變力做功的計算

1、公式適用于恒力功的計算，對于變力做功的計算，一般有以下幾種方法。一、微元法對于變力做功，不能直接用進行計算，但是我們可以把運動過程分成很多小段，每一小段內(nèi)可認為F是恒力，用求出每一小段內(nèi)力F所做的功，然后累加起來就得到整個過程中變力所做的功。這種處理問題的方法稱為微元法，這種方法具有普遍的適用性。但在高中階段主要用于解決大小不變、方向總與運動方向相同或相反的變力的做功問題。例1. 用水平拉力，拉著滑塊沿半徑為R的水平圓軌道運動一周，如圖1所示，已知物塊的質(zhì)量為m，物塊與軌道間的動摩擦因數(shù)為。求此過程中摩擦力所做的功。圖1思路點撥：由題可知，物塊受的摩擦力在整個運動過程中大小不變，方向時刻變化，

2、是變力，不能直接用求解；但是我們可以把圓周分成無數(shù)小微元段，如圖2所示，每一小段可近似成直線，從而摩擦力在每一小段上的方向可認為不變，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起來，便可求得結(jié)果。圖2正確解答：把圓軌道分成無窮多個微元段，摩擦力在每一段上可認為是恒力，則每一段上摩擦力做的功分別為，摩擦力在一周內(nèi)所做的功。誤點警示：對于此題，若不加分析死套功的公式，誤認為位移s0，得到W0，這是錯誤的。必須注意本題中的F是變力。小結(jié)點評：對于變力做功，一般不能用功的公式直接進行計算，但有時可以根據(jù)變力的特點變通使用功的公式。如力的大小不變而方向總與運動方向相同或相反時，可用計算該力的功，但式子中的s

3、不是物體運動的位移，而是物體運動的路程。發(fā)散演習如圖3所示，某個力F10N作用于半徑R1m的轉(zhuǎn)盤的邊緣上，力F的大小保持不變，但方向任何時刻與作用點處的切線方向保持一致。則轉(zhuǎn)動半圓，這個力F做功多少？圖3答案：31.4J。二、圖象法在直角坐標系中，用縱坐標表示作用在物體上的力F，橫坐標表示物體在力的方向上的位移s。如果作用在物體上的力是恒力，則其Fs圖象如圖4所示。經(jīng)過一段時間物體發(fā)生的位移為s0，則圖線與坐標軸所圍成的面積（陰影面積）在數(shù)值上等于力對物體做的功WFs，s軸上方的面積表示力對物體做正功（如圖4（a）所示），s軸下方的面積表示力對物體做負功（如圖4（b）所示）。圖4如果Fs圖象是

4、一條曲線（如圖5所示），表示力的大小隨位移不斷變化，在曲線下方作階梯形折線，則折線下方每個小矩形面積分別表示相應恒力做的功。當階梯折線越分越密時，這些小矩形的總面積越趨近于曲線下方的總面積，可見曲線與坐標軸所圍成的面積在數(shù)值上等于變力所做的功。由于Fs圖象可以計算功，因此Fs圖象又稱為示功圖。圖5例2. 子彈以速度射入墻壁，入射深度為h。若子彈在墻中受到的阻力與深度成正比，欲使子彈的入射深度為2h，求子彈的速度應增大到多少？思路點撥：阻力隨深度的變化圖象如圖6所示，由圖象求出子彈克服阻力做的功，再由動能進行求解。圖6正確解答：解法一：設射入深度為h時，子彈克服阻力做功W1；射入深度為2h時，子

5、彈克服阻力做功W2。由圖6可知根據(jù)動能定理，子彈減少的動能用于克服阻力做功，有聯(lián)立求解得。解法二：設阻力與深度間的比例系數(shù)為k，F(xiàn)fks。由于Ff隨位移是線性變化的，所以Ff的平均值為。根據(jù)動能定理，有聯(lián)立求解得。小結(jié)點評：若力隨位移按一次方函數(shù)關(guān)系變化時，求功時可用平均作用力來代替這個變力，用恒力功的公式求功，也可用Fs圖象求功；若力隨位移的變化不是一次函數(shù)關(guān)系，則可用圖象求功，而不能用平均值求功。發(fā)散練習1. 如圖7所示，有一勁度系數(shù)k500N/m的輕彈簧，左端固定在墻壁上，右端緊靠一質(zhì)量m2kg的物塊，物塊與水平面間的動摩擦因數(shù)，彈簧處于自然狀態(tài)?，F(xiàn)緩慢推動物塊使彈簧從B到A處壓縮10c

6、m，然后由靜止釋放物塊，求（1）彈簧恢復原長時，物塊的動能為多大？（2）在彈簧恢復原長的過程中，物塊的最大動能為多大？圖7答案：（1）1.7J；（2）1.764J。提示：（1）從A到B的過程，對物體應用動能定理得，其中。W彈可利用示功圖求出，畫出彈簧彈力隨位移變化的圖象（如圖8所示）F1kx1，彈力做功的值等于OAB的面積，即，所以。圖8（2）放開物體后，物體做的是加速度越來越小的加速運動，當彈簧的彈力等于摩擦力時，物體有最大的動能。設此時彈簧的壓縮量為。由得。物體的位移。在這一過程中彈力的功在數(shù)值上等于圖8中梯形OADC的面積，即，所以物塊的最大動能為。2. 用質(zhì)量為5kg的均勻鐵索從10m

