三個(gè)二次及其關(guān)系

1、.二次函數(shù)、二次方程及二次不等式的關(guān)系三個(gè)“二次”即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，具有豐富的內(nèi)涵和密切的聯(lián)系，同時(shí)也是研究包含二次曲線在內(nèi)的許多內(nèi)容的工具高考試題中近一半的試題與這三個(gè)“二次”問題有關(guān)本節(jié)主要是幫助考生理解三者之間的區(qū)別及聯(lián)系，掌握函數(shù)、方程及不等式的思想和方法重難點(diǎn)歸納1二次函數(shù)的基本性質(zhì)(1)二次函數(shù)的三種表示法y=ax2+bx+c;y=a(xx1)(xx2);y=a(xx0)2+n(2)當(dāng)a>0,f(x)在區(qū)間p,q上的最大值M，最小值m,令x0= (p+q)若<p,則f(p)=m,f(q)=M;若p<x0,則f()=m

2、,f(q)=M;若x0<q,則f(p)=M,f()=m;若q,則f(p)=M,f(q)=m2二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的實(shí)根分布及條件(1)方程f(x)=0的兩根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)<0;(2)二次方程f(x)=0的兩根都大于r(3)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)有兩根(4)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)只有一根f(p)·f(q)<0,或f(p)=0(檢驗(yàn))或f(q)=0(檢驗(yàn))檢驗(yàn)另一根若在(p,q)內(nèi)成立(5)方程f(x)=0兩根的一根大于p,另一根小于q(p<q)3二次不等式轉(zhuǎn)化策略(1)二次不等式

3、f(x)=ax2+bx+c0的解集是(,),+a<0且f()=f()=0;(2)當(dāng)a>0時(shí)，f()<f() |+|<|+|,當(dāng)a<0時(shí)，f()<f()|+|>|+|;(3)當(dāng)a>0時(shí)，二次不等式f(x)>0在p,q恒成立或(4)f(x)>0恒成立典型題例示范講解例1已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù)g(x)=bx，其中a、b、c滿足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,cR)(1)求證兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)A、B；(2)求線段AB在x軸上的射影A1B1的長的取值范圍例2已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2

4、m+1=0(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(1，0)，另一根在區(qū)間(1，2)，求m的范圍(2)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)，求m的范圍鞏固練習(xí)1若不等式(a2)x2+2(a2)x4<0對(duì)一切xR恒成立，則a的取值范圍是( )A(,2B2,2C(2,2D(,2)2.已知函數(shù)和為常數(shù)）則不論為何值，這兩個(gè)函數(shù)的圖像（ ）A只有一個(gè)交點(diǎn) B只有二個(gè)交點(diǎn) C只有三個(gè)交點(diǎn) D只有四個(gè)交點(diǎn)3.設(shè)時(shí)，二次函數(shù)的值（ ）AB CmDc4.二次函數(shù)=（ ）AB1CD15.若二次函數(shù)的變化范圍是（ ）A0<S<2B0<S<3C1<S<2D1<S<16設(shè)二次函

5、數(shù)f(x)=x2x+a(a>0),若f(m)<0,則f(m1)的值為( )A正數(shù)B負(fù)數(shù)C非負(fù)數(shù)D正數(shù)、負(fù)數(shù)和零都有可能7已知二次函數(shù)f(x)=4x22(p2)x2p2p+1,若在區(qū)間1，1內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c,使f(c)>0,則實(shí)數(shù)p的取值范圍是_8二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為正，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有f(2+x)=f(2x),若f(12x2)<f(1+2xx2),則x的取值范圍是_9.二次函數(shù)（1）求m（2）在x軸下方是否存在拋物線上的點(diǎn)P。使ABP面積等于5.若存在，則求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由。10二次函數(shù)f(x)=px2+qx+r中實(shí)數(shù)p、q、r滿足=0,其

6、中m>0,求證(1)pf()<0;(2)方程f(x)=0在(0，1)內(nèi)恒有解參考答案1解析當(dāng)a2=0即a=2時(shí),不等式為40,恒成立a=2,當(dāng)a20時(shí)，則a滿足,解得2a2,所以a的范圍是2a2答案C2.B 3.D 4.D 5A6解析f(x)=x2x+a的對(duì)稱軸為x=,且f(1)>0,則f(0)>0,而f(m)0,m(0,1),m10,f(m1)>0答案A7解析只需f(1)=2p23p+9>0或f(1)=2p2+p+1>0即3p或p1p(3,)答案(3，）8解析由f(2+x)=f(2x)知x=2為對(duì)稱軸，由于距對(duì)稱軸較近的點(diǎn)的縱坐標(biāo)較小，|12x22|

7、1+2xx22|,2x0答案2x09解：(1)（1分）由y=0 知（3分）（2分）又x1x1<0 m>0由AB2=12CO+1得 9m2+16m=24m+1解之得m=1（2分）(2)由S=5 知y= 2（2分）（2分）10證明(1),由于f(x)是二次函數(shù)，故p0,又m>0,所以，pf()0(2)由題意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r當(dāng)p0時(shí)，由(1）知f()0若r>0,則f(0)>0,又f()0,所以f(x)=0在(0，)內(nèi)有解;若r0,則f(1)=p+q+r=p+(m+1)=()+r=>0,又f()0,所以f(x)=0在(,1)內(nèi)有解當(dāng)p0時(shí)同理可證學(xué)生練習(xí)：例1關(guān)