兩因素方差分析

1、兩因素方差分析一、 兩因素方差分析中的基本概念1. 例1-1(pp1)：四種療法治療缺鐵性貧血后紅細(xì)胞增加數(shù)服用A藥，則A2,否則A=1；服用B藥，則B2,否則B=1療法X總體均數(shù)AB療法1(一般療法)0.8 ，0.9 ，0.7m1111療法2(一般療法+A藥)1.3，1.2，1.1m2121療法3(一般療法+B藥)0.9，1.1，1.0m1212療法4(一般療法+A藥B藥)2.1，2.2，2.0m2222兩因素Stata數(shù)據(jù)輸入格式xab10.81120.91130.71141.32151.22161.12170.91281.1129112102.122112.22212222命令 anov

2、a x a b a*b其中a 表示A藥療效的主效應(yīng)，b表示B藥療效的主效應(yīng)，a*b表示A藥與B藥對(duì)療效的交互作用結(jié)果如下 Number of obs = 12 R-squared = 0.9737 Root MSE = .10 Adj R-squared = 0.9638 Source | Partial SS df MS F Prob > F-+- Model | 2.96249994 3 .98749998 98.75 0.0000 | a | 1.6875 1 1.6875 168.75 0.0000 b | .907499974 1 .907499974 90.75 0.0000

3、 a*b | .367499967 1 .367499967 36.75 0.0003 | Residual | .080000002 8 .01 -+- Total | 3.04249994 11 .276590904 結(jié)果表明：對(duì)于a=0.05而言H10:沒(méi)有交互作用并且A藥和B藥療效的主效應(yīng)都沒(méi)有差異H11：有交互作用或A藥主效應(yīng)有差異或B藥主效應(yīng)有差異FModel=98.75，P值<0.05，因此認(rèn)為模型是有效的(或有交互作用或有主效應(yīng))。H20:沒(méi)有交互作用H21：有交互作用FA×B=36.75，P值=0.0003<0.05，因此A藥與B藥的療效有交互作用，并且

4、有統(tǒng)計(jì)意義。H30：A藥沒(méi)有差異H31：A藥主效應(yīng)有差異FA=168.75，P值<0.05，A藥的主效應(yīng)有統(tǒng)計(jì)意義H40：B藥沒(méi)有差異H41：B藥主效應(yīng)有差異FB=90.75，P值<0.05，B藥的主效應(yīng)也有統(tǒng)計(jì)意義。問(wèn)題：模型是什么？ 模型：其中mab是x的總體均數(shù)，aa稱為A因素的主效應(yīng)，bb稱為B因素的主效應(yīng)，(ab)ab稱為A因素和B因素對(duì)因變量x(觀察指標(biāo)變量)的交互作用。2. 主效應(yīng)的意義A藥B藥平均A主效應(yīng)表示未服用服用未服用m11m12服用m21m22平均B主效應(yīng)稱a1和a2為A因素的主效應(yīng)，b1和b2為B因素的主效應(yīng)。并且可以驗(yàn)證：a1a20(即：a1a2)以及b

5、1b20(b1b2)若a1a2(即a1=a20)，則對(duì)應(yīng)A因素的主效應(yīng)沒(méi)有作用。若b1b2(即b1=b20)，則對(duì)應(yīng)B因素的主效應(yīng)沒(méi)有作用。3. 交互作用的意義A藥B藥A主效應(yīng)表示未服用服用未服用m11m.+a1b1(ab)11m12m.+a1b2(ab)12服用m21m.+a2b1(ab)21m22m.+a2b2(ab)22B主效應(yīng)即：(ab)11=m11m.a1b1 (ab)12m12m.a1b2(ab)21m21m.a2b1 (ab)22m22m.a2b2并且根據(jù)m.1，m.2，m1.，m2.和m.定義，請(qǐng)驗(yàn)證：(ab)11+(ab)12=0 >(ab)11=(ab)12(ab)1

