2018-2019學(xué)年湖南師大附中高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含答案

1、2018-2019學(xué)年湖南師大附中高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題、單選題1,已知集合 M x|x1,N x|xa,且 M N.U（）A. a 1B. a 1C. a 1D. a 1【答案】A【解析】根據(jù)M N ,在數(shù)軸上作出M ,N ,可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)M N ,在數(shù)軸上作出集合 M ,N ,如圖：故選：A.本題考查集合間的包含關(guān)系，注意利用數(shù)軸，是基礎(chǔ)題12 .函數(shù)f x的值域是（）x 311a. rb. y|y - c. y| y -331D. y|0 y 一3【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求出函數(shù)的值域【詳解】11因?yàn)?x2 3 30 、-,x2 3 3 ，一一，一，1所以函數(shù)的值域?yàn)椋簓|0

2、 y -.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用不等式的性質(zhì)求函數(shù)的值域,注意不等式兩邊取倒數(shù)時，不會改變兩邊的一一 11八八正負(fù)，所以0 -2-不能弄錯，考查基本運(yùn)算求解能力.x2 33 .函數(shù)y loga x 42（a 0且a 1）的圖象必經(jīng)過點(diǎn)（）A. 0,1B. 5,1C. 5,2D. 1,5【答案】C【解析】 令對數(shù)的真數(shù)為1,求出x,y的值，從而得到函數(shù)過的定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】 令x 4 1 x 5,所以y 2,所以函數(shù)過的定點(diǎn)坐標(biāo)為 （5, 2）.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)型函數(shù)過定點(diǎn)問題，考查對概念的理解，即只要對數(shù)的真數(shù)為1,不管底數(shù)如何變化，其對數(shù)值恒為1,考查基本運(yùn)算求解能力.0

3、4 .實(shí)數(shù) 1 lg 4 2lg5的值為（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】根據(jù)指數(shù)，對數(shù)的運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】0.12解： - lg4 2lg5 1 lg 4 51 2 3,故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)，對數(shù)的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題 .25 .設(shè)a log 2 e, b ln3e,c e （e為自然對數(shù)的底數(shù)），則a,b, c的大小關(guān)系為（）A. a b cB. cabC. bcaD. bac【答案】D【解析】 分析：根據(jù)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可借助中間數(shù)比較.21.詳斛：1 10g2e 2, ln3e 2, e T 1 , b a c. e故選D.點(diǎn)睛：比較大小時，能用一個

4、函數(shù)的，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較，不能歸到一個函數(shù)的可借助于中間數(shù)比較，如 0, 1, 2等等.a6.已知函數(shù)y xa R的圖象如圖所示,則函數(shù) y 2、與丫 logax在同一直角2而得到答案.【詳解】由哥函數(shù)的圖象得 0 a 1,由y a x (1)x,得該函數(shù)單調(diào)遞增， a由y logax,得該函數(shù)單調(diào)遞減，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查募函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象，考查數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，求解的關(guān)鍵是抓住函數(shù)的單調(diào)性.f x 1 ,x 47.已知 f x 1 x ，則 f 10g2 3 =(),x 412B.【解析】【考點(diǎn)】8.已知試題分析:分段函數(shù).f x是定義在f X1 f X2解

5、得:2410g 2 3 f (log 2 6) L f (log 2 24),0上的減函數(shù)，且對任意 x，X2f X1 x23,23,0利用函數(shù)單調(diào)性和運(yùn)算關(guān)系，得到不等式組,0,0,2 f所以不等式的解集為:3,故選：B.本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)不等式的解法,/ 1 10g224(2)1一，故選B.24,0都有2的解集為解不等式即得答案。x i,考查數(shù)形結(jié)合思想、2,012,2 2x 1,函數(shù)與方程思想,C. a 8,b 4D. a 2,b V2考查指數(shù)哥的運(yùn)算與求解用計(jì)算器算得部分函數(shù)值如表所示,9 .某同學(xué)求函數(shù)f x lnX 2x 6的零點(diǎn)時,則方程lnx 2x 6 0的近似解（

