。1. 奇偶性奇偶

7、性的判定法：首先考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再計(jì)算f(-x)與f(x)之間的關(guān)系：f(-x)=f(x)為偶函數(shù)； f(-x)=-f(x)為奇函數(shù)； f(-x)-f(x)=0為偶； f(x)+f(-x)=0為奇； f(-x)f(x)=1是偶； f(x)f(-x)=-1為奇函數(shù).（1） 若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 （2）若定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 非奇非偶 例如：在上不是奇函數(shù) 常用性質(zhì)： 1是既奇又偶函數(shù)； 2奇函數(shù)若在處有定義，則必有； 3偶函數(shù)滿足； 4奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱； 5除外的所有函數(shù)的奇偶性滿足： （1）奇函數(shù)奇函數(shù)=奇函數(shù) 偶函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù) 奇函數(shù)偶函數(shù)=非奇

8、非偶 （2）奇函數(shù)奇函數(shù)=偶函數(shù) 偶函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù) 奇函數(shù)偶函數(shù)=奇函數(shù)6 任何函數(shù)可以寫成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和。2. 單調(diào)性定義：函數(shù)定義域?yàn)锳，區(qū)間，若對(duì)任意且 總有則稱在區(qū)間M上單調(diào)遞增 總有則稱在區(qū)間M上單調(diào)遞減 應(yīng)用：（一）常用“定義法”來(lái)證明一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性一般步驟：（1）設(shè)值（2）作差（3）變形（4）定號(hào)（5）結(jié)論（二） 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間定義法、圖象法、復(fù)合函數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法(以后學(xué))注：常用結(jié)論（1） 奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同（2） 偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反（3） 復(fù)合函數(shù)單調(diào)性-同增異減（右圖） 3. 周期性（1）一般地對(duì)于函數(shù)，若存在一個(gè)不為0的常數(shù)T，使

9、得內(nèi)一切值時(shí)總有，那么叫做周期函數(shù)，T叫做周期，kT（T的整數(shù)倍）也是它的周期（2）如果周期函數(shù)在所有周期中存在一個(gè)最小正數(shù)，就把這個(gè)最小正數(shù)叫最小正周期。注：常用結(jié)論（1）若，則是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期（自己證明）（2）若定義在R上的函數(shù)y = f (x) 圖像同時(shí)關(guān)于直線x = a 和直線x = b成軸對(duì)稱 （ab），則y = f (x)是周期函數(shù)，且2| ab|是其一個(gè)周期。（自己證明） （推論）若定義在R上的偶函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期（3） 若；則是周期函數(shù)，2是它的一個(gè)周期4對(duì)稱性一、函數(shù)自身的對(duì)稱性1、函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的充要條件是 f (x) + f (x) = 02、函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于直線x = a對(duì)稱的充要條件是 f (a +x) = f (ax) 即f (x) = f (2ax) 3、函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的充要條件是 f (x) = f (x)4、若函數(shù)y =