6、1+(ab)21=0 >(ab)11(ab)21(ab)21+(ab)22=0 > (ab)22(ab)21(ab)11(ab)12(ab)12+(ab)22=0 若(ab)11=(ab)22(ab)21(ab)120，則稱無(wú)交互作用。否則稱A因素和B因素對(duì)觀察指標(biāo)構(gòu)成交互作用。例如：若無(wú)交互作用模型：并稱為Reduced模型(稱有交互作用的模型為飽和模型或全模型)A藥B藥A主效應(yīng)表示未服用服用未服用m11m.+a1b1m12m.+a1b2服用m21m.+a2b1m22m.+a2b2B主效應(yīng)如A藥B藥平均A主效應(yīng)表示未服用服用未服用0.5(0.65-0.05-0.1)0.7(0.6

7、5-0.05+0.1)m1.=0.6m1.=0.650.05(a1=0.05)服用0.6(0.65+0.050.1)0.8(0.65+0.05+0.1)m2.=0.7m2.=0.650.05(a2=0.05)平均m.1=0.55m.2=0.75m.=0.65B主效應(yīng)m.1=0.65-0.1(b1=0.1)m.2=0.65+0.1(b2=0.1)未服用A藥時(shí)，未服用B藥與服用B藥均數(shù)差值m11m12b1b2=2b1服用A藥時(shí)，未服用B藥與服用B藥均數(shù)差值為m21m22b1b2=2b1即：B藥的療效與是否服用A藥無(wú)關(guān)，并且B藥的療效正好為B藥的主效應(yīng)的差異=2b1未服用B藥時(shí),未服用A藥與服用A藥

8、均數(shù)差值m11m21a1a2=2a1服用B藥時(shí),未服用A藥與服用A藥均數(shù)差值為m12m22a1a2=2a1即：A藥的療效與是否服用B藥無(wú)關(guān)，并且A藥的療效正好為A藥的主效應(yīng)的差異=2a1。有交互作用的情況A藥B藥A主效應(yīng)表示未服用服用未服用m11m.+a1b1(ab)11m12m.+a1b2(ab)12服用m21m.+a2b1(ab)21m22m.+a2b2(ab)22B主效應(yīng)未服用A藥時(shí)，未服用B藥與服用B藥均數(shù)差值：m11m12b1b2(ab)11(ab)12=2b1+2(ab)11服用A藥時(shí)，未服用B藥與服用B藥均數(shù)差值：m21m22b1b2(ab)21(ab)22=2b12(ab)11

9、，因此(ab)11不為0時(shí)，未服用B藥與服用B藥均數(shù)差值與是否服用A藥有關(guān)。即交互作用。同理可以驗(yàn)證未服用A藥與服用A藥均數(shù)差值與是否服用B藥有關(guān)。即交互作用。如A藥B藥平均A主效應(yīng)表示未服用服用未服用0.4(.75-.25-.15-.05)0.8(0.75+.25-.15+.05)m1.=0.6m1.=0.750.15(a1=0.15)服用0.6(.75-.25+.15+.05)1.2(.75+.25+.15-.05)m2.=0.9m2.=0.750.15(a2=0.15)平均m.1=0.5m.2=1.0m.=0.75B主效應(yīng)m.1=0.75-0.25(b1=0.25)m.2=0.75+0.

10、25(b2=0.25)紅色的數(shù)值為交互效應(yīng)如果有交互作用，則：兩個(gè)藥都用的均數(shù)>A藥的均數(shù)B藥的均數(shù)兩個(gè)藥都未用的均數(shù)(本例即：m22>m12+m21m11)，則稱協(xié)同作用。兩個(gè)藥都用的均數(shù)<A藥的均數(shù)B藥的均數(shù)兩個(gè)藥都未用的均數(shù)(本例即：m22<m12+m21m11)，則稱拮抗作用。在實(shí)際統(tǒng)計(jì)時(shí)，如果檢驗(yàn)的結(jié)果為有交互作用，只需用相應(yīng)的樣本均數(shù)代替總體均數(shù)驗(yàn)算一下：判斷協(xié)同作用還是拮抗作用。4. 兩因素方差分析中的兩兩比較(簡(jiǎn)單效應(yīng)的組間比較Comparison of simple effect by group)：有許多方法可以進(jìn)行兩兩比較，這里介紹的LSD方法進(jìn)行