6、精確度 0.1）可取為（）X232.52.752.6252.5625f X1.30691.09860.0840.5120.2150.066A. 2.52B. 2.625C. 2.47D. 2.75【答案】A【解析】由圖表可知，函數(shù) f X lnx 2x 6的零點(diǎn)介于2.5到2.5625之間，方程 lnx 2X 6 0的近似解也介于 2.5到2.5625之間，結(jié)合精確度和選項(xiàng)可得答案【詳解】解：由圖表可知，函數(shù)f X lnx 2X 6的零點(diǎn)介于2.5到2.5625之間,故方程lnx 2x 6 0的近似解也介于 2.5至IJ 2.5625之間,由于精確到0.1,結(jié)合選項(xiàng)可知2.52符合題意，故選：

7、A.本題考查二分法求方程的近似解，涉及精確度，屬基礎(chǔ)題10.已知函數(shù)f(x)=logo.5(x2ax + 3a)在1 , 十 °0上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是()A . ( £ 2)B. 2, + 8)1 1C. -,2D. ( -,222【答案】D【解析】分析：可看出該函數(shù)是由t x2 ax 32和y log【t復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)， 3這樣根據(jù)二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及對數(shù)函數(shù)的定義便可建立關(guān)于a的不等式組，解出即可.詳解：令t=g(x) = x2ax+3a,易知f(t) = log0.5t在其定義域上單調(diào)遞減，要使f(x)= 10g0.5 (x2 ax

8、+3a)在1, 十 °°止單調(diào)遞減，則 t=g(x)=x2ax+3a 在1,十°°)上單調(diào)遞增，且 t=g(x)依2.=x2 ax+ 3a>0,即 4上 所以,& 1 >0-1即<<aw縱選D.G一于2點(diǎn)睛：本題考查二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，以及復(fù)合函數(shù)的定義，對數(shù) 函數(shù)的定義域.一 .一5 b a11.已知a b 1,右logab log ba 一，a b，則a,b的值分別為（）2A. a 5,b 2B, a 4,b 2【答案】B【解析】利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化，設(shè) 5 一，tlogab代入式子logab l

9、og ba 求得t2的值，從而得到a,b的關(guān)系，再利用式子 abba求得a,b的值.151所以t -,解得t 2或t t22因?yàn)閍b ba,所以ab aat,即b一，1因?yàn)閍 b 1,所以b a,代入【詳解】1設(shè) t 10gab ,則 logba - , b at，at,ab a /口 o / a、aa b 得：a2 (一)a 4,22所以b 2.故選B.12.對于實(shí)數(shù)a和b ,定義運(yùn)算a,ab,a八、5C.22x x 2 x x , x則實(shí)數(shù)c的取值范圍是（1,4U14,【解析】分類討論求出f(x)R,若函數(shù)c的圖象與x軸恰有兩個公共B.D.1,1,作出圖像,本題考查指數(shù)式與對數(shù)式的互化，考

10、查轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，求解時要注意條件 a b 1的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力圖像可得結(jié)果.,2_2.3_2_當(dāng) x 2 x x 1 ,即 1 x 萬時，f(x) x 2；當(dāng) x2 2 x x21 ,即 x 1 或 x 之時，f (x) x x2 ,223x 21 x -f(x)2x x2 x1或 x -2f(x)的圖象如圖所示,3233-f(0)2, f(2)f( 1)1,觀察圖像得，若直線 y c與f(x)的圖象有兩個交點(diǎn),3則c 2或1 c -.4故選：B.本題考查函數(shù)圖像交點(diǎn)個數(shù)問題，關(guān)鍵是準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖像，是中檔題二、填空題13.不等式4k 12的解集是一一 31【答案】x|x *或x

11、 122【解析】將不等式的兩邊都化成以 2為底的指數(shù)式，再解指數(shù)不等式不等式 4號1 2221x1| 212|x 1| 1,1所以|x 1| 111一31x 1或x 1,解得：x-或 x,故答案為：x | x 或x .22【點(diǎn)睛】1本題考查絕對值不等式的解法，求解時要會利用整體思想，即把 x看成一個實(shí)數(shù),2然后利用絕對值的幾何意義解不等式，考查運(yùn)算求解能力1 114.若 2a 5b 10,則一一.a b【答案】1【解析】將指數(shù)式化為對數(shù)式，再取倒數(shù)相加即得.【詳解】2a= 5b= 10, 1 a=log210, b= log5 10,lg 51 1 lg2+lg5= lg (2>5) =