7、深的井中吊起一質(zhì)量為20kg的物體，在這個過程中至少要做多少功？（g取10m/s2）答案：2250J提示：作用在物體和鐵索上的力至少應等于物體和鐵索的重力，但在拉起鐵索的過程中，鐵索長度逐漸縮短，因此拉力也逐漸減小，即拉力是一個隨距離變化的變力。從物體在井底開始算起，拉力隨深度h的變化關(guān)系是（0h10），作出Fh圖線如圖9所示，利用示功圖求解拉力的功（可用圖中梯形面積表示），得出。圖93. 一輛汽車質(zhì)量為1×105kg，從靜止開始運動，其阻力為車重的0.05倍。其牽引力的大小與車前進的距離是線性關(guān)系，且，是車所受阻力，當該車前進100m時，牽引力做了多少功？答案：1×107

8、J。提示：阻力。則牽引力為。作出Fs圖象如圖10所示，圖中梯形OABD的面積表示牽引力的功，所以。圖10三、利用WPt求變力做功這是一種等效代換的觀點，用WPt計算功時，必須滿足變力的功率是一定的。例3. 汽車的質(zhì)量為m，輸出功率恒為P，沿平直公路前進距離s的過程中，其速度由v1增至最大速度。假定汽車在運動過程中所受阻力恒定，則汽車通過距離s所用的時間為_。思路點撥：汽車以恒定的功率P加速時，由PFv可知，牽引力逐漸減小，汽車做加速度逐漸減小的加速運動，當FFf時，加速度減小到零，速度達到最大，然后以最大的速度做勻速直線運動。正確解答：當FFf時，汽車的速度達到最大v2，由可得 對汽車，根據(jù)動

9、能定理，有兩式聯(lián)立得。誤點警示：有同學可能這樣解：平均速度，時間。這樣解是錯誤的，因為汽車的運動不是勻加速運動，不能用求平均速度。小結(jié)點評：汽車以恒定的功率起動時，牽引力是變力，牽引力的功不能用WFs計算，但可以用WPt計算；若用求牽引力的功也是錯誤的，因為牽引力隨位移的變化不是線性關(guān)系，不能用求平均牽引力。發(fā)散演習質(zhì)量為m的汽車在平直的公路上從速度v0開始加速行駛，經(jīng)過一段時間t后，前進了距離s，此時恰好達到其最大速度，設此過程中汽車發(fā)動機始終以額定功率P工作，汽車所受的阻力為恒力Ff，則這段時間里，發(fā)動機所做的功為（）A. B. C. D. 答案：A、B提示：發(fā)動機所做的功即為發(fā)動機牽引力

10、做的功，由功率定義可知WPt，選項B正確。汽車以恒定功率起動，當FFf時，達到最大速度，應有，所以t，選項A正確。選項C、D均將汽車的運動看作勻變速運動，其中選項C是先求出a，再求出合外力ma的功，選項D是先算出平均速度，然后用表示發(fā)動機做的功，顯然都是錯誤的，因為機車的運動是變加速運動而不是勻變速運動。四、利用功能關(guān)系求變力功求變力所做的功，往往根據(jù)動能定理、機械能守恒定律和功能關(guān)系等規(guī)律，用能量的變化量等效代換變力所做的功。這種方法的優(yōu)點是不考慮變力做功過程中力的大小及方向的細節(jié)，只考慮變力做功的效果��能量變化，解題過程簡捷，是求變力功的首選方法。例4. 如圖

11、11所示，質(zhì)量m2kg的小球系在輕細橡皮條一端，另一端固定在懸點O處。將橡皮條拉直至水平位置OA處（橡皮條無形變）然后將小球由A處靜止釋放，小球到達O點正下方h0.5m處的B點時的速度為v2m/s。求小球從A運動到B的過程中橡皮條的彈力對小球所做的功。取g10m/s2。圖11思路點撥：取小球、橡皮條和地球組成的系統(tǒng)為研究對象，在小球從A運動到B的過程中，只有系統(tǒng)內(nèi)的重力和彈力做功，機械能守恒。正確解答：取過B點的水平面為零重力勢能參考平面，橡皮條為原長時的彈性勢能為零。設在B時橡皮條的彈性勢能為Ep2，由機械能守恒定律得則橡皮條的彈性勢能增加6J，則小球的機械能必減少6J，故橡皮條的彈力對小球做功6J。小結(jié)點評：彈簧或橡皮條的彈力是變力，求此類彈力做功可用機械能守恒定律結(jié)合彈力做功與彈性勢能變化的關(guān)系。發(fā)散演習1. 將一質(zhì)量為m的物體以初速度v0