11、兩兩比較。分兩個(gè)步驟進(jìn)行。一、借用單因素方差分析的方法進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)描述：以pp1中的例1-1為例：在該研究中有兩個(gè)因素，每個(gè)因素有2個(gè)水平：用和不用，因此共有4種情況，對(duì)應(yīng)有4組，兩因素方差分析的兩兩比較時(shí)，可以轉(zhuǎn)化為4組(各個(gè)因素的水平數(shù)之和)的單因素方差分析。仍以上述Stata文件結(jié)構(gòu)：產(chǎn)生分組變量groupgen group=a+(b-1)*2對(duì)應(yīng)的關(guān)系為：ABgroup111212123224oneway x group , t sidak | Summary of x group | Mean Std. Dev. Freq.-+- 1 | .79999999 .099999

12、99 3 2 | 1.2 .09999996 3 3 | 1 .10000002 3 4 | 2.1 .10000002 3-+- Total | 1.275 .5259191 12 Analysis of Variance Source SS df MS F Prob > F-Between groups 2.96249994 3 .98749998 98.75 0.0000 Within groups .080000002 8 .01- Total 3.04249994 11 .276590904Bartlett's test for equal variances: chi

13、2(3) = 0.0000 Prob>chi2 = 1.000結(jié)果說(shuō)明：各組方差齊性anova x group Number of obs = 12 R-squared = 0.9737 Root MSE = .10 Adj R-squared = 0.9638 Source | Partial SS df MS F Prob > F -+- Model | 2.96249994 3 .98749998 98.75 0.0000 | group | 2.96249994 3 .98749998 98.75 0.0000 | Residual | .080000002 8 .01 -

14、+- Total | 3.04249994 11 .276590904 4組的總體均數(shù)不全相同。regress- x Coef. Std. Err. t P>|t| 95% Conf. Interval-_cons 2.1 .057735 36.37 0.000 1.966863 2.233137group 1 -1.3 .0816497 -15.92 0.000 -1.488284 -1.111716 2 -.9 .0816497 -11.02 0.000 -1.088284 -.7117155 3 -1.1 .0816497 -13.47 0.000 -1.288284 -.9117

15、155 4 (dropped)-Coef.表示第4組均數(shù)其他組的均數(shù)的差值，如：第4組均數(shù)第2組均數(shù)的差值0.9。P>|t|表示第4組均數(shù)與其他組的均數(shù)比較的P值，如第4組均數(shù)與第2組均數(shù)比較的P值=0.000。即：第4組(用A藥且用B藥)的紅細(xì)胞增加數(shù)均數(shù)大于其他3組的紅細(xì)胞增加數(shù)均數(shù)，并且差別有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。第1至3組的均數(shù)比較的檢驗(yàn)操作如下：第i組與第j組比較：test _bgroupi=_bgroupjH0：mi=mj檢驗(yàn)命令F值與P值m1=m2test _bgroup1=_bgroup2F(1,8)=24.00Prob>F=0.0012m1=m3test _bgroup1=

16、_bgroup3F(1,8)=6.00Prob>F=0.0400m2=m3test _bgroup2=_bgroup3F(1,8)=6.00Prob>F=0.0400結(jié)果說(shuō)明：第2組(不用B藥情況下用A藥)的紅細(xì)胞增加數(shù)均數(shù)大于第1組(不用B藥和A藥)和第3組(不用A藥情況下用B藥)的紅細(xì)胞增加數(shù)均數(shù)，差別有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。第3組(不用A藥情況下用B藥)的紅細(xì)胞增加數(shù)均數(shù)大于第1組(不用B藥和A藥)的紅細(xì)胞增加數(shù)均數(shù)，差別有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。判斷何種交互作用組別第1組第4組第2組第3組不用B藥用B藥不用B藥用B藥不用A藥用A藥用A藥不用A藥樣本均數(shù)0.82.11.21.00.8+2.1=2.9>2.2=1.2+1.0結(jié)合兩因素方差分析的結(jié)果說(shuō)明A藥和B藥的療效構(gòu)成協(xié)同作用。結(jié)果小結(jié)：A藥和