變力做功的求解方法

1、樂山師范學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計）變力做功的求解方法物理與電子信息工程學(xué)院 物理學(xué)摘要 功是物理學(xué)中最常見的物理量，變力做功的求解方法也是貫穿大學(xué)物理的重點和難點之一，它在力學(xué)、理論力學(xué)中都占有十分重要的地位。本文分別用圖像法、動能定理、功能原理、微元法、平均力法、等值法等不同方法對物理學(xué)中變力做功的求解方法進行了較全面、系統(tǒng)的研究,并附以實例說明這些方法的應(yīng)用。通過對這些方法和實例的討論，以使我能對變力做功的求解方法有更深刻的理解和鞏固，進一步提高我靈活運用這些方法解決實際問題的能力。 關(guān)鍵詞 變力 功 圖像法 等效代換法1 前言功是物理學(xué)中最常見的物理量，對于變力做功的求解，教材上通常采用極限的

2、思想和微積分的方法將物體的運動軌跡分割成許多小段，因每小段很小，所以每小段可視為一方向不變的位移，而在這小位移上的力也可視為恒力。又因小位移為無窮小量，可認(rèn)為它與軌跡重合，稱之為元位移，而力在元位移上做的功稱之為元功。這樣就順利的將求解變力做功的問題轉(zhuǎn)化為了求無數(shù)多個元功之和。然而，求解變力做功的方法并不是唯一的，在很多實際問題中也可以根據(jù)實際尋找最為簡便有效的方法。對此，本文將分別從圖像法、微元法、等值法、平均力法、動能定理、功能原理等不同角度對變力做功的求解方法進行較全面、系統(tǒng)的研究，并以實例說明這些方法的應(yīng)用。2 用圖像法求變力做功功是描寫力對空間的積累作用的，它的大小可以用作用力隨位移

3、變化的關(guān)系曲線，如圖2.2.1力-位移圖象下的一塊圖形面積的大小來表示。如圖甲所示表示恒力的力-位移圖像，橫坐標(biāo)表示力F在位移方向上的分量，功W的數(shù)值等于直線下方畫有斜線部分的面積如圖乙所示表示變力的力-位移圖像，曲線下方畫有斜線部分的面積就表示變力所做的功，它近似地等于成階梯形的小矩形面積的總和。圖2.2.1 力-位移圖象在F-x圖象中，圖線和橫軸所圍成的面積即表示力所做的功，即功是力對位移的積累效應(yīng)。如果已知在位移x內(nèi)F隨位移變化的圖象，可以根據(jù)圖象與x軸所圍成的面積求出變力F對物體做的功，這種求功的方法稱為圖像法。 線性變化的力是一種特殊情況的變力，作用力是位移的線性函數(shù)，它的力-位移圖

4、象是一條傾斜的直線，直線下方的梯形或三角形的面積表示為線性變力的大小。在功的求解問題中，當(dāng)已知力與位移的函數(shù)關(guān)系或力與位移的關(guān)系曲線時，就可以用圖像法求解。如重心位置變化時的重力所做的功；彈簧伸縮時彈力所做的功；打擊木樁時的阻力所做的功，它們的力與位移都成線性關(guān)系：。在求這些力做的功時，由于很容易找到力和位移的函數(shù)關(guān)系，作出圖線，可以用圖像法很簡單的進行求解。利用圖像法求解功的思路是：首先確定研究對象，進行受力分析，找出力與位移之間的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)題意及關(guān)系式作出圖線；最后利用幾何關(guān)系求出圖線和坐標(biāo)軸圍成的面積，即為所求力的功。例1：質(zhì)量為m的質(zhì)點在外力的作用下沿軸運動，已知時質(zhì)點位于原點，

5、且初速度為零，設(shè)外力F隨距離性地減小，且時，;當(dāng)時，。試求質(zhì)點從運動到處的過程中，力F對質(zhì)點所做功和質(zhì)點在處的速率1。分析與解：當(dāng)時，并且外力隨距離增大而減小；又當(dāng)時，。所以當(dāng)質(zhì)點從運動到處的過程中，變力F所做的功轉(zhuǎn)化為質(zhì)點運動的動能。因此我們用圖像發(fā)求變力所做的功，再則求出質(zhì)點在處的速度。由于力F隨距離的增加而減小，所以建立以軸為橫軸，軸為豎軸的平面坐標(biāo)系，如圖所示：圖2.2.2 例1示意圖設(shè)變力F做功為W，質(zhì)點運動到處的速度為，所以：圖中陰影部分的面積對應(yīng)的就是變力F做的功，即又由于變力F所做的功轉(zhuǎn)化為質(zhì)點的動能，已知質(zhì)點的質(zhì)量為m；則： 解得力F對質(zhì)點所做的功為：質(zhì)點在處的速度為：由此可

