函數(shù)的概念和性質(zhì)

1、專題講座高中數(shù)學(xué)“函數(shù)的概念與性質(zhì)”教學(xué)研究李梁 北京市西城區(qū)教育研修學(xué)院 函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，它是描述變量之間依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型.本專題內(nèi)容由四部分構(gòu)成：關(guān)于函數(shù)內(nèi)容的深層理解；函數(shù)概念與性質(zhì)的教學(xué)建議；學(xué)生學(xué)習(xí)中常見的錯(cuò)誤分析與解決策略；學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)檢測(cè)分析.研究函數(shù)問題通常有兩條主線：一是對(duì)函數(shù)性質(zhì)作一般性的研究，二是研究幾種具體的基本初等函數(shù)二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù).研究函數(shù)的問題主要圍繞以下幾個(gè)方面：函數(shù)的概念，函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的有關(guān)應(yīng)用等.一、關(guān)于函數(shù)內(nèi)容的深層理解（一）函數(shù)概念的發(fā)展史簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)史角度：早期函數(shù)概念（Descartes，15961650

2、引入坐標(biāo)系創(chuàng)立解析幾何，已經(jīng)關(guān)注到一個(gè)變量對(duì)于另一個(gè)變量的依賴關(guān)系）幾何角度；Newton，16421727，用數(shù)流來定義流量（fluxion）的變化率，用以表示變量間的關(guān)系；Leibniz，16461716引入常量、變量、參變量等概念；Euler引入函數(shù)符號(hào)，并稱變量的函數(shù)是一個(gè)解析表達(dá)式代數(shù)角度；Dirichlet，18051859提出是與之間的一種對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)對(duì)應(yīng)關(guān)系角度 ；Hausdorff在集合論綱要中用“序偶”來定義函數(shù)集合論角度.Dirichlet：認(rèn)為怎樣去建立與之間的關(guān)系無關(guān)緊要，他拓廣了函數(shù)概念，指出：“對(duì)于在某區(qū)間上的每一個(gè)確定的值，都有一個(gè)確定的值，那么叫做的函數(shù).”這種

3、函數(shù)的定義，避免了以往函數(shù)定義中所有的關(guān)于依賴關(guān)系的描述，簡(jiǎn)明精確（經(jīng)典函數(shù)定義）.Veblen，18801960用“集合”和“對(duì)應(yīng)”的概念給出了近代函數(shù)定義，通過集合概念，把函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域及值域進(jìn)一步具體化了，且打破了“變量是數(shù)”的限制，變量可以是數(shù)，也可以是其它對(duì)象.（二）初高中函數(shù)概念的區(qū)別與聯(lián)系1初中函數(shù)概念：設(shè)在某個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量，如果對(duì)于在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)值，都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，我們就說是的函數(shù)，叫自變量，叫的函數(shù).2高中函數(shù)概念：（1）設(shè)A，B是兩個(gè)非空集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)A中的任意一個(gè)元素x，在B中有一個(gè)且僅有一個(gè)元素y與x對(duì)應(yīng)，則稱f是集合A到集

4、合B的映射.記作，其中叫原象，叫象.（2）設(shè)集合A是一個(gè)非空的數(shù)集，對(duì)A中的任意數(shù)x，按照確定的法則f，都有唯一確定的數(shù)y與它對(duì)應(yīng)，則這種映射叫做集合A上的一個(gè)函數(shù).記作.其中x叫做自變量，自變量取值的范圍（數(shù)集A）叫做這個(gè)函數(shù)的定義域.所有函數(shù)值構(gòu)成的集合叫做這個(gè)函數(shù)的值域.函數(shù)的值域由定義域與對(duì)應(yīng)法則完全確定.（3） 函數(shù)是一種特殊的映射.其定義域和值域都是非空的數(shù)集，值域中的每一個(gè)元素都有原象.構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義城，值域和對(duì)應(yīng)法則，其中定義域和對(duì)應(yīng)法則是核心. （三）函數(shù)在整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的地位及作用函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的基本概念之一，其核心內(nèi)涵為從非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射；函數(shù)思

