橢圓雙曲線拋物線復(fù)習(xí)

1、12222byax)0( ba12222byax)0, 0(bapxy22)0(p定義定義:).2|(|,.|)|(,:) 1 (212121aPFPFFFFF距兩個焦點的距離叫做焦焦點兩個定點叫做的點的軌跡叫做橢圓大于數(shù)的距離的和等于常平面內(nèi)到兩個定點橢圓).2|(|,.|)|(,:)2(212121aPFPFFFFF距兩焦點間的距離叫做焦兩個定點叫做焦點這的點的軌跡叫做雙曲線小于對值等于常數(shù)的距離的差的絕平面上到兩個定點雙曲線.,:)3(準(zhǔn)線叫做直線叫做焦點點物線相等的點的軌跡叫做拋的距離和一條定直線平面內(nèi)到一個定點拋物線lFlF定義定義: :平面內(nèi)到一個定點和一條定直線的距離平面內(nèi)到一個

2、定點和一條定直線的距離的比等于定長的比等于定長e e的點的集合的點的集合, ,當(dāng)當(dāng)0e10e1e1時時, ,是雙曲線是雙曲線. .當(dāng)當(dāng)e=1e=1時時, ,是拋物線是拋物線. .PFKoxy12222byax)0(ba12222byax)0, 0(bapxy22)0(p橢圓橢圓雙曲線雙曲線拋物線拋物線幾何條件幾何條件與兩個定點的距與兩個定點的距離的和等于定值離的和等于定值與兩個定點的與兩個定點的距離的差的絕距離的差的絕對值等于定值對值等于定值與一個定點和與一個定點和一條定直線的一條定直線的距離相等距離相等標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程圖形圖形頂點坐標(biāo)頂點坐標(biāo)y xB1B2A1A2OyxoF2 2F1 1MO

3、xyFMP), 0(),0 ,(ba)0 ,( a)0 , 0(對稱軸對稱軸焦點坐標(biāo)焦點坐標(biāo)離心率離心率準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線方程漸近線方程漸近線方程y xB1B2A1A2OyxoF2 2F1 1MOxyFMPax2,長軸長軸by2,短軸長軸ax2,實軸長軸by2,虛軸長軸軸x)0 ,( c22bac)0 ,( c22bac)0 ,2(pace 10 e1e1ecax2cax22pxxaby橢圓橢圓方程方程圖形范圍對稱性頂點離心率12222byax12222bxay xyB2B1A1A2YXoF1F2bybaxa,ayabxb,關(guān)于x軸，y軸，原點 ,對稱。關(guān)于x軸，y軸，原點 ,對稱。), 0(),0

4、 ,(bBaA)0 ,(), 0(bBaA) 10(eace) 10(eacecax2準(zhǔn)線方程 oxy橢圓的橢圓的幾何性質(zhì)幾何性質(zhì)由由12222byax112222byax和即即byax和說明：橢圓位于直線說明：橢圓位于直線X=a和和y=b所圍成的所圍成的矩形之中。矩形之中。22),0 ,(bacc焦點坐標(biāo)cax2:準(zhǔn)線方程10: e離心率例例1 求橢圓求橢圓 16 x2 + 25y2 =400的長軸和短軸的長、離的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點坐標(biāo)心率、焦點和頂點坐標(biāo)把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程得把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程得1452222yx31625,4,5cba這里因此，橢圓的長軸長和短軸長分

5、別是因此，橢圓的長軸長和短軸長分別是82,102ba離心率離心率6.053ace焦點坐標(biāo)分別是焦點坐標(biāo)分別是)0,3(),0,3(21FF四個頂點坐標(biāo)是四個頂點坐標(biāo)是)4,0(),4,0(),0,5(),0,5(2121BBAA解解:.,252522焦點和頂點的坐標(biāo)短軸的長的長軸和求橢圓 yx練習(xí)練習(xí):解解: . 62125, 1, 5cba, 12522 xy橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為).0 , 1(),5, 0(),62, 0(頂點焦點F, 22.102ba短軸長長軸長P2Fx1FyO,21PFPF .452a由此得. 1204522yx所求橢圓的方程為例例2到兩準(zhǔn)線的距離若點且為兩焦點PPFPFF