6、見，當(dāng)力和位移成線性關(guān)系時，可用圖像法簡單、直觀的求解變力做功。3 從能量轉(zhuǎn)化的角度求變力做功貫穿功和能全部的知識重點是“功是能量變化的量度”。功是過程量，能是狀態(tài)量，不同的過程決定不同的狀態(tài)變化，或者說由于不同性質(zhì)的力做功引起不同性質(zhì)能量的變化。所以在求解變力做功時，可以把問題轉(zhuǎn)化為求解動能的改變量或者機械能的改變量。3.1 用動能定理求變力做功質(zhì)點在一定時間的運動過程中，其動能改變的數(shù)值等于在同樣時間內(nèi)外力對該質(zhì)點做的功。因此，在功的計算中，如果一個物體受到幾個力的作用，除了變力外，其他力對物體不做功或做功之和為零，就可以利用動能定理直接求解變力做的功，即由其做功的結(jié)果-動能的變化求變力F

7、的功： 。動能定理求變力做功適用于多個力做功，但只有一個力是變力，其余的都是恒力，而且這些恒力所做的功又容易計算，研究對象本身的動能增量也比較容易計算時，用動能定理就可以求出這個變力所做的功2。如在人通過定滑輪拉物體的過程中，求繩對物體的拉力所做的功。物體始、末狀態(tài)的動能已知為零，以繩為研究對象，受到人的拉力和物體對繩的拉力，根據(jù)動能定理即可求得繩對物體的拉力所做的功等于人對繩的拉力所做的功。又如要求人通過定滑輪拉物體的過程中滑動摩擦力做的功，先求出其它力如重力、支持力、拉力等做的功，再找出始、末狀態(tài)的動能，利用動能定理即可求解。利用動能定理求解的思路如下：首先明確研究對象，對研究對象做受力分

8、析；再確定物理過程，研究在所確定的物理過程中那些力做功，并求出外力做功的代數(shù)和；再確定研究過程的初、末狀態(tài)的動能；最后根據(jù)動能定理列方程，結(jié)合其它有關(guān)規(guī)律分析求解。例2：如圖所示，用同種材料制成的一個軌道，A段為1/4圓弧，半徑為R，水平放置的BC段長為R，一小物塊質(zhì)量為m，與軌道間動摩擦因數(shù)為，當(dāng)它從軌道頂端A點由靜止下滑時恰好運動到C點靜止，求物塊在AB段克服摩擦力做的功3？ 圖3.1 例2示意圖分析：物塊由A運動到B的過程中共受三個力作用：重力G、支持力N,摩擦力f。由于軌跡是彎曲的，支持力和摩擦力均為變力，但支待力時刻垂直速度方向，故支持力不做功，因而該過程中只有重力和摩擦力做功。解答

9、：設(shè)在B點時速度為,A點時速度為，由動能定理知，其中有，。所以 ： （1）物塊由B運動到C的過程中，重力和支持力不做功,.僅有摩擦力做功，設(shè)為。由動能定理得： （2）又 . （3）由（1）（2）（3）可得：。在求解變力做功的問題中，利用動能定理只需考查一個物體運動過程的始末兩個狀態(tài)有關(guān)物理量的關(guān)系，對過程的細(xì)節(jié)不予細(xì)究，與牛頓定律觀點比較，這正是它的方便之處。3.2 用功能原理求變力做功功能原理是力學(xué)中的基本原理之一，它描述了物體系統(tǒng)的機械能增量等于一切外力非保守力對系統(tǒng)所作的總功和系統(tǒng)內(nèi)非保守力所作的總功的代數(shù)和。即任何物體，系統(tǒng)外力非保守力對其作的總功+系統(tǒng)內(nèi)非保守力做的總功 = 系統(tǒng)的機

