角平分線的性質(zhì)與判定

1、11.3 角平分線的角平分線的性質(zhì)與判定性質(zhì)與判定（2課時）課時）安居育才中學初二備課組復習提問復習提問1 1、角平分線的定義、角平分線的定義oBCA12復習提問復習提問 2 2、點到直線距離、點到直線距離: :從直線外一點從直線外一點到這條直線的到這條直線的垂線段垂線段的的長度長度，叫做叫做點到直線的距離。點到直線的距離。OPAB我的我的長度長度3 3、角平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等用符號語言表示為：用符號語言表示為：AOBPED12 1= 2 1= 2 PD OA PD OA ，PE OBPE OBPD=P

2、EPD=PE( (角角的的平分線上的點到角的兩邊平分線上的點到角的兩邊的距離相等的距離相等) )推理的理由有推理的理由有三個三個，必須寫完全，不能必須寫完全，不能少了任何一個。少了任何一個。復習提問復習提問判斷下列各題是否正確地使用了角的平分線的性質(zhì)判斷下列各題是否正確地使用了角的平分線的性質(zhì)? ?(1)(1)如圖如圖 ，ACAC平分平分BADBAD DC=BC DC=BC(2)(2)如圖如圖 ，BCBCAB,DCAD DB=DC DB=DC(3)(3)如圖如圖，ADAD平分平分BACBAC， 且且DBABDBAB，DCACDCAC BD=CD BD=CDCABD圖圖圖圖錯誤錯誤錯誤錯誤正確正

3、確CBAD如圖，如圖， OC是是AOB的平分線，的平分線， 又又 _PD=PE ( )PDOA，PEOBBOACDPE 角的平分線上的點角的平分線上的點 到角的兩邊的距離相等到角的兩邊的距離相等OP 是是 的平分線的平分線AOBOAPD OBPE PD= PE （到一個角的兩邊的距離相等的點，（到一個角的兩邊的距離相等的點， 在這個角的平在這個角的平 分線上）分線上）DEOPAB用符號語言表示為：用符號語言表示為： 角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。角的平分線上。4 4、角平分線的判定、角平分線的判定復習提問復習提問BADOPECPD = PEO

4、P 是是 的平分線的平分線AOBOAPD OBPE OP 是是 的平分線的平分線AOBPD = PEOAPD OBPE 用途：證線段相等用途：證線段相等用途：判定一條射線是角平分線用途：判定一條射線是角平分線由上面兩個定理可知：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等；由上面兩個定理可知：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等；反過來，到角的兩邊的距離相等的點都在這個角平分線上。反過來，到角的兩邊的距離相等的點都在這個角平分線上。練習練習1：填空：填空：(1). 1= 2,DCAC, DEAB _(_)(2). DCAC ,DEAB ,DC=DE_(_ _)ACDEB121= 2DC=DE到一個角的兩邊

5、的距離相等的點，在這個角平分線上。到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角平分線上。角平分線上的點到角的兩邊的距離相等角平分線上的點到角的兩邊的距離相等AD平分平分BAC 如圖如圖,是一個平分角的儀器是一個平分角的儀器,其中其中AB=AD,BC=DC.將點將點A放在角的頂點放在角的頂點,AB和和AD沿著角的兩邊放下沿著角的兩邊放下,沿沿AC畫一條畫一條射線射線AE,AE就是角平分線就是角平分線.你能說明它的道理嗎你能說明它的道理嗎?CADB你能由上面的探究得出作已知角的平分線的方法嗎你能由上面的探究得出作已知角的平分線的方法嗎?E角的平分線的作法角的平分線的作法證明：證明： 在在ACD和和ACB