6、F,2121.,126求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和分別為, 為橢圓上一點軸上已知橢圓的焦點在Px解解:,2c焦距為, 1,2222byax設(shè)橢圓方程如圖,12|,6|21acPFacPF由橢圓定義得,)2(|22212221cFFPFPF22222414436cacac.20. 5,21262222cabcca又.,0916,056:32222線并說明它是什么樣的曲求動圓圓心的軌跡方程內(nèi)切同時與圓外切一動圓與圓例xyxxyx配方分別將兩已知圓的方程, 4322yx得.100y3x22xyNPMoR1o2o解法一解法一:.,21OOR分別為兩已知圓的圓心半徑為,yxP設(shè)動圓的圓心如圖有外切時與圓當(dāng)圓,1O

7、P, 2RPO1有內(nèi)切時與圓當(dāng)圓,2OP.R10PO2得兩邊分別相加 ,12POPO21.12y3xy3x:2222即.123222xyx:,得兩邊分別平方將0108y4x322. 127y36x22如圖中虛線所示為它的長軸和短軸長分別, 36 ,12,動圓圓心的軌跡是橢圓:解法二同解法一得方程612,120 , 3O0 , 3Oy, xP,21且的距離和為常數(shù)和到點動圓圓心由方程可知的軌跡為橢圓點P12a2 , 6c2:即6a , 3c.27936b2. 127y36x22. 36 ,12,長軸和短軸長分別為動圓圓心的軌跡是橢圓,12POPO21例題例題:,)( 1212222是焦點上一點是

8、橢圓設(shè)FFbabyaxP.:,22121bPFFPFPF的面積是求證若F2F1oPxy又|F1 F2| = 2c ，PF1 PF2， 如圖,由橢圓的定義得|PF1|+|PF2|=2a證明證明:由此得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|=4a2故故|PF1| 2 + |PF2| 2 = | F1 F2| 2 = 4C2.2)(2|22221bcaPFPF221|2121bPFPFSPFF_,111_,111) 1 (2222的取值范圍是則表示雙曲線若方程的取值范圍是則表示橢圓若方程kkykxkkykx練習(xí)練習(xí):_),2, 3(),1 ,6(,)2(21則橢圓的方程是焦點在坐標(biāo)軸上已知

9、橢圓的中心在原點PP_,149)3(212122橫坐標(biāo)的取值范圍是點為鈍角時當(dāng)為其上的動點的焦點為橢圓PPFFPFFyx_,3,13664)4(21212122的面積為那么且焦點上一點是橢圓PFFPFFFFyxP11k13922yx3121k看過程看過程看過程看過程焦點在焦點在x軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)1.標(biāo)準(zhǔn)方程：12222byax2.幾何性質(zhì)：幾何性質(zhì)：(1)范圍：范圍：xa或或x-a關(guān)于x軸，y軸，原點對稱。A1（-a，0），A2（a，0）(4)軸：實軸軸：實軸 A1A2 虛軸虛軸 B1B2(5)漸近線方程：漸近線方程：(6)離心率：ace xaby(2)對稱軸：對稱

10、軸：(3)頂點：頂點：YXA1A2B1B2F2F1焦點在焦點在y軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)1.標(biāo)準(zhǔn)方程：12222bxay2.幾何性質(zhì)：幾何性質(zhì)：(1)范圍：范圍：Y a或或y-a關(guān)于x軸，y軸，原點對稱。A1（0,-a），A2（0,a）(4)軸：實軸軸：實軸 A1A2 虛軸虛軸 B1B2(5)漸近線方程：漸近線方程：(6)離心率：ace xbay(2)對稱軸：對稱軸：(3)頂點：頂點：oYXB1B2A1A2F2F2例例1:求雙曲線求雙曲線14416922yx的實半軸長的實半軸長,虛半軸長虛半軸長,焦點坐標(biāo)焦點坐標(biāo),離心率離心率.漸近線方程。漸近線方程。把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：把

11、方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：1342222yx可得可得:實半軸長實半軸長a=453422c虛半軸長虛半軸長b=3半焦距半焦距焦點坐標(biāo)是焦點坐標(biāo)是(-5,0),(5,0)離心率離心率:45ace漸近線方程漸近線方程:xy43解解:方程方程 2a2b范圍范圍頂點頂點焦點焦點離心率離心率漸近線漸近線32822 yx81922yx-422yx1254922yx28424|x0 ,240 , 6423exy42618|x|3(3,0)0 ,10310ey=3x44|y|2(0,2)22, 0 2eyx1014|y|5(0,5)74, 0 574eyx57例例:已知雙曲線的兩個焦點的距離為已知雙曲線的兩個焦點的距離

