概率論基礎導數(shù)概念筆記

1、一、導數(shù)概念（）10定義 左導數(shù)右導數(shù) 可以證明：可導連續(xù)。即可導是連續(xù)的充分條件。 連續(xù)是可導的必要條件。1 / 2220導數(shù)的幾何意義曲線在點處切線： 例1：討論在x=0處可導性解： 在x = 0連續(xù)不存在 在x = 0不可導例2：已知存在則 例3：設函數(shù)可微， 則例4：P63 例2-5 設 為使在x = x0 處可導，應如何選取常數(shù)a、b解：首先必須在x0連續(xù) （由得）存在 從而例5： = x (x-1)(x-2)(x-9) , 則 例6：設在x = 0 領域內連續(xù)， 則 （分母0） 例7：設函數(shù) f (1+x) = a f ( x ) ， 且 (a , b 0)， 問 存在否?解： 二

2、、導數(shù)的求法 10 顯函數(shù)導數(shù)求一個顯函數(shù)的導數(shù)需解決： 基本初等函數(shù)導數(shù)(P64); 導數(shù)四則運算法則(P65); 復合函數(shù)與反函數(shù)求導法則(P66)。定理：在X有導數(shù)，在對應點u有導數(shù)，則復合函數(shù)在X處也有導數(shù)，。例1：求解： 例2：求解： 例3：求解： 例4：求解： 例5：求解： 例6：求解： 例7：求解： 例8： 求解： 例9：求解： 高階導數(shù)、二階： 例10：， 求解： 先講微分（后頁）20 隱函數(shù)導數(shù)參數(shù)方程導數(shù) 如方程F(x，y)=0確定了y=y(x)，只需方程兩邊對x求導，注意y=y(x)例10：求下列隱函數(shù)的導數(shù)（1）設求解： 方程兩邊對x求導， （2）設是由方程所確定的隱函

3、數(shù)， 求解： 由原方程知當x=0時， 方程兩邊對x求導。 ，將x=0，代入得：(3) 是由方程所確定的隱函數(shù), 試求,。解: 方程兩邊對x求導： 方程兩邊再對x求導： 由原方程知，當時，代入得再將，代入式，得(4) 設求解： (5) 設是由方程組所確定的函數(shù)，求：。解： (6) P90習題1330 分段函數(shù)的導數(shù)1) 設求：解：當 不存在，故 高階導數(shù)（n階）略， 例 2) 設在（）上具有二階連續(xù)導數(shù)，且，對函數(shù) (1) 確定的值，使在（）上連續(xù)(2) 對（1）中確定的，證明在（）上 一階導數(shù)連續(xù)解： 即當 在連續(xù)， 也就是在（）連續(xù) 而在連續(xù),即在連續(xù)三、 微分 一階微分形式不變 （自變量） 如 (中間變量)例： ， ， 可導 可微三、中值定理，泰勒公式（放入泰勒級數(shù)中講）1 羅爾定理如滿足：（1）在連續(xù). （2）在可導. （3） 則至少存在一點 使例 設，則 在區(qū)間（-1，0）內，方程 有2個實根；在（-1，1）內有2個根例 設在0，1可導，且， 證明存在，使。證： 設在a,b可導， 存在使 即例 設在0，1可導，且, 證明存在 。解: 設，且 由羅爾定理 存在 使 即， 亦即例 P91 習題29 設2、 拉格朗日中值定理如滿足：在a,b連續(xù)；在（a,b）連續(xù)，則存在使。推論： 如果在區(qū)間I上，則 如果在區(qū)間I上， 在單增（減）例對任意滿足的x， 都