機(jī)械振動——簡諧運動的基本概念

1、簡諧運動，它是一個理想化的模型。在一切振動中，最簡單和最根本的振動稱為簡諧運動，其運動量按正弦函 數(shù)或余弦函數(shù)的規(guī)律隨時間變化。任何復(fù)雜的運動都可以看成是假設(shè)干簡諧運 動的合成。本節(jié)以彈簧振子為例討論簡諧運動的特征及其運動規(guī)律。一、簡諧運動的根本概念：1彈簧振子：輕質(zhì)彈簧質(zhì)量不計一端固定， 另一端系一質(zhì)量為 m的物體，置于光 滑的水平面上。物體所受的阻力忽略 不計。設(shè)在 0點彈簧沒有形變，此處 物體所受的合力為零，稱 0點為平衡 位置。系統(tǒng)一經(jīng)觸發(fā)，就繞平衡位置 作來回往復(fù)的周期性運動。這樣的運 動系統(tǒng)叫做彈簧振子harm on ic Oscillator2 彈簧振子運動的定性分析：0點，加速

2、度為零，速度最大; C點，加速度最大，速度為零;0點，加速度為零，速度最大; B點，加速度最大，速度為零?？紤]物體的慣性和作用在物體上的彈性力:B t O彈性力向左，加速度向左，加速， 0 t C:彈性力向右，加速度向右，減速， C t O彈性力向右，加速度向右，加速， 0 t B：彈性力向左，加速度向左，減速， 物體在B、C之間來回往復(fù)運動。結(jié)論：物體作簡諧運動的條件：物體的慣性一一阻止系統(tǒng)停留在平衡位置 作用在物體上的彈性力一一驅(qū)使系統(tǒng)回復(fù)到平衡位置二、彈簧振子的動力學(xué)特征：1線性回復(fù)力分析彈簧振子的受力情況。取平衡位置0點為坐標(biāo)原點，水平向右為X軸IZvVVVW的正方向。由胡克定律可知，

3、物體m 可視為質(zhì)點在坐標(biāo)為x 即相對于0點的 位移的位置時所受彈簧的作用力 為f=-kx式中的比例系數(shù)k為彈簧的勁度系數(shù)Stiffness，它反映彈簧的固 有性質(zhì)，負(fù)號表示力的方向與位移 的方向相反，它是始終指向平衡位置的。離平衡位置越遠(yuǎn)，力越大；在平衡位 置力為零，物體由于慣性繼續(xù)運動。這種始終指向平衡位置的力稱為回復(fù)力。2 動力學(xué)方程及其解 根據(jù)牛頓第二定律，f=ma可得物體的加速度為fkaxmm對于給定的彈簧振子,2 km機(jī)械振動簡諧振動的根本概念 m和k均為正值常量，令那么上式可以改寫為 a2xd2xd2x .dt22x = 0這就是簡諧運動的微分方程。三、簡諧運動的運動學(xué)特征：1簡諧

4、振動的表達(dá)式運動學(xué)方程簡諧運動的微分方程的解具有正弦、余弦函數(shù)或指數(shù)形式。我們采用余弦 函數(shù)形式，即x A cos( t )這就是簡諧運動的運動學(xué)方程，式中A和$是積分常數(shù)。只有正弦函數(shù)、余弦函數(shù)或說明：1簡諧運動不僅是周期性的，而且是有界的,它們的組合才具有這種性質(zhì)，這里我們采用余弦函數(shù)。2考慮三角函數(shù)與復(fù)數(shù)的關(guān)系 ei 復(fù)數(shù)表示簡諧運動，其優(yōu)點是運算比擬簡單。cos i sin ，貝U xAei( t 。用減速 加速 減速 加速t2 簡諧振動物體的速度和加速度 將簡諧運動的運動學(xué)方程分別對 時間求一階和二階導(dǎo)數(shù)，可得簡諧運 動的速度和加速度為a說明：Asi n( t )2A cos( t

5、)dx dt d2x dt2物體在簡諧運動時，其位移、速度、加速度都是周期性變化的。簡諧運動不僅是周期性的，而且是有界的一一只有正弦函數(shù)、余弦函數(shù)或它們的組合才具有這種性質(zhì)一一采用余弦函數(shù)。二、簡諧運動的特點：1從受力角度來看動力學(xué)特征合外力f=-kx與物體相對于平衡位置的位移成正比，方向與位移的方向相 反，并且總是指向平衡位置的。此合外力又稱為線形回復(fù)力或準(zhǔn)彈性力。2. 從加速度角度來看一一運動學(xué)特征加速度a2x與物體相對于平衡位置的位移成正比，方向與位移的方向相反，并且總是指向平衡位置的。3. 從位移角度來看：位移x Acos( t)是時間的周期性函數(shù)。說明：1要證明一個物體是否作簡諧運動

6、，只要證明上面三個式子中的一個即可，且由其中的一個可以推出另外兩個；2要證明一個物體是否作簡諧運動最簡單的方法就是受力方析，得到物體所受的合外力滿足回復(fù)力的關(guān)系。例題：一個輕質(zhì)彈簧豎直懸掛，下端掛一質(zhì)量為m的物體。今將物體向下拉一段距離后再放開，證明物體將作簡諧運動。證明：取物體平衡位置為坐標(biāo)原點，豎直向下為x軸的正方向，如下列圖。物體在平衡位置時所受的合力為零，即mg-kl=O(1)其中mg為物體的重力，I為物體平衡時彈簧的伸長量。在任一位置x處，物體所受的合力為F=mg-k(x+l)(2)比擬、(2)可得F=-kx(3)可見物體所受的合外力與位移成正比，而方向相反，所以該物體將作簡諧運動。