12、為26，雙曲線上，雙曲線上一點到兩個焦點的距離之差的絕對值為一點到兩個焦點的距離之差的絕對值為24，求雙，求雙曲線的方程。曲線的方程。.242,262,21acxFF由題意知軸上在設(shè)焦點解：.251213,13,1222222acbca. 125144,22yxx雙曲線的方程為軸上時故當(dāng)焦點在. 125144,22xyy雙曲線的方程為軸上時當(dāng)焦點在的距離到兩個定點若一個動點例)0 , 1 (),0 , 1(),(:21FFyxP.,并說明軌跡的形狀的軌跡方程求點之差的絕對值為定值Pa解：, 2|21FF;),11(0,2) 1 (軌跡是兩條射線或軌跡方程是時當(dāng)xxya; 0,0)2(21xFF

13、a的垂直平分線軌跡是線段時當(dāng);, 1414,20) 3(2222軌跡是雙曲線軌跡方程是時當(dāng)ayaxa.,2)4(無軌跡時當(dāng) a.,1916:22倍它到右焦點的距離的兩使它到左焦點的距離是上求一點在雙曲線例Pyx解一,),(21為雙曲線的左右焦點點的坐標(biāo)為設(shè)FFyxP. |2|, 5, 3, 421PFPFcba又,45|516|516|21xPFxPF,45|516|2|516|45xx,548x由此得11953,y代入雙曲線方程得).11953,548( ,的坐標(biāo)為故點P,516,xP準(zhǔn)線方程為在雙曲線的右支上.,1916:22倍它到右焦點的距離的兩使它到左焦點的距離是上求一點在雙曲線例Py

14、x解二,),(21為雙曲線的左右焦點點的坐標(biāo)為設(shè)FFyxP. |2|, 5, 3, 421PFPFcba又,45|516|8|516|2xxPF,548x由此得11953,y代入雙曲線方程得).11953,548( ,的坐標(biāo)為故點P,516,xP準(zhǔn)線方程為在雙曲線的右支上, 8|21 PFPF又16.|PF| , 8|12PF.,1916:22倍它到右焦點的距離的兩使它到左焦點的距離是上求一點在雙曲線例Pyx解三,),(21為雙曲線的左右焦點點的坐標(biāo)為設(shè)FFyxP. |2|, 5, 3, 421PFPFcba又,548x11953y).11953,548( ,的坐標(biāo)為故點P).0 , 5(),

15、0 , 5(,21FFP 在雙曲線的右支上,)5(2)5(2222yxyx2222224) 5( 4) 5(1916yxyxyx由.,44) 1 , 8(P:22的方程求直線的中點是線段且兩點相交于的直線與雙曲線過點例ABABPBAyx解一 . 0152 yxAB的方程為直線)8(1xkyAB的方程為設(shè)直線得解方程組)8(1, 4422xkyyx, 22,162121kyyxx解得再由),(),(,2211yxByxABA的坐標(biāo)為點, 04)81 ( 4)8k1 (8)4k1 (222kxkx.,44) 1 , 8(P:22的方程求直線的中點是線段且兩點相交于的直線與雙曲線過點例ABABPBA

16、yx解二： , 44, 44),(),(222221212211yxyxyxByxA則設(shè)得由方程組, 444422222121yxyx0)(4)(21212121yyyyxxxx. 2,16,) 1 , 8(2121yyxxABP的中點是段, 2)(421212121yyxxxxyy故直線故直線AB的斜率為的斜率為2,)8(21xy其方程為 . 0152: yx即.,44) 1 , 8(P:22的方程求直線的中點是線段且兩點相交于的直線與雙曲線過點例ABABPBAyx解三 )2 ,16(),(yxByxA的坐標(biāo)為則點的坐標(biāo)為設(shè)點, 是雙曲線上的點BA, 4)2(4)16( , 442222yx

17、yx得由方程組4)2(4)16(442222yxyx. 0152 yxAB的方程為直線練習(xí)練習(xí)的兩個焦點分別為設(shè)雙曲線年廣東省會考154)97.(122yx_,212121的面積為那么如果在這雙曲線上點PFFPFPFPFF12122,1169)01.(2PFFFyx若的兩個焦點為雙曲線年高考題_,2軸的距離為到則點xPPF_1412. 32222的焦距是雙曲線mymx_,_,145. 422離心率為漸近線方程為方程為準(zhǔn)線虛軸長為的實軸長為雙曲線yx83,1916. 5212122PFFFFPyx且是雙曲線的兩個焦點上一點雙曲線_21的面積是則PFF5516. 553e52435x. 39.55