5、想也是整個(gè)高中數(shù)學(xué)最重要的數(shù)學(xué)思想之一，而函數(shù)概念是函數(shù)思想的基礎(chǔ)；它不僅對(duì)前面學(xué)習(xí)的集合知識(shí)做了鞏固和發(fā)展，而且它是學(xué)好后繼知識(shí)的基礎(chǔ)和工具；函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容的聯(lián)系也非常密切；函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活、社會(huì)、經(jīng)濟(jì)及其它學(xué)科中有廣泛的應(yīng)用；函數(shù)概念及其反應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法已廣泛滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ).（四）函數(shù)的概念與性質(zhì)結(jié)構(gòu)框圖（五）函數(shù)的概念與性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1函數(shù)的概念2函數(shù)的基本性質(zhì)3基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)：1函數(shù)概念的理解2對(duì)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性實(shí)質(zhì)的把握3運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決簡(jiǎn)

6、單問題二、函數(shù)概念與性質(zhì)的教學(xué)建議：（一）如何深入把握函數(shù)的概念？1映射與函數(shù)的教學(xué)建議：教學(xué)中，由于映射與函數(shù)的概念比較抽象，不易把握，故本部分內(nèi)容宜采用教師引導(dǎo)，師生共同研討的方式來學(xué)習(xí).在教學(xué)中，教師可以類似舉如下的例子進(jìn)行剖析：例1：設(shè)集合和都是自然數(shù)集合. 映射把集合中的元素映射到集合中的元素, 則在映射作用下, 2的象是_；20 的原象是_.分析：由已知，在映射作用下的象為.所以，2的象是；設(shè)象 20 的原象為，則的象為 20，即.由于，隨著的增大而增大，又，所以20 的原象是4.這個(gè)例子要求學(xué)生理解映射的意義，對(duì)于給出對(duì)應(yīng)關(guān)系的映射會(huì)求映射中指定元素的象與原象. 能夠有效判別學(xué)生

7、對(duì)映射、象、原象這些概念的把握程度.同時(shí)，題目中兼顧對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的探究，具有一定的綜合程度.二、函數(shù)概念與性質(zhì)的教學(xué)建議：（一）如何深入把握函數(shù)的概念？1映射與函數(shù)的教學(xué)建議：教學(xué)中，由于映射與函數(shù)的概念比較抽象，不易把握，故本部分內(nèi)容宜采用教師引導(dǎo)，師生共同研討的方式來學(xué)習(xí).在教學(xué)中，教師可以類似舉如下的例子進(jìn)行剖析：例1：設(shè)集合和都是自然數(shù)集合. 映射把集合中的元素映射到集合中的元素, 則在映射作用下, 2的象是_；20 的原象是_.分析：由已知，在映射作用下的象為.所以，2的象是；設(shè)象 20 的原象為，則的象為 20，即.由于，隨著的增大而增大，又，所以20 的原象是4.這個(gè)例子要求學(xué)生

8、理解映射的意義，對(duì)于給出對(duì)應(yīng)關(guān)系的映射會(huì)求映射中指定元素的象與原象. 能夠有效判別學(xué)生對(duì)映射、象、原象這些概念的把握程度.同時(shí)，題目中兼顧對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的探究，具有一定的綜合程度.2函數(shù)的定義域問題：確定函數(shù)的定義域是研究函數(shù)問題的先決條件，因此對(duì)于一個(gè)函數(shù)問題，首先要明確自變量的取值集合.教學(xué)中，教師可通過類似下述問題明確求函數(shù)定義域的幾類常見問題：例2：求下列函數(shù)的定義域：（1）；（2）；（3）；（4）；解：（1）由，得，所以或，所以或.所以，所求函數(shù)的定義域?yàn)?（2）由得，或.所以，所求函數(shù)的定義域?yàn)?（3）由得，且，所以，所求函數(shù)的定義域?yàn)椋?）由得即所以.所以，所求函數(shù)定義域?yàn)?例3：

9、如圖，用長(zhǎng)為的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架，若矩形的底邊長(zhǎng)為，求此框架圍成的面積與的函數(shù)關(guān)系式，并指出定義域. 解:根據(jù)題意,. 弧長(zhǎng)為，所以. 所以，. 根據(jù)問題的實(shí)際意義. 解得.所以，所求函數(shù)定義域?yàn)?上述求函數(shù)定義域問題涵蓋了確定函數(shù)定義域的兩種類型問題.（1）給出函數(shù)解析式求定義域（如例2），這類問題就是求使解析式有意義的自變量的取值范圍.正確的解不等式或不等式組在解決這類問題中是重要的.中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的對(duì)變量有限制的運(yùn)算法則有： 分式中分母不為零； 偶次方根下被開方數(shù)非負(fù)； 零次冪的底數(shù)要求不為零； 對(duì)數(shù)中的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于 1； ，則.（2）在實(shí)際問題中求