10、械能（動能與勢能之和）的增量。 （3.5）該原理對一切慣性參考系都成立，所以求變力做的功可以根據(jù)功能關(guān)系求解。只有非保守力做功，才能使機械能發(fā)生變化。起重機提升重物，非保守力做了正功，才使重物的動能和勢能增加，若重物上升一定高度又逐步勻速下降，釣鉤對重物做負(fù)功，重力勢能減小。保守力做功會引起系統(tǒng)動能放入改變，但不會引起系統(tǒng)機械能的改變。 若多個力對系統(tǒng)做功，如果這些力中只有一個變力做功，且其它的力所做的功及系統(tǒng)的機械能增量都比較容易解時，就可用功能原理求得變力所做的功。如在用力F勻速提起一物體的過程中，要求F做的功時,由于物體的重力勢能要變化，求出它的變化量,即為F所做的功。人通過定滑輪勻速拉

11、物體的過程中，求人做的功，物體重力勢能的增量即為人做的功。功能原理求解功的思路：首先確定研究對象是一物體或系統(tǒng),分析受力情況，確定研究過程的初、末狀態(tài)的機械能,最后列方程求解。例3：在下圖中，勁度系數(shù)為k的輕彈簧下端固定，沿斜面放置，斜面傾角為。質(zhì)量為m的物體從與彈簧上端相距為a的位置以初速度沿斜面下滑并使彈簧最多壓縮b。求物體與斜面之間的摩擦因數(shù)4。圖3.2 例3示意圖解析：將物體、彈簧、地球視為一個系統(tǒng)，重力和彈力是保守內(nèi)力，正壓力與物體位移垂直不做功，只有摩擦力為非保守內(nèi)力且做功。根據(jù)系統(tǒng)的功能原理，摩擦力做的功等于系統(tǒng)機械能的增量，并注意到彈簧最大壓縮時物體的速度為零，即有以及可以解得

12、從功能關(guān)系的角度來審視一個物理過程，分析這一過程中各個力做功情況,及其相應(yīng)的能量轉(zhuǎn)化情況，是一條重要的解題思路。特別是在一個復(fù)雜的運動過程中，只要選好始、末狀態(tài)，并把握好過程中各力所做的功，再用功能關(guān)系列式，就能化繁為簡，化難為易。其實，功能原理與動能定理并無本質(zhì)的不同，它們的區(qū)別僅在于功能原理中引入了勢能而無需考慮內(nèi)保守力的功，這正是功能原理的優(yōu)點。3.3 用求恒定功率下的變力做功功率的定義式變形公式中沒有要求恒力條件，所以利用此式只要給出功率與過程經(jīng)歷的時間都可以計算出功率保持不變的情況下變力所做的功。 這種方法通常用于求機械做功的問題，如汽車的運動等。汽車以額定功率起動時，力F是變力，求

13、某段時間內(nèi)汽車牽引力做的功可以根據(jù)來計算。例4：質(zhì)量為M的汽車，沿平直的公路加速行駛，當(dāng)汽車的速度為時，立即以不變的功率行駛，經(jīng)過距離，速度達(dá)到最大值.設(shè)汽車行駛過程中受到的阻力始終不變，求汽車的速度由增至的過程中所經(jīng)歷的時間及牽引力做的功5。分析：汽車以恒定功率加速的運動是加速度逐漸減小的變加速運動，此過程中牽引力是變力，當(dāng)加速度減小到0時，即牽引力等于阻力時，速度達(dá)到最大值。由于汽車的功率恒定，故可用來計算牽引力做的功。解答：設(shè)汽車從 (初態(tài))加速至 (末態(tài))的過程所經(jīng)歷的時間為t，行駛過程中所受的阻力為f，牽引力做的功為。對汽車加速過程用動能定理有 （1）又 （2）聯(lián)立（1）、（2）式，

14、解得：在求解變力做功的問題中，利用只需考查一個物體運動過程的功率大小與過程經(jīng)歷的時間長短，這也正是它的方便之處。4 用等效代換法求變力做功在求解變力做功的一些題目中，整個運動過程中的“動態(tài)”是非常復(fù)雜的，而我們往往只需要把握住“始”和“終”時刻的狀態(tài)，定性地分析過程，運用等效的觀點，將整個過程等效為一個相對簡單的過程，從而方便求解。這種求功的方法稱為等效代換法。4.1用微元法求變力做功對于變力做功的求解也可以采用極限的思想和微積分的方法將物體的運動軌跡分割成許多小段，因小段很小，每段可視為一方向不變的位移，在這小位移上的力也可視為不變的。那小位移為無窮小量，可認(rèn)為與軌跡重合，稱元位移，力在元位

