含參一元二次不等式的解法

1、含參一元二次不等式的解法溫縣第一高級中學(xué)數(shù)學(xué)組 任利民解含參一元二次不等式，常涉及對參數(shù)的分類討論以確定不等式的解，這是解含參一元二次不等式問題的一個(gè)難點(diǎn).解含參一元二次不等式時(shí)對參數(shù)的分類主要依據(jù)有三個(gè)因素：比較兩根大?。慌袆e式的符號；二次項(xiàng)系數(shù)的符號.下面例舉幾例來加以分析說明.一、 根據(jù)二次不等式所對應(yīng)方程的根的大小分類例1解關(guān)于的不等式.分析：原不等式等價(jià)于，所對應(yīng)方程的兩根是或.這兩個(gè)根的大小關(guān)系不確定，因此分類的標(biāo)準(zhǔn)是與的大小關(guān)系.這樣就容易將分成這三類.解：原不等式等價(jià)于，所對應(yīng)方程的兩根是或.當(dāng)時(shí)，有，所以不等式的解集為或.當(dāng)時(shí)，有，所以不等式的解集為且當(dāng)時(shí)，有，所以不等式的解

2、集為或.【評注】對參數(shù)進(jìn)行的討論是根據(jù)解題的需要而自然引出的，并非一開始就對參數(shù)加以分類討論.當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不含參數(shù)且能進(jìn)行因式分解時(shí)，其解法較容易，只討論根的大小.本題中對的討論時(shí)，的選取依據(jù)就是比較兩個(gè)根的大小.解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象特征，做到眼中有題，心中有圖.二、 根據(jù)判別式的符號分類例2解關(guān)于的不等式.分析：設(shè)，欲確定的根的情況，需討論三種情況，由此來確定的圖像，并最終確定不等式的解集.解：不等式所對應(yīng)方程的判別式 當(dāng)，即或時(shí)，原不等式所對應(yīng)方程的兩根為:或, 原不等式的解集為或 當(dāng)，得.當(dāng)時(shí),原不等式的解集為且.當(dāng)時(shí),原不等式的解集為且. 當(dāng)，即時(shí), 原不等式的解集為.【評

3、注】解含參的一元二次不等式，可先分解因式，再討論求解，若不易分解，也可對分類討論，或利用二次函數(shù)圖象求解.本題對討論時(shí)，的選取依據(jù)是題設(shè)條件和根存在的條件.對于二次項(xiàng)系數(shù)不含參數(shù)且不能因式分解時(shí)，則需對判別式的符號分類.三、 根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的符號分類例3解關(guān)于的不等式.分析：二次項(xiàng)系數(shù)決定了不等式的性質(zhì)（時(shí)，是一次不等式；時(shí)，是二次不等式）.原不等式對應(yīng)方程的根無法確定，需討論的符號解：當(dāng)時(shí),原不等式的解集為.當(dāng)時(shí),原不等式所對應(yīng)方程的判別式. 當(dāng)時(shí), ，即時(shí),原不等式的解集為.當(dāng)，即時(shí)，原不等式的解集為.當(dāng)，即時(shí)，原不等式的解集為. 當(dāng)時(shí), ，即時(shí),原不等式的解集為或當(dāng)，即時(shí)，原不等式的解集為.當(dāng)，即時(shí)，原不等式的解集為.【評注】本題中對參數(shù)的討論，選取了0，1，-1其依據(jù)是二次項(xiàng)系數(shù)的符號、判別式的符號和根的大小.問題比較復(fù)雜，但只要抓住這三點(diǎn)，有次