10、函數(shù)的定義域（如例 3）. 在這類問題中除了考慮解析式對(duì)自變量的限制 , 還應(yīng)考慮實(shí)際問題對(duì)自變量的限制.另外，在處理函數(shù)問題時(shí)要有一種隨時(shí)關(guān)注定義域的意識(shí)，這是極其重要的.比如在研究函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、最值等問題時(shí)，首先要考慮的就是函數(shù)的定義域.3函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則問題：確定函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則（即求函數(shù)的解析式）是有關(guān)函數(shù)概念中的重要問題，教學(xué)中教師可以設(shè)置如下相關(guān)題組，和學(xué)生共同解決.例4：（1）已知，求的解析式；（2）已知，求的值；（3）如果為二次函數(shù)，并且當(dāng)時(shí)，取得最小值，求的解析式；（4）已知函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，求的解析式.分析：（1）求函數(shù)的解析式，從映射的角度看就是求對(duì)應(yīng)法則，

11、于是，我們一般有下面兩種方法解決（1）這樣的問題.方法一：. 通過這樣“湊型”的方法，我們可以明確看到法則是“原象對(duì)應(yīng)于原象除以原象的平方減1”.所以，.方法二：設(shè),則.則，所以.這樣，通過“換元”的方法也可以明確看到法則是什么.（2）用“湊型”的方法，.所以，.（3）因?yàn)闉槎魏瘮?shù)，并且當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以，可設(shè)，又，所以，所以.（4）這個(gè)問題相當(dāng)于已知的圖象滿足一定的條件，進(jìn)而求函數(shù)的解析式. 所以，可以類比解析幾何中求軌跡方程的方法求的解析式.設(shè)的圖象上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為，則關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，由已知，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的解析式，即，所以，.由于已知條件的不同，求函數(shù)的解

12、析式的常見方法有像（1）（2）所用到的“湊形”及“換元”的方法；有像（3）所用到的待定系數(shù)法；也有像（4）所用到的解析法.值得注意的是（4）中所用的解析法.在求函數(shù)解析式或求曲線的軌跡方程時(shí)都可以用這種方法，是一種通法.同時(shí)也表明函數(shù)和它的圖象與曲線和它的方程之間有必然的取系.（二）教學(xué)中如何突出函數(shù)性質(zhì)的本質(zhì)？函數(shù)的性質(zhì)主要包括函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性與對(duì)稱性等，側(cè)重點(diǎn)在于理解與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的概念，掌握有關(guān)判斷、證明的基本方法以及簡(jiǎn)單的應(yīng)用. 這部分內(nèi)容常用到數(shù)形結(jié)合的思想方法.1關(guān)于基本概念的理解：（1）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果?duì)于內(nèi)的任意一個(gè)，都有，且，則這個(gè)函數(shù)叫做奇函數(shù).設(shè)函數(shù)的定

13、義域?yàn)椋绻麑?duì)于內(nèi)任意一個(gè)，都有，且，則這個(gè)函數(shù)叫做偶函數(shù).由奇函數(shù)定義可知，對(duì)于奇函數(shù)，點(diǎn)與點(diǎn)都在其圖象上.又點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，我們可以得到：奇函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形；通過同樣的分析可以得到，偶函數(shù)的圖象是以軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形.（2）一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間.如果取區(qū)間中的任意兩個(gè)值，改變量，則當(dāng)時(shí)，就稱函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，就稱函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).如果一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，就說這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上具有單調(diào)性，區(qū)間稱為單調(diào)區(qū)間.在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的.（3）一般地，對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)不為零的常

14、數(shù)，使得當(dāng)取定義域中的每一個(gè)值時(shí)，都成立，那么就把函數(shù)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)叫做這個(gè)函數(shù)的周期.（4）一般地，對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)，使得當(dāng)取定義域中的每一個(gè)值時(shí)，都成立，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.這四個(gè)概念都比較抽象，建議講述相關(guān)概念時(shí)采用數(shù)形結(jié)合的手段，不斷揭示概念的幾何背景，進(jìn)而完善學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí).2關(guān)于函數(shù)的奇偶性問題：對(duì)于函數(shù)的奇偶性，要求學(xué)生會(huì)判斷及簡(jiǎn)單應(yīng)用.教學(xué)中可給出如下題組：例1：判斷下列函數(shù)的奇偶性.（1）； （2）； （3）；（4）； （5）.解：（1）解，得到函數(shù)的定義域?yàn)榛?，關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，所以此函數(shù)為非奇非偶函數(shù).（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，但是，由于?/p>

