空間向量與空間角練習題

1、課時作業(yè)(二十)一、選擇題1若異面直線l1的方向向量與l2的方向向量的夾角為150，則l1與l2所成的角為()A30 B150C30或150 D以上均不對【解析】l1與l2所成的角與其方向向量的夾角相等或互補，且異面直線所成角的范圍為.應選A.【答案】A2已知A(0,1,1)，B(2，1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，則直線AB與直線CD所成角的余弦值為()A. BC. D【解析】(2，2，1)，(2，3，3)，cos，直線AB、CD所成角的余弦值為.【答案】A3正方形ABCD所在平面外一點P，PA平面ABCD，若PAAB，則平面PAB與平面PCD的夾角為()A30 B45 C60

2、 D90【解析】如圖所示，建立空間直角坐標系，設PAAB1.則A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)于是(0,1,0)取PD中點為E，則E，易知是平面PAB的法向量，是平面PCD的法向量，cos，平面PAB與平面PCD的夾角為45.【答案】B4(2014陜西師大附中高二檢測)如圖3229，在空間直角坐標系Dxyz中，四棱柱ABCDA1B1C1D1為長方體，AA1AB2AD，點E、F分別為C1D1、A1B的中點，則二面角B1A1BE的余弦值為()圖3229A B C. D.【解析】設AD1，則A1(1,0,2)，B(1,2,0)，因為E、F分別為C1D1、A1B的中點，所以E(0,

3、1,2)，F(xiàn)(1,1,1)，所以(1,1,0)，(0,2，2)，設m(x，y，z)是平面A1BE的法向量，則所以所以取x1，則yz1，所以平面A1BE的一個法向量為m(1,1,1)，又DA平面A1B1B，所以(1,0,0)是平面A1B1B的一個法向量，所以cosm，又二面角B1A1BE為銳二面角，所以二面角B1A1BE的余弦值為，故選C.【答案】C二、填空題5棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別為A1B1、BB1的中點，則異面直線AM與CN所成角的余弦值是_【解析】依題意，建立如圖所示的坐標系，則A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N，cos，故異面直線AM與CN所成角的

4、余弦值為.【答案】6(2014臨沂高二檢測)在空間直角坐標系Oxyz中，已知A(1，2,0)、B(2,1，)，則向量與平面xOz的法向量的夾角的正弦值為_【解析】設平面xOz的法向量為n(0，t,0)(t0)，(1,3，)，所以cosn，因為n，0，所以sinn，.【答案】7已知點E，F(xiàn)分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，則平面AEF與平面ABC所成的二面角的正切值等于_【解析】如圖，建立空間直角坐標系設正方體的棱長為1，平面ABC的法向量為n1(0,0,1)，平面AEF的法向量為n2(x，y，z)所以A(1,0,0)，E，F(xiàn)，所以，則即取x

5、1，則y1，z3.故n2(1，1,3)所以cosn1，n2.所以平面AEF與平面ABC所成的二面角的平面角滿足cos ，sin ，所以tan .【答案】三、解答題8. 如圖3230所示，在四面體ABCD中，O，E分別是BD，BC的中點，CACBCDBD2，ABAD.圖3230(1)求證：AO平面BCD；(2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值【解】(1)證明：連結OC，由題意知BODO，ABAD，AOBD.又BODO，BCCD，COBD.在AOC中，由已知可得AO1，CO，又AC2，AO2CO2AC2，AOC90，即AOOC.BDOCO，AO平面BCD.(2)以O為坐標原點建立空間直角坐標系，

6、則B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0，0)，A(0,0,1)，E，(1,0,1)，(1，0)，cos，.異面直線AB與CD所成角的余弦值為.9四棱錐PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，點E在棱PB上(1)求證：平面AEC平面PDB；(2)當PDAB且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成的角的大小【解】如圖，以D為原點建立空間直角坐標系Dxyz，設ABa，PDh，則A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)，(1)(a，a,0)，(0,0，h)，(a，a,0)，0，0，ACDP，ACDB，又DPDBD，AC平面PDB，又AC平面A

7、EC，平面AEC平面PDB.(2)當PDAB且E為PB的中點時，P(0,0，a)，E，設ACBDO，O，連結OE，由(1)知AC平面PDB于O，AEO為AE與平面PDB所成的角，cosAEO，AEO45，即AE與平面PDB所成的角的大小為45.1已知在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA12，E是側棱BB1的中點，則直線AE與平面A1ED1所成角的大小為()A60 B90C45 D以上都不對【解析】以點D為原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，如圖由題意知，A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)，所以(0

8、,1，1)，(1,1，1)，(0，1，1)設平面A1ED1的一個法向量為n(x，y，z)，則令z1，得y1，x0，所以n(0,1,1)，cosn，1.所以n，180.所以直線AE與平面A1ED1所成的角為90.【答案】B2在空間中，已知平面過(3,0,0)和(0,4,0)及z軸上一點(0,0，a)(a0)，如果平面與平面xOy的夾角為45，則a_.【解析】平面xOy的法向量為n(0,0,1)，設平面的法向量為u(x，y，z)，則即3x4yaz，取z1，則u.而cosn，u，又a0，a.【答案】3. 三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為()圖3231

9、A. B.C. D.【解析】不妨設CACC12CB2，則(2,2,1)，(0，2,1)，所以cos，.因為直線BC1與直線AB1夾角為銳角，所以所求角的余弦值為.【答案】A4. 如圖，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，點D是BC的中點圖3232(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值【解】(1)以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4) ，C1(0,2,4)，所以(2,0，4)，(1，1，4). 因為cos，所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為.(2)設平面ADC1的法向量為n1(x，y，z)，因為(1,1,0)，(0,2,4)