12、 1,a b故答案為1.本題考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).屬基礎(chǔ)題.15.設(shè) min x,yy x y2,則min x,2 x的最大值為x xy【答案】1.【解析】分析：由定義，求出 min-2x,2 x 的解析式，畫出函數(shù)圖象，確定最大值詳解：由-x 2x2,解得x2或x -1yxyQ min x,y,xxy. 八 22 x2, x 2或x1min x,2 x =x, 1 x 2函數(shù)圖象如圖所示，當(dāng) x=-1時取得最大值1.故答案為1.點(diǎn)睛：本題考查確定函數(shù)解析式和函數(shù)最值的方法，畫出函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合的方法可以簡化此類問題的求解過程 .1 x216.已知函數(shù)f x 與g xlog4 x 2ax

13、4 a 0 ,若對任意的2xi0,1 ,都存在x20,2 ,使得f xg x2 ,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .【答案】2,【解析】 求出函數(shù)y f x在區(qū)間0,1上的值域?yàn)?1,1 ,由題意可知，由1 10g4 u 1,可得出2 u 4,由題意知，函數(shù)u x2 2ax 4在區(qū)間0,2上的2值域包含2,4 ,然后對a分0 a 1、1 a 2、a 2三種情況分類討論，求出函a的不等式（組），解出即數(shù)u x2 2ax 4在區(qū)間0,2上的值域，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)可.x1由于函數(shù)在0,1上的減函數(shù)，則 12所以，函數(shù)x在區(qū)間0,1上的值域?yàn)?,1對于函數(shù)g xx2 2ax 4 ,外層函數(shù)為,2log 4 x 2

14、ax 4 ,內(nèi)層函數(shù)為uy 10g 4 u.91令一 10g 4 u 1,得 2 u 4.2由題意可知，函數(shù) u x22ax4在區(qū)間0,2上的值域包含2,4函數(shù)u x2 2ax 4的圖象開口向上，對稱軸為直線 x a 0.(i)當(dāng)0 a 1時，函數(shù)u x2 2ax 4在區(qū)間0,a上單調(diào)遞減，在區(qū)間 a,2上單調(diào)遞增，貝 U Umin 4 a2, umax max 4,8 4a8 4a,即 4 a2u 8 4a,22此時，函數(shù)u x2 2ax 4在區(qū)間0,2上的值域?yàn)?4 a ,8 4a ,一 一 4 a2 2 ,一 _.由題息可得，解得a72,此時，a ;8 4a 4(ii)當(dāng)1 a 2時，函

15、數(shù)u x2 2ax 4在區(qū)間0,a上單調(diào)遞減，在區(qū)間 a,2上單調(diào)遞增，則 umin4 a2, umaxmax 4,8 4a4,即 4a2u 4,此時，函數(shù)u x22ax 4在區(qū)間0,2上的值域?yàn)?a2,4,由題意可得4 a2 2 ,解得a 衣或a 衣，此時72 a 2；(iii)當(dāng)a 2時，函數(shù)u x2 2ax 4在區(qū)間0,2上單調(diào)遞減，則umin 8 4a,umax 4,則函數(shù)u x2 2ax 4在區(qū)間0,2上的值域?yàn)?8 4a,4 ,3由題息可得8 4a 2 ,解得a -,此時，a 2.2綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是應(yīng) .【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的綜合問題，根據(jù)任意性和存在性將

16、問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值域的包含關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在處理二次函數(shù)的值域問題時，要分析對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，考查分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于難題 三、解答題17 .已知函數(shù)f x ax2 3 a 0且a 1經(jīng)過定點(diǎn)A,且A在哥函數(shù)g x xm的 圖象上.(1)求m的值；(2)設(shè)集合 M x|fx 5,N x| g x 2x3,若 M N M,求 a的 取值范圍.【答案】(1) 2; (2) 收,1(1,2【解析】(1)由題可得定點(diǎn) A(2,4),代入g(x) xm即可;(2)根據(jù)(1)可得N x| 1 x 3，對a 1,0 a 1分類討論，求出集合 M,又由M N M列不等式求出a的取