6、中中 AD=AB（已知）（已知） DC=BC（已知）（已知） CA=CA（公共邊）（公共邊） ACD ACB（SSS） CAD=CAB（全等三角形的對應邊相等）（全等三角形的對應邊相等） AC平分平分DAB（角平分線的定義）（角平分線的定義）尺規(guī)作角的平分線尺規(guī)作角的平分線畫法：畫法：以為圓心，適當以為圓心，適當長為半徑作弧，交于，長為半徑作弧，交于，交于交于分別以，為分別以，為圓心大于圓心大于 1/2 的長的長為半徑作弧兩弧在為半徑作弧兩弧在的內(nèi)部交于的內(nèi)部交于作射線作射線射線即為所求射線即為所求為什么為什么OCOC是角平分線呢？是角平分線呢？ 想一想：想一想：已知：已知：OM=ONOM=O

7、N，MC=NCMC=NC。求證：求證：OCOC平分平分AOBAOB。證明證明：在：在OMCOMC和和ONCONC中，中， OM=ONOM=ON， MC=NCMC=NC， OC=OCOC=OC， OMC OMC ONCONC（SSSSSS） MOC=NOCMOC=NOC 即：即：OCOC平分平分AOBAOB 1、在、在OAB中，中，OE是它的角平分線，且是它的角平分線，且EA=EB，EC、ED分別垂直分別垂直O(jiān)A，OB，垂足為，垂足為C，D.求證：求證：AC=BD.O OA AB BE EC CD D 2、 在在ABC中，中， C=90 ，AD為為BAC的平分線，的平分線，DEAB，BC7，DE

8、3.求求BD的長。的長。EDCBA 3、 如圖，在如圖，在ABC中，中，C=90 AD是是BAC的平分線，的平分線，DEAB于于E，F(xiàn)在在AC上，上，BD=DF； 求證：求證：CF=EBACDEBF4 4、已知：如圖，、已知：如圖，ABCABC的角平分線的角平分線BMBM、CNCN相交于點相交于點P.P.求證：點求證：點P P到三邊到三邊ABAB、BCBC、CACA的距離相等的距離相等. .證明：證明：過點過點P作作PD 、PE、PF分別分別垂直于垂直于AB、BC、CA，垂足為垂足為D、E、F BM是是ABC的角平分線，點的角平分線，點P在在BM上上 PD=PE（在角平分線上的點到角的兩邊的距

9、離相等）在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等） 同理同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即點即點P到邊到邊AB、BC、 CA的距離相等的距離相等ABCMNPDEF怎樣找三角形內(nèi)到三角形三邊距離相等的點？怎樣找三角形內(nèi)到三角形三邊距離相等的點？5、如圖，、如圖，的的的外角的平分線的外角的平分線與與的外角的平分線相交于點的外角的平分線相交于點求證：點到三邊，所在直線求證：點到三邊，所在直線的距離相等的距離相等F FGH更上一層樓！更上一層樓！，6 6、在、在RtRtABCABC中，中，BDBD是角平分線，是角平分線，DEABDEAB，垂足為垂足為E E，DEDE與與DCDC相等嗎？為什么？相等

10、嗎？為什么？ ABCDE 7 7、如圖、如圖,OC,OC是是AOBAOB的平分線的平分線, ,點點P P在在OCOC上上,PD ,PD OA,PEOB,OA,PEOB,垂足分別是垂足分別是DD、E,PD=4cm,E,PD=4cm,則則PE=_cm.PE=_cm.ADOBEPC知識應用知識應用8 . 8 . 如圖，如圖，DEABDEAB，DFBCDFBC，垂足，垂足分別是分別是E E，F(xiàn) F， DE =DFDE =DF， EDB= EDB= 6060，則，則 EBF=EBF= 度，度，BE=BE= 。ABCDCEF60BF9. 9. 如圖，在如圖，在ABCABC中，中，C=90C=90，DEAB