7、簡諧運動的振幅、周期和相位Amplitude , Period and Frequency, Phase of Simple harmonic Vibration現(xiàn)在我們討論簡諧振動運動學(xué)方程x=Acos( 31+ $中的A、3、31+ $ $的物理意義。它們分別是描述諧振動的特征量：振幅、頻率和周期、相位和初相。振幅、周期和相位等都是描述簡諧運動的物理量。一、振幅A(Amplitude)反映振動幅度的大小引入：在簡諧運動的表達(dá)式中，因為余弦或正弦函數(shù)的絕對值不能大于1,所以物體的振動范圍為 +A與-A之間。定義：作簡諧運動的物體離開平衡位置的最大位移的絕對值。說明：(1)A恒為正值，單位為米

8、(m);(2)振幅的大小與振動系統(tǒng)的能量有關(guān)，由系統(tǒng)的初始條件確定。二、周期T(Period)與頻率(Frequency)反映振動的快慢1 .周期 Period定義：物體作一次完全振動所需的時間，用T表示，單位為秒(s)。x Acos( t ) Acos (t T) 考慮到余弦函數(shù)的周期性，有T = 2廠十亠2因而有T 2. 頻率 Frequency定義：單位時間內(nèi)物體所作的完全振動的次數(shù)，用v表示，單位為赫茲(Hz)。13. 圓頻率 Angular Frequency定義：物體在2n秒時間內(nèi)所作的完全振動的次數(shù)，用3表示，單位為弧度 (rad. s-1 或 s-1)。說明:1簡諧運動的根本特

9、性是它的周期性；O2周期、頻率或圓頻率均有振動系統(tǒng)本身的性質(zhì)所決定，故稱之為固有周期、 固有頻率或固有圓頻率。3對于彈簧振子,km，4簡諧運動的表達(dá)式可以表示為x A cos( t)Acos(2 tT)Acos(2 t )、相位(Phase)反映振動的狀態(tài)1.相位質(zhì)點在某一時刻的運動狀態(tài)可以用該時刻的位置和速度來描述。對于作簡諧運動的物體來說，位置和速度分別為 x=Acos( t+ )和v=- 3 Asin( t+ ),當(dāng)振 幅A和圓頻率3給定時，物體在t時刻的位置和速度完全由 t+來確定。即t+ 是確定簡諧運動狀態(tài)的物理量，稱之為相位。相位wt+ 0是決定諧振子運動狀態(tài)的重要物理量3 t+右

10、和A, 3 起決定t時刻物體運動狀態(tài)，即位移X,速度V,和加速度a.在一次全振動中，諧振子有不同的運動狀態(tài)，分別與02內(nèi)的一個相位值對應(yīng)。例如：tXVt+0A0T/4AT/2ATA022 初相位在t=0時，相位為 0稱為初相位，簡稱初相，它是決定初始時刻物體運 動狀態(tài)的物理量。對于一個簡諧運動來說，開始計時的時刻不同，初始狀態(tài)就 不同，與之對應(yīng)的初相位就不同，即初相位與時間零點的選擇有關(guān)。結(jié)論：對于一個簡諧運動，假設(shè)A、3、$，就可以寫出完整的運動方程，即掌握了該運動的全部信息。因此，我們把A、3、$叫做描述簡諧運動的三個特征量。3.相位差：定義：兩個振動在同一時刻的相位之差或同一振動在不同時

11、刻的相位之差。對于同頻率簡諧運動、同時刻的相位差X1A, cos( t1)X2A cos( t2)相位差=(t2 ) ( t 1 ) 2 1即兩個同頻率的簡諧運動在任意時刻的相位差是恒定的。且始終等于它們的初 始相位差。說明：10 質(zhì)點2的振動超前質(zhì)點1的振動0 質(zhì)點2的振動落后質(zhì)點1的振動22k ,k 0,1,2,., 同相步調(diào)相同(2k1) ,k 0,1,2,., 反相步調(diào)相反小結(jié)：對于一個簡諧運動，假設(shè)振幅、周期和初相位，就可以寫出完整的 運動方程，即掌握了該運動的全部信息，因此我們把振幅、周期和初相位叫做 描述簡諧運動的三個特征量。四、積分常數(shù)A和$確實定：簡諧運動運動學(xué)方程為x=Ac

12、os( t+ )其中圓頻率是由系統(tǒng)本身的性質(zhì)確定的，積分常數(shù)A和$是求解簡諧運動的微分方程是引入的，其值有初始條件即在t=0時物體的位移與速度來確定。將t=0代入位移和速度的公式，即得物體在初始時刻的位移X0和初速度V0：x0 Acosv0A sin由此可解得A= X02V。+tgV0X0說明：1一般來說$的取值在一n和n(或0和2n )之間;2在應(yīng)用上面的式子求$時，一般來說有兩個值，還要有初始條件來判斷應(yīng)該取哪個值；3常用方法：由A =i就Vo 求A，然后由Vo局部求$例1 :一彈簧振子系統(tǒng)，彈簧的勁度系數(shù)為 k=0.72N/m , 今將物體從平衡位置沿桌面向右拉長到處釋放。求振動方程。A cos,兩者的共同A sin物體的質(zhì)量為m=20g。解：要確定彈簧振子系統(tǒng)的振動方程，只要確定A、3和$即可。由題可知，k=0.72N/m , m=20g= , xo=, vo= 0,0.72.0.026rad s0.04m代入公式可得''又因為X0為正，初速度V0= 0，可得0因而簡諧運動的方程為：x 0.04cos(6t) (m)