17、值范圍.【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x) ax 2 3 (a 0且a 1)經(jīng)過定點(diǎn)A(2,4),將點(diǎn)A(2,4)代入函數(shù)g(x) xm中，得m 2 .(2)由 g(x) 2x 3,即 x2 2x 3x2 2x 3 01 x 3，則集合N x| 1 x 3,又由 f (x) 5 ,得 ax 2 3 5ax 2 2，當(dāng) a 1 時，x 2 log a 2,則 Mx| x 2 loga 2 ,要 M N M ,則 2 loga 2 3loga 2 1 a 2,所以1 a 2.當(dāng) 0 a 1時，x 2 loga 2,則 M x|x 2 loga 2 ,要 M N M ,331 J則 2loga 21 l

18、og a 23 a 32 a3-a 3-,所以。a 1,綜上所述，a的取值范圍為 41,1(1,2.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查集合的運(yùn)算，注意合理的分類討論，是中檔題.218 .已知函數(shù)f x T 1.1 2x(1)判斷函數(shù)f x的奇偶性并給出證明；x x 1(2)設(shè)g x f 42 f m ,若函數(shù)g x有且只有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) m的取值范圍.【答案】(1)奇函教，證明見解析；(2) m1或m0【解析】(1)通過f x ,求出f x ,可得f( x) f(x),即為奇函數(shù);(2)設(shè)Xx2 ,計(jì)算可得f X1f X20,可得函數(shù)f(X)為減函數(shù)，將函數(shù)g X有且只有一個零點(diǎn)

19、，轉(zhuǎn)化為 m4X2X 12X22 2X只有一個根，令t 2X,t (0,)，轉(zhuǎn)化為 mt22M(0,)只有一個正數(shù)根，利用韋達(dá)定理可得結(jié)果.(1)函數(shù)為奇函數(shù),一2證明：f (x) 11 2Xf( x)2X 12X 1f(X),則函數(shù)為奇函數(shù);(2)首先判斷函數(shù)f(X)的單調(diào)性,設(shè)XiX2,f X1f X2Xi2 2X2 2X101 2X1 1 2x2Q X1x2, 2*2X2, 2X22X10, 12X12X2則 f X1f x2故函數(shù)f(X)為減函數(shù);由 g(X) f4X 2Xf (m) 0 得 f4X2* 1f (m),即：m 4X2X12X2 2 2X,令 t 2X,t(0,)2則：m

20、 2X2 2Xt2 2t,t (0,2)，即t2t m 0,t(0,),等價于上述方程有且僅有一個正數(shù)根,根據(jù)韋達(dá)定理解得：m本題考查函數(shù)與方程的綜合問題，要熟練將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,注意函數(shù)單調(diào)性的證明，是中檔題.19.已知函數(shù)y f x是定義在R上的偶函數(shù)，且X 0, 時,(1)求x ,0時f x的解析式;(2)在如圖坐標(biāo)系中作出函數(shù)f X的大致圖象;(3)若不等式f X | k恰有5個整數(shù)解，求k的取值范圍(1) f(x)【解析】(1)當(dāng)x2,x 1,0);(2)圖像見解析；(3)3, k 81,x (,1),0 , x 0,利用奇偶性得f x f x ,代入2x 2,x0,1f x 2可得答

21、案;x 1,x1,(2)分段作出函數(shù)圖像;(3)作出y | fx的圖像，觀察圖像可得結(jié)果.解：(1)當(dāng)x,0所以f x f2 x 2, x x2 1,x1,0,1 ；若不等式f x（3）作出y f x的圖像如圖:k恰有5個整數(shù)解，這5個整數(shù)解必為2, 1,0,1,2 ,由圖像可得38.【點(diǎn)睛】 本題考查分段函數(shù)的圖像及其應(yīng)用，充分利用圖像解決不等式的解的問題，是中檔題20 . 一片森林原面積為a ,計(jì)劃從某年開始，每年砍伐一些樹林，且每年砍伐面積與上一年剩余面積的百分比相等.開丁劃砍伐到原面積的一半時，所用時間是10年.為保護(hù)生1態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的一.已知到今年為止，森林剩余面