11、DEAB，1=21=2，且，且AC=6cmAC=6cm，那么線段，那么線段BEBE是是ABCABC的的 ，AE+DE=AE+DE=。角的平分線角的平分線6cm6cm練習練習10.已知已知ABC中中, C=900,AD平分平分 CAB,且且 BC=8,BD=5,求點求點D到到AB的距離是多少？的距離是多少？ABCDE你會嗎？你會嗎？11.3 角平分線的角平分線的性質(zhì)與判定性質(zhì)與判定（第（第2課時）課時）安居育才中學初二備課組1 1、 已知：如圖，已知：如圖，C = C= 90C = C= 90 ，AC = AC AC = AC 求證求證（1 1） ABC =ABC = ABCABC ；（；（2

12、2）BC=BC BC=BC （要求不用三角形全等的判定）（要求不用三角形全等的判定）BCAC我們利用折紙和尺規(guī)作圖的方法都發(fā)現(xiàn)三角我們利用折紙和尺規(guī)作圖的方法都發(fā)現(xiàn)三角形的三條角平分線相交于一點，你能證明這形的三條角平分線相交于一點，你能證明這個結論嗎？個結論嗎？2、如圖，設、如圖，設ABC的角的角平分線平分線BM，CN相交于點相交于點P，你能證明點，你能證明點P在在BAC的平分線上嗎？的平分線上嗎？CABDFEPNM證明證明: :過點過點P P分別作分別作BCBC，ACAC，ABAB的垂線，垂足分別是的垂線，垂足分別是E E，F(xiàn) F，D D，BMBM是是ABCABC的角平分線，點的角平分線，

13、點P P在在BMBM上，上，PD=PEPD=PE（角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等）（角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等）同理，同理，PE=PFPE=PF， PD=PFPD=PF點點P P在在BACBAC的平分線上（在一個角的內(nèi)部，且到角的的平分線上（在一個角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上）。兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上）。ABCABC三條角平分線相交于點三條角平分線相交于點P P。3.3.已知：如圖，已知：如圖，ABCABC的外角的外角CBDCBD和和BCEBCE的平分線相交于點的平分線相交于點F F。求證：點求證：點F F在在DAEDAE的平分線上。

14、的平分線上。CD A B F E 你會嗎？你會嗎？OQP變式變式4.如圖，直線如圖，直線l1、 l2 、 l3 表示三條互相表示三條互相交叉的公路，現(xiàn)要造一個垃圾中轉(zhuǎn)站，交叉的公路，現(xiàn)要造一個垃圾中轉(zhuǎn)站，要求它到這三條公路的距離相等，則可要求它到這三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有供選擇的地址有( )A 1處處B 2處處C 3處處D 4處處l3l1l2變式變式 5、已知，如圖，、已知，如圖， B=C= ，M是是BC的中點，的中點， DM平分平分ADC。 求證：求證：AM平分平分DAB。090AMDCB證明：證明：過M作MEAD于EE B=C= MCDC， MBAB又又 DM平分平分ADCM

15、E=MCMC=MB ME=MBAM平分平分DAB090（到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上）（到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上）（角平分線上的角平分線上的 點點 到角兩邊的距離相等）到角兩邊的距離相等）6.已知：如圖，已知：如圖，O是三條角平分線的交是三條角平分線的交點，點，ODBC于于D，OD=3， ABC的的周長為周長為15，求則，求則SABC 。ABCOMNG D7、如圖，、如圖， AD是是ABC的角平分線，的角平分線，DEAB，DFAC，垂足分別是，垂足分別是E、F，連接，連接EF，EF與與AD交于交于G。求證：。求證：（1） DE=DFBFEDCAG（2）AE=AF（3） ADEF8、三角形三條、三角形三條_的交點，到三的交點，到三邊距離相等。邊距離相等。9、三角形三條、三角形三條_的交點，到三的交點，到三個頂點的距離相等。個頂點的距離相等。練一練練一練NPHMCBA作業(yè)：1111、已知、已知:BDAM:BDAM于點于點D,CEAND,CEAN于點于點E,BD,CEE,BD,CE交交點點F,CF=BF,F,CF=BF,求證求證: :點點F F在在AA的平分線上的平分線上.