15、即，且，所以此函數(shù)為非奇非偶函數(shù).（3）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以此函?shù)為偶函數(shù).（4）解，得，又，所以此函數(shù)為奇函數(shù).（5）函數(shù)的定義域?yàn)?，又，所以此函?shù)為奇函數(shù).通過本例及函數(shù)奇偶性的定義，進(jìn)一步可以得到下面幾個(gè)結(jié)論： 一個(gè)函數(shù)是奇（或偶）函數(shù)的必要不充分條件是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；是奇函數(shù)，并且在時(shí)有定義，則必有； 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)，其解析式一定為，等.判定函數(shù)奇偶性按照其定義可以分為兩個(gè)步驟： 判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； 考察與的關(guān)系.由此，若以奇偶性為標(biāo)準(zhǔn)可以把函數(shù)分為奇函數(shù)，偶函數(shù)，既奇又偶函數(shù)和非奇非偶函數(shù)四類.例2：已知為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求

16、的解析式. 解：（1）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以.（2）方法一: 當(dāng)時(shí),.所以，.方法二:設(shè)是在時(shí)圖象上一點(diǎn),則一定在在時(shí)的圖象上.所以，.上述三個(gè)例子分別從具體函數(shù)、抽象函數(shù)、以及奇偶性的應(yīng)用上加深對(duì)概念的理解.3關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性問題：例3：用函數(shù)單調(diào)性定義證明，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù). 證明：設(shè)，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).例4：設(shè)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且它在區(qū)間上是減函數(shù).（1）試比較與的大小；（2）若，且，求證：.解：（1）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，又在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，即.（2）因?yàn)?，所以異?hào)，不妨設(shè)，因?yàn)椋?，因?yàn)?，在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以，

17、即.總之，函數(shù)的單調(diào)性是我們研究的極為重要的函數(shù)性質(zhì)，其與其它問題的聯(lián)系、自身的應(yīng)用都很廣泛，在教學(xué)中要予以充分注意.（三）怎樣有效提升學(xué)生對(duì)基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)的把握？基本初等函數(shù)包括: 二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù).函數(shù)的圖象上直觀地反映著函數(shù)的性質(zhì), 學(xué)習(xí)函數(shù)的“捷徑”是熟知函數(shù)的圖象. 熟知函數(shù)圖象包括三個(gè)方面：作圖，讀圖，用圖.掌握初等函數(shù)一般包括以下一些內(nèi)容：首先是函數(shù)的定義，之后是函數(shù)的圖象和性質(zhì).函數(shù)的性質(zhì)一般包括定義域，值域，圖象特征，單調(diào)性，奇偶性，周期性，零點(diǎn)、最值以及值的變化特點(diǎn)等，研究和記憶函數(shù)性質(zhì)的時(shí)候應(yīng)全面考慮.函數(shù)的定義（通常情況下是解析式）決定著函

18、數(shù)的性質(zhì)，我們可以通過解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，也可以通過解析式畫出函數(shù)的圖象，進(jìn)而直觀的發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì).1關(guān)于二次函數(shù)的處理：對(duì)于二次函數(shù)，初中已有研究，但高中階段處理二次函數(shù)的視角又和初中有所不同.例如：設(shè)是實(shí)數(shù)，證明關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解.（初中、高中的不同處理方法）教學(xué)中可以參考如下的題目：例1：（1）如果二次函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是_.（2）二次函數(shù)的最大值恒為負(fù)，則的取值范圍是_.（3）函數(shù)對(duì)于任意均有，則，的大小關(guān)系是_.解：（1）由于此拋物線開口向上，且在上是增函數(shù)，畫簡(jiǎn)圖可知此拋物線對(duì)稱軸或與直線重合，或位于直線的左側(cè)，于是有，解之得.（2）分析二次函數(shù)圖象可