15、移上的功稱元功。這樣就將變力做功轉(zhuǎn)化為在無數(shù)多個無窮小的位移上的恒力所做元功的代數(shù)和，即微元法求解變力做功。此法常應(yīng)用于求解力的大小不變、方向改變變力做功問題（如滑動摩擦力做功，空氣阻力做功）。在某一位移區(qū)間，力隨位移變化的關(guān)系為，求該變力的功可用微元法，即將位移區(qū)間分成n（n）個小區(qū)間，在每個小區(qū)間內(nèi)將力視為恒力，求其元功，由于功是標(biāo)量，具有“可加性”，那么總功等于每個小區(qū)間內(nèi)元功之代數(shù)和的極限。即變力在這段位移中所做的功為，在數(shù)學(xué)上，確定元功相當(dāng)于給出數(shù)列通項式，求總功即求數(shù)列n項和，當(dāng)數(shù)列n時的極限6。當(dāng)物體在變力作用下做曲線運動時，若力的方向與速度在同一直線上或與物體運動的切線方向成某

16、一固定角度，且力與位移的方向同步變化時，可用微元法將曲線分成無限個小元段，每一小元段可以認(rèn)為恒力做功，總功即為每個小元段做功的代數(shù)和。如在圓形軌道上拉一物體，此時拉力方向與速度在一條直線上，求拉力所做的功；物體做曲線運動時，求滑動摩擦力做的功；物體做平拋運動時，求重力做的功；通過定滑輪拉一物體，求拉力做的功時都可采用微元法。利用微元法求解功的基本方法是：首先隔離選擇恰當(dāng)微元作為突破整體研究的對象，微元可以是一小段線段，一小段圓弧，一小塊面積，一小段時間但應(yīng)具有整體對象的基本特征。再將微元模型化，在某一段小位移內(nèi)的力視為恒力，并運用相關(guān)的公式，求解這個微元與所求物體的關(guān)聯(lián)。最后將一個微元的求解結(jié)

17、果推廣到其他微元，并充分利用個微元間的對稱關(guān)系，矢量方向關(guān)系，近似極限關(guān)系，對各微元的解出結(jié)果進行疊加，以求出整體量的合理解答。例5：一對質(zhì)量分別為和的質(zhì)點，彼此之間存在萬有引力的作用。設(shè)固定不動，在的引力作用下由a點經(jīng)某路徑l運動到b點。已知在a點和b點時距分別為和，求萬有引力的功7。 圖4.1 例5示意圖解析：在上圖中，取為坐標(biāo)原點，某時刻對的位矢為r，引力F與r方向相反。當(dāng)在引力作用下完成元位移dr時，引力做的元功為：由圖可見，此處為位矢大小的增量，故上式可以寫為： 這樣，質(zhì)點由a點運動到b點引力做的總功為： “微元法”的使用，在整個物理學(xué)上都意義巨大。4.2 用平均力法求變力做功當(dāng)作用

18、在物體上的力的方向不變，其大小隨位移作線性變化時，可用力對該段位移的平均值代替定義式中的值求功。在功的計算中，力與位移成線性關(guān)系：，且力的方向不變，其圖象如圖3.5所示，則圖中陰影部分的面積大小在數(shù)值上等于變力所做功的大小，即，也就是說，變力F由F線性地變到F的過程中所做的功等于該過程的平均力所做的功。圖4.2 線性力的圖像利用平均值等效法求功的思路：首先求在某一段位移始、末兩時刻受到的力，求其平均值，再計算平均力所做的功，即為變力在這段位移內(nèi)的功。如在打擊木樁的過程中，木樁把得到的能量用來克服阻力做功，而阻力與木樁進入的深度成正比，是一個變力，因此只要求出這個變力的平均值所做的功，就可求得變

19、力做的功。在彈簧被拉伸或被壓縮的過程中，彈力F的大小改變而方向不變時，由于彈力與位移成正比，力的大小隨位移按線性規(guī)律變化，能夠求出變力對位移的平均值。在整個過程中彈力做的功等于平均值在這一過程中所做的功。例6：要把長為的鐵釘釘人木板中，每打擊一次消耗的能量為,已知釘子在木板中遇到的阻力與釘子進人木板的深度成正比，比例系數(shù)為k，則釘子全部進入木板需要打擊幾次?分析：在把打子打入木板的過程中，釘子把得到的能量用來克服阻力做功，而轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)內(nèi)能，而阻力與釘子進入木板的深度成正比，先求出生阻力的平均值，便可求出阻力做的功。解答：釘子在整個過程中受到的平均值為：釘子克服阻力做的功為：設(shè)全過程共打擊n次，