18、2xy看過程看過程 圖圖 形形 焦焦 點點 準(zhǔn)準(zhǔn) 線線 標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程xxxxyyyyooooFFFF)0 ,2(pF2px)0(22ppxy)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF2px 2py 2py)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx練習(xí):已知拋物線的焦點為F（-2，0）準(zhǔn)線方程x=2,則拋物線方程為（ ）A. B. C. D.xy42xy82281yx 241yxxy82拋物線的方程為, 82 , 22,pp依題意得解:故選B.(如圖)yox求它的標(biāo)準(zhǔn)方程經(jīng)過點并且頂點在坐標(biāo)原點軸對稱已知拋物線關(guān)于例),32, 3(,:My解解:).0(22PPyx故可設(shè)

19、拋物線方程為.43),32(2)3(2PP.23,2yx故所求拋物線方程為).32, 3(,My頂點在原點且過點軸對稱因拋物線關(guān)于,在拋物線上點M., 5|),3,(,:求拋物線方程并且經(jīng)過點軸上在拋物線的焦點例AFmAxF解一解一).0(2222PPxyPxy或設(shè)拋物線方程為,)3,(在拋物線上點mA,2)3(2)3(22PmPm或,29Pm5|2|mPAF由拋物線的定義得. 91, 0910, 52922PPPPPP或解這個方程得即.182,22xyxy或故所求拋物線方程為., 5|),3,(,:求拋物線方程并且經(jīng)過點軸上在拋物線的焦點例AFmAxF解二解二).0(2222PpxyPxy或

20、設(shè)拋物線方程為),()3,(如圖在拋物線上點mAPm2)3(259)2(|)0 ,2(2pmAFpF得由焦點.182,22xyxy或故所求拋物線方程為oyxFA. 91259)2(292或得解方程組ppmpm., 5|),3,(,:求拋物線方程并且經(jīng)過點軸上在拋物線的焦點例AFmAxF解三解三).0(2222PPxyPxy或設(shè)拋物線方程為.182,22xyxy或故所求拋物線方程為oyxFAH4| , 5| , 3|,FHAFAHxAH則軸作如圖. 42|, 42|pmpm或5|2|mPAF由拋物線的定義得. 91,29|52|42|pPmpmpm或得解方程組.:,)0(2:21212物線的準(zhǔn)線

21、相切為直徑的圓和拋以求證兩點交拋物線于任作一條直線的焦點過拋物線例PPPPlFPPxy證明證明:的作準(zhǔn)線分別過的中點為設(shè)lPPPPPP2121,2211根據(jù)拋物線的定義得垂線段QPPQQP|,| |,|222111QPFPQPFP|,|22112121QPQPFPFPPP|,| ,/212211PPPPQPPQQP|,|21|)|(|21|212211PPQPQPPQ,21lPQPQP又三點共圓故.,21準(zhǔn)線相切為直徑的圓和拋物線的以所以PP1P2PFOyx1Q2QQP.:,22,2OBOABAxyxy求證點相交于與拋物線直線如圖xyoAB:,x2y2xy:12得中代入將證法x22x204x6

22、x2. 53,5321xx. 51,5121yy5351k,5351kOAOB1kkOAOB.OBOA 例例:1得方程由證法04x6x24xx, 6xx:2121由根與系數(shù)關(guān)系得2xy, 2xy22112x2xyy21214xx2xx212141244144xyxykk2211OAOB.OBOA 證法證法2:.:,2:221212pyyyypxy求證兩個交點的縱坐標(biāo)為線相交拋物的焦點的一條直線和此過拋物線練習(xí),0,2kpxkyk存在則過焦點的直線為設(shè).21pykx即得將上式代入,px2y2.2pkyp2y2. 02,22kppyky去分母后整理得222121,pkkpyyyy則有設(shè)這個方程的兩

23、根為證明一證明一2pxk方程為不存在則過焦點的直線若,22py 由此得, py221pyy222121ppxxBBAABFAFyyAyoxABBF2222212221ppxxyy422121222221pxxxxxxpp22142122221pyypxxp4yy,2211得設(shè)點yxByxA證明二證明二:212221xxyy2221212,2pxypxyAyoxABBF221pyy證明三證明三:)( , 如圖連結(jié)FBFAFBFA ),2( ),2( 21ypBypA點點,22011pyppykFA,22022pyppykFB,1得由FBFAkk;. 2221pyy兩交點縱坐標(biāo)有拋物線焦點弦的幾何

