導(dǎo)學(xué)案023正弦定理和余弦定理

1、正弦定理、余弦定理考綱要求：掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.考情分析：1.利用正、余弦定理求三角形中的邊、角及其面積問題是高考考查的熱點2.常與三角恒等變換相結(jié)合，綜合考查三角形中的邊與角、三角形形狀的判斷等.教學(xué)過程：基礎(chǔ)梳理一、正、余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容 變形形式a ，b ，c ；sinA ，sinB ，sinC ；(其中R是ABC外接圓半徑) abcasinBbsinA，bsinCcsinB，asinCcsinA.cosA ；cosB ；cosC .解決的問題已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角

2、.已知三邊，求各角；已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.二、三角形常用面積公式 1.Sa·ha(ha表示邊a上的高)；2.Sabsin C ；3.Sr(abc)(r為內(nèi)切圓半徑雙基自測1(教材習(xí)題改編)在ABC中，A60°，a4，b4，則B () A45°或135°B135° C45° D60°2在ABC中，a，b1，c2，則A等于 () A30° B45° C60° D75°3在ABC中，若a18，b24，A45°，則此三角形有 ()A無解 B兩解C一解 D解的個數(shù)

3、不確定4(2011·北京高考)在ABC中，若b5，B，sin A，則a_.5(2011·新課標(biāo)全國卷)ABC中，B120°，AC7，AB5，則ABC的面積為_關(guān)鍵點點撥：在ABC中，已知a、b和A時，解的情況如下A為銳角A為鈍角或直角圖形  關(guān)系式absin Absin Aabababab解的個數(shù)一解兩解一解一解無解典例分析考點一：利用正弦、余弦定理解三角形例1(2011·遼寧高考)ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asin Asin Bbcos2Aa.(1)求；(2)若c2b2a2，求B.變式11.本例條件不變，求

4、角A.變式2(2012·長沙模擬)在ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c， 已知A，a，b1，則c等于 () A1B2 C.1 D.(1)應(yīng)熟練掌握正、余弦定理及其變形解三角形時，有時可用正弦定理，也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個 定理更方便、簡捷(2)已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的； 已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷.考點二：利用正余弦定理判斷三角形的形狀 例2(2010·遼寧高考)在ABC中a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1

5、)求A的大小；(2)若sin Bsin C1，試判斷ABC的形狀變式3ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a， b，c，若，則ABC一定是 () A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等邊三角形依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時，主要有如下兩種方法1利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀；2利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應(yīng)用ABC這個結(jié)論注意：在上述兩種方法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項提取公因式，以免漏

6、解.考點三：與三角形面積有關(guān)的問題例3(2011·山東高考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若cos B，b2，求ABC的面積S.1利用正弦定理可以實現(xiàn)三角形中的邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化；2除了常用兩邊及其夾角正弦值的乘積的一半面積公式外還有 Sp·r(p是周長的一半，即p ，r為內(nèi)切圓半徑)； S(R為外接圓半徑)考題范例能(2011·浙江高考)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知sin Asin Cpsin B(pR)，且acb2.(1)當(dāng)p，b1時，求a，c的值；(2)若角B為銳角，求p的取值范圍解：(1)

7、由題設(shè)并利用正弦定理，得 解得或(2)由余弦定理，得b2a2c22accos B(ac)22ac2accos Bp2b2b2b2cos B， 即p2cos B，因為0cos B1，得p2.由題設(shè)知p0，所以p.(12)一條規(guī)律在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在ABC中，ABabsin Asin B.兩類問題在解三角形時，正弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩角及任一邊，求其它邊或角；(2)已知兩邊及一邊的對角，求其它邊或角情況(2)中結(jié)果可能有一解、兩解、無解，應(yīng)注意區(qū)分余弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩邊及夾角求第三邊和其他兩角；(2)已知三邊

8、，求各角兩種途徑根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實施邊、角轉(zhuǎn)換本節(jié)檢測1在ABC中，a、b分別是角A、B所對的邊，條件“a<b”是使“cos A>cos B”成立的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件2在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a，b(>0)，A45°，則滿足此條件的三角形個數(shù)是()A0 B1 C2 D無數(shù)個3已知圓的半徑為4，a、b、c為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，若abc16，則三角形的面積為()A2 B8 C. D.4在ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c.若C120°，ca，則()Aa>b Ba<bCab Da與b的大小關(guān)系不能確定5ABC中，AB，AC1，B30°，則ABC的