20、則消耗的總能量：即 ： 注意:在具體的數(shù)據(jù)運算中n只能取整數(shù)。平均值等效思維具有一定的靈活性和技巧性，須在認(rèn)真分析物理特征的基礎(chǔ)上，進行合適的等效變換，才能獲得簡捷的求解方法。4.3 用等值法求變力做功當(dāng)某一變力的功和某一恒力的功相等，則可以通過計算恒力的功求出變力的功。而恒力做功又可以用公式計算，從而使問題變的簡單。如例2中所求的繩的拉力對物體所做的功，由于繩拉物體的力的方向不斷變化，故繩拉物體的力為變力F，但此時力對物體所做的功與手拉繩的力F做的功相等。F為恒力，F(xiàn)作用點的位移與物體的位移相連，即：，則繩對物體的拉力F所做的功。在磁場中，洛倫茲力對物體不做功，在求解變力做功時，如果此變力剛

21、好等于洛侖茲力，還可以將變力轉(zhuǎn)化為洛侖茲力，求出變力的功。例7：如圖3.3所示，在空間有勻強磁場，磁感應(yīng)強度的方向垂直紙面向里，大小為B。光滑絕緣空心的細(xì)管MN的長度為L，管M端有一質(zhì)量為m、帶正電q的小球p。開始時小球p相對管靜止，管帶著小球p沿垂直于管長度方向以恒定速度u向圖中右方水平運動，不計重力。小球p從管的M端運動到N端的過程中，管壁對小球做的功是多少8？ 圖4.3 例7示意圖分析與解：由于管壁對小球的力是變力，不能直接用功的公式求解，而管壁對小球的作用力等于洛侖茲力的分力。此題可采用等值法將變力做功轉(zhuǎn)化為恒力做功求解。首先找到和管壁相等的恒力，分析小球的受力可知，如圖3.4：小球在

22、豎直方向受洛侖茲力的一個分力F，向左為洛侖茲力的另一個分力F。在水平方向向右為管壁對小球的作用力F。由于洛侖茲力對小球不做功，所以洛侖茲力的分力做功之和為零，即在豎直方向洛侖茲力的分力做的功，數(shù)值上等于洛侖茲力在水平方向分力做功的值，即。小球在水平方向做勻速直線運動，管壁對小球的作用力所做的功在數(shù)值上等于洛侖茲力在水平方向的分力所做的功，水平方向上洛侖茲力的分力，v是變化的，F(xiàn)是變力，將變力做功轉(zhuǎn)化為恒力做功。由，即可計算出F做的功。 圖4.3 例7小球受力示意圖等效方法是解決物理問題的常用方法之一，它是通過對問題中的某些因素進行變換或直接利用相似性，移用某一規(guī)律進行分析而得到相等效果，利用等

23、效法從而使問題變得簡單易解。5 結(jié)束語變力做功的求解方法并不是唯一的，本文分別從圖像法、動能定理、功能原理、微元法、平均力法、等值法等不同角度對變力做功的求解方法進行了較全面、系統(tǒng)的研究,并附以實例說明這些方法的應(yīng)用。通過對以上方法和實例的討論，使我對變力做功的求解方法有了更深刻的理解和鞏固，并且進一步提升了我靈活運用這些方法解決實際問題的能力。參考文獻1 東南大學(xué)等七所工科院校編，物理學(xué)（第五版）上冊 M. 北京：高等教育出版社，28-29. 2 漆安慎,杜嬋英.力學(xué)（第二版）M. 北京：高等教育出版社，2005,120150.3 陳世民.理論力學(xué)簡明教程（第二版）M.北京：高等教育出版社，

24、2008,96109.4 粱昆淼,俞超,邱樹業(yè).力學(xué)討論.四川教育出版社，1985,8990.5 周紉蘭,賈寶林.怎樣學(xué)習(xí)功和能M.北京：電子工業(yè)出版社，1993,1617，2122.6 胡則梁.力學(xué)M.上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1988,6264，6768.7 洪嘉振,楊長俊. 理論力學(xué)（第二版）M. 北京：高等教育出版社，2002,1301390.8 柳祖亭. 理論力學(xué)解題指導(dǎo)及習(xí)題M. 北京：機械工業(yè)出版社，2000,7981.Method for solving the variable force actingKe DingrongInstitute of Physics and Electronic Engineering physics 06200145Abstract Work is one of the most common physical variables in physic