24、性質(zhì)拋物線焦點弦的幾何性質(zhì):).,(),(2211yxByxAAB交拋物線于點過焦點的弦1.當(dāng)當(dāng)AB垂直于對稱軸時垂直于對稱軸時,稱弦稱弦AB為通徑為通徑,);,2(),2(PPBPPA交點坐標(biāo)|AB|=2P,;4. 3221pxx兩交點橫坐標(biāo)有; ,. 4FBFAlBBlAA則如圖AyoxABBFlPH|;|21,. 5ABPHHlPHABP則于中點為如圖.)()(|. 6212212yyxxAB弦長._6. 12準(zhǔn)線方程是的焦點坐標(biāo)是拋物線xy _, ,104. 22的坐標(biāo)是點則的距離是到焦點上一點拋物線PFPxy ).9 , 6)();6 , 9)();6, 9)();9 , 6)(DC

25、BA_, 5), 3(,. 3則標(biāo)準(zhǔn)方程是焦點的距離為到其上點軸上已知拋物線的焦點在mPx_,) 1 , 4(,6. 42程是則這條弦所在的直線方被平分使它恰在點引一條弦過點已知拋物線PPxy 練習(xí)練習(xí)23x)0 ,23(xy820113 yxB看答案看答案_,) 1 , 4(,6. 42程是則這條弦所在的直線方被平分使它恰在點引一條弦過點已知拋物線PPxy 0113 yx解一解一:AP(4,1)oyxBl如圖如圖,設(shè)所求直線方程為設(shè)所求直線方程為y-1=k(x-4), 024666)4(122kykyxyxky由. 3, 26, 122121kkyyyy又故所求直線方程為故所求直線方程為y

26、- 1 = 3(x-4) 即即 3x - y - 11 = 0.解二解二:如圖如圖,設(shè)所求直線方程為設(shè)所求直線方程為y-1=k(x-4)66),(),(21221212122211yyyyxxyykyxByxA則點. 36, 22121yykyy又即得所求直線方程為即得所求直線方程為_,) 1 , 4(,6. 42程是則這條弦所在的直線方被平分使它恰在點引一條弦過點已知拋物線PPxy 0113 yx解三解三:AP(4,1)oyxBl如圖如圖,設(shè)所求直線方程為設(shè)所求直線方程為y-1=k(x-4),66222121xyxy由解四解四:),(),(2211yxByxA點. 3, 2121221xxy

27、ykyy又即得所求直線方程為即得所求直線方程為)(6)(121212xxyyyy,48)(6212221xxyy,9121,222121xxyy由由(三三)94)(4)()(1221212212212122xxxxyyyyxxyykK=3或或-3舍去舍去-3得得k=3_,) 1 , 4(,6. 42程是則這條弦所在的直線方被平分使它恰在點引一條弦過點已知拋物線PPxy 0113 yx解五解五:AP(4,1)oyxBl設(shè)點設(shè)點 因因P(4,1)是是AB的中點的中點,),(yxA則點則點B的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為)2 ,8(yx)8(6)2(622xyxy由Y= 3x - 11解六解六:),2 ,8(),

28、(yxByxA得點設(shè)點,211|,23PKPx到準(zhǔn)線的距離為故拋物線準(zhǔn)線方程為11)2()238()23(2222yxyxHGK|2|PKBGAHBFAF由THE ENDF2F1oPxy_,149)3(212122橫坐標(biāo)的取值范圍是點為鈍角時當(dāng)為其上的動點的焦點為橢圓PPFFPFFyx解法一解法一|21412121yFFSPFF),(11yxP的坐標(biāo)為設(shè)點54|1y154921x5353x解法二解法二),(yxP的坐標(biāo)為設(shè)點21PFPF 又155xyxy522 yx.5314952222即得結(jié)果得解方程組xyxyx_,149)3(212122橫坐標(biāo)的取值范圍是點為鈍角時當(dāng)為其上的動點的焦點為橢圓PPFFPFFyx解法三解法三),(,yxP的坐標(biāo)為設(shè)點如圖 返回返回F2F1oPxyH)(211xcaacPFacPHPF由,3531xPF,353)353(62xxPF由余弦由余弦定理得定理得:0)353)(353 ( 2)52()353 ()353 (cos22221xxxxPFF5353x_,3,13664)4(2121