22、積為原面積的4(1)求每年砍伐面積與上一年剩余面積的百分比;(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年?(3)為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，今后最多還能砍伐多少年?1【答案】（1） 11 10; （2） 5年；（3） 15年2【解析】（1）根據(jù)每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時，所用時間是(2)10年，設(shè)每年砍伐面積的百分比為 x可建立方程，解之即可得到每年砍伐面積的百分比;設(shè)經(jīng)過m年剩余面積為原來的 ,根據(jù)題意：到今年為止，森林剩余面積為原 2來的，2,可列出關(guān)于m的等式，解之即可;2（3）根據(jù)題意設(shè)從今年開始，以后砍了n年，再求出砍伐n年后剩余面積，由題意,建立關(guān)于n的不等關(guān)系，利用一些不等關(guān)系

23、即可求得今后最多還能砍伐多少年【詳解】(1)設(shè)每年降低百分比為x,(0 x 1).則 a(1 x)10 1a,即(1 x)101,1解得x 11 10;2(2)設(shè)經(jīng)過m年剩余面積為原面積的叵,則 a(1 x)m222a，即m1 102115m 1一,m 5.210 2到今年為止，已砍伐了 5年;(3)設(shè)從今年開始，以后砍伐了n年，則n年后剩余面積為白1nx).令條(1 x)n 1a,即(1 x)nn103 ,n 15.2故今后最多還能砍伐15年.本題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、不等式的解法及指數(shù)式與對數(shù)式的互化.解決實(shí) 際問題通常有四個步驟：(1)閱讀理解，認(rèn)真審題；(2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，建立

24、數(shù)學(xué)模型;(3)利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；(4)轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型.一 一、“，m 4x 121 .已知函數(shù) f x - m ( m R ).2x(I)若函數(shù)f x有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) m的取值范圍；(n)若對任意的x1,0 ,都有0 f x 1,求實(shí)數(shù)m的取值范圍【答案】(1),0 U 4,(2) 2,4【解析】分析：(1)由函數(shù)f x有零點(diǎn)得：關(guān)于x的方程m 4x m 2x 1有解令t 2x,則t 0 ,于是有關(guān)于t的方程mt2 mt 1 0有正根，設(shè).2g t mt mt 1,對m進(jìn)行討論即可；m 41(2)由題意可得0 m 41 m 1, x 1,0 ,變形為

25、：2x0 m 4x 2x 1 2x,進(jìn)行分類討論化簡整理可得 .詳解：(1)由函數(shù)f x有零點(diǎn)得：關(guān)于x的方程m 4x m 2x 1 0 (m R)有解令 t 2x,貝U t 0于是有，關(guān)于t的方程mt2 mt 1 0有正根21設(shè)g t mt mt 1,則函數(shù)g t的圖象恒過點(diǎn) 0,1且對稱軸為t -當(dāng)m 0時，g t的圖象開口向下，故 g t 0恰有一正數(shù)解當(dāng)m 0時，g t 10,不合題意1 -當(dāng)m 0時，g t的圖象開口向上，故gt 0有正數(shù)解的條件是 廠14 cg - 02 4m解得：m 4綜上可知，實(shí)數(shù) m的取值范圍為,04,.(2)由當(dāng)x 1,0時，都有0 f x1”得：1,0m

26、4x 1 2x 2x 0,故變形為：0 m 4x 2x 1 2x當(dāng)x 0時，不等式簡化為0 11,此時實(shí)數(shù) m R當(dāng)x 1,0時，有1 2x 0 4x 2x 2x 2x 10242x 1 2x2x 1 2x1當(dāng) x 1,0 時，1 2x1,012 x . x，2 414當(dāng)且僅當(dāng)x1時取等號綜上可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍2,4 .點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問題、不等式恒成立問題處理方法，考查了分類思想22.設(shè)函數(shù) f xlOga 22mx2loga x 2x 3 , a0,a 1 .(1)若x m,4 時，g x2x 3 a的值域?yàn)?,10 ,求m的值;(2)若f 00,求不等式0的解集.(1) 1； (2)見解析(1)由題意,化簡得g(x) 2