19、知，二次函數(shù)最大值恒為負(fù)的充要條件是“二次項(xiàng)系數(shù)，且判別式”，即 解得.（3）因?yàn)閷?duì)于任意均有，所以拋物線對(duì)稱軸為.又拋物線開口向上，做出函數(shù)圖象簡(jiǎn)圖可得.例2、已知二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，且圖象在軸上的截距為，被軸截得的線段長(zhǎng)為，求的解析式.解：解法一：設(shè)，由的對(duì)稱軸為，可得；由圖象在軸上的截距為，可得；由圖象被軸截得的線段長(zhǎng)為，可得均為方程的根.所以，即，所以.解法二：因?yàn)閳D象被軸截得的線段長(zhǎng)為，可得均為方程的根.所以，設(shè)，又圖象在軸上的截距為，即函數(shù)圖象過點(diǎn).即. 所以.二次函數(shù)是非常常見的一種函數(shù)模型，在高中數(shù)學(xué)中地位很重.二次函數(shù)的解析式有三種形式：一般式；頂點(diǎn)式，其中為頂點(diǎn)坐標(biāo)；雙根式

20、，其中為函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即二次函數(shù)所對(duì)應(yīng)的一元二次方程的兩個(gè)根.例1、2兩個(gè)題目充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想及運(yùn)動(dòng)變化思想的運(yùn)用.這兩種數(shù)學(xué)思想在函數(shù)問題的解決中被普遍使用.2關(guān)于指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的處理：這三種基本初等函數(shù)是在研究一般函數(shù)基礎(chǔ)上的重要模型，教學(xué)中建議采用如下問題突出相關(guān)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用. 例3、比較下列各小題中各數(shù)的大小：（1）與； （2） ； （3）與；（4）與； （5）與； （6）.分析：（1）是減函數(shù),.（2）函數(shù)在區(qū)間(0, +)上是增函數(shù)，所以，函數(shù)在區(qū)間(0, +)上是減函數(shù)，所以，所以.（3）由于,所以.（4）利用冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性.（5）因?yàn)?.

21、根據(jù)不等式的性質(zhì)有.（6）因?yàn)椋?，即；比較與，只需比較與，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以只需比較與的大小，因?yàn)椋?，所以，綜上，.例4：已知，比較的大小.分析：方法一（作商比較法），又，所以，所以，所以.方法二（作差比較法），因?yàn)?，所以?所以，即.方法三（構(gòu)造函數(shù)）令，將看作是關(guān)于的一次函數(shù)，因?yàn)椋源撕瘮?shù)為減函數(shù)，又，所以，即.兩個(gè)數(shù)比較大小的基本思路：如果直接比較，可以考慮用比較法（包括“作差比較”與“作商比較”，如例4的方法一與方法二），或者利用函數(shù)的單調(diào)性來比較（如例3（1）（2）（3），例4的方法三）. 如果用間接的方法可以嘗試對(duì)要比較的兩數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，轉(zhuǎn)化成對(duì)另兩個(gè)數(shù)的比較，也可

22、以考慮借助中間量來比較（如例3（4）（5）（6）.三、學(xué)生學(xué)習(xí)中常見的錯(cuò)誤分析與解決策略例1：下列四組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（ ）（A）, （B）,（C）, （D）,易錯(cuò)點(diǎn)： 定義域； 對(duì)應(yīng)法則； 函數(shù)的概念.錯(cuò)因分析： 忽視函數(shù)的定義域； 不清楚函數(shù)概念的實(shí)質(zhì)，如（B）中表示自變量的字母不同，就誤認(rèn)為不會(huì)是同一個(gè)函數(shù).解題策略：判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，就是要看兩個(gè)函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)法則是否完全相同.一般有兩個(gè)步驟：（1）在不對(duì)解析式進(jìn)行變形的情況下求定義域，看定義域是否一致.（2）對(duì)解析式進(jìn)行合理變形的情況下，看對(duì)應(yīng)法則是否一致.分析：（A）（C）（D）中兩個(gè)函數(shù)的定義域均不同，所以

23、不是同一函數(shù).（B）中兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，化簡(jiǎn)后為及，對(duì)應(yīng)法則也相同，所以選（B）.這個(gè)例子可以有效檢測(cè)學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的把握，同時(shí)突出映射與函數(shù)概念的聯(lián)系.例2：已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求函?shù)及的定義域.易錯(cuò)點(diǎn)： 對(duì)應(yīng)法則定義域； 定義域的概念.錯(cuò)因分析： 對(duì)對(duì)應(yīng)法則的符號(hào)不理解； 不清楚定義域的含義.解題策略：此題的題設(shè)條件中未給出函數(shù)的解析式，這就要求我們根據(jù)函數(shù)三要素之間的相互制約關(guān)系明確兩件事情：定義域是指的取值范圍；受對(duì)應(yīng)法則制約的量的取值范圍在“已知”和 “求”當(dāng)中是一致的 .那么由的定義域是可知法則制約的量的取值范圍是，而在函數(shù)中，受直接制約的是，而定義域是指的范圍，因此通過解不等

24、式得，即的定義域是. 同理可得的定義域?yàn)?例3：設(shè)函數(shù)在上有定義，的值不恒為零，對(duì)于任意的，恒有成立，則函數(shù)的奇偶性為_.易錯(cuò)點(diǎn)： 抽象函數(shù)； 對(duì)“恒成立”的理解.錯(cuò)因分析： 抽象函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)； 對(duì)“恒成立”的理解不清晰，不能將其轉(zhuǎn)化為所需求的結(jié)構(gòu).解題策略：關(guān)于對(duì)抽象函數(shù)“”的使用一般有以下兩個(gè)思路：令為某些特殊的值，如本題解法中，令得到了.當(dāng)然，如果令則可以得到，等等.令具有某種特殊的關(guān)系，如本題解法中，令.得到，在某些情況下也可令，等等.總之，函數(shù)方程的使用比較靈活，要根據(jù)具體情況作適當(dāng)處理.在不是很熟悉的時(shí)候，要有試一試看的勇氣.解：令，則，所以，再令，則，所以，又的值不恒為零，故是

25、奇函數(shù)而非偶函數(shù).例4：已知函數(shù)是定義域?yàn)榈膯握{(diào)增函數(shù).（1）比較與的大??；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.易錯(cuò)點(diǎn)： 函數(shù)概念； 增函數(shù).錯(cuò)因分析： 對(duì)函數(shù)概念中的對(duì)應(yīng)法則的理解不清楚； 沒有理解增函數(shù)概念的實(shí)質(zhì)，不會(huì)將其應(yīng)用于解決問題.解題策略：回顧單調(diào)增函數(shù)的定義，在，為區(qū)間任意兩個(gè)值的前提下，有三個(gè)重要的問題：的符號(hào)；的符號(hào)；函數(shù)在區(qū)間上是增還是減.由定義可知：對(duì)于任取的，若，且，則函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；不僅如此，若，且函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則；若，且函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則；于是，我們可以清晰地看到，函數(shù)的單調(diào)性與不等式有著自然的聯(lián)系，請(qǐng)結(jié)合例4加以體會(huì).解：（1）因?yàn)?，所以，由已知，是?/p>

26、調(diào)增函數(shù)，所以.（2）因?yàn)槭菃握{(diào)增函數(shù)，且，所以，解得或.四、學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)檢測(cè)分析（一）課程標(biāo)準(zhǔn)中的相關(guān)要求1函數(shù) 通過豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來刻畫函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用；了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念。 在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ?，圖像法、列表法、解析法）表示函數(shù)。 通過具體實(shí)例，了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用。 通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義。 學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖像理解

27、和研究函數(shù)的性質(zhì)。2指數(shù)函數(shù) 通過具體實(shí)例（如，細(xì)胞的分裂，考古中所用的14C的衰減，藥物在人體內(nèi)殘留量的變化等），了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景。 理解有理指數(shù)冪的含義，通過具體實(shí)例了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算。 理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖像，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)。 在解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的過程中，體會(huì)指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型。3對(duì)數(shù)函數(shù) 理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；通過閱讀材料，了解對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用。 通過具體實(shí)例，直觀了解對(duì)數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系，初步理解對(duì)數(shù)

28、函數(shù)的概念，體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)。 知道指數(shù)函數(shù)y=ax 與對(duì)數(shù)函數(shù)y=loga x互為反函數(shù)。（a > 0, a1） 4冪函數(shù)通過實(shí)例，了解冪函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù)y=x, y=x2, y=x3, y=, y=的圖像，了解它們的變化情況。（二）高考考試內(nèi)容與要求1函數(shù) 了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念. 在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D像法、列表法、解析法）表示函數(shù). 了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用. 理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義. 會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì).2指數(shù)函數(shù) 了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景. 理解有理指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算. 理解指數(shù)函數(shù)的概念，理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握函數(shù)圖像通過的特殊點(diǎn). 知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.3對(duì)數(shù)函數(shù) 理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；了