z變換與離散時(shí)間系統(tǒng)

1、信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)多媒體教學(xué)課件多媒體教學(xué)課件第七章第七章 Part3內(nèi)容要點(diǎn)內(nèi)容要點(diǎn) z變換的定義和收斂域變換的定義和收斂域單邊單邊z變換及其性質(zhì)變換及其性質(zhì)z逆變換逆變換差分方程的差分方程的z域求解域求解離散時(shí)間離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及其性系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及其性質(zhì)質(zhì)離散時(shí)間離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的框圖表示系統(tǒng)的框圖表示第第7章章 z變換與離散時(shí)間系統(tǒng)變換與離散時(shí)間系統(tǒng)7.0 引言引言7.1 z變換的定義變換的定義7.2 單邊單邊z變換變換作業(yè)一作業(yè)一第第7章章 z變換與離散時(shí)間系統(tǒng)變換與離散時(shí)間系統(tǒng)7.3 z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)7.4 z逆變換逆變換作業(yè)二作業(yè)二第第7章章 z變換與離散時(shí)

2、間系統(tǒng)變換與離散時(shí)間系統(tǒng)7.5 差分方程的差分方程的z域求解域求解7.6 雙邊雙邊z變換變換作業(yè)三作業(yè)三第第7章章 z變換與離散時(shí)間系統(tǒng)變換與離散時(shí)間系統(tǒng)7.7 離散時(shí)間離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及其性質(zhì)其性質(zhì)7.8 LTI系統(tǒng)的框圖表示系統(tǒng)的框圖表示作業(yè)四作業(yè)四7.5 差分方程的差分方程的z域求解域求解利用利用z變換求解差分方程的基本步驟變換求解差分方程的基本步驟v利用單邊利用單邊z變換的移位特性將時(shí)域中變換的移位特性將時(shí)域中的差分方程變換成的差分方程變換成z域中的代數(shù)方程域中的代數(shù)方程v整理方程，求得響應(yīng)的整理方程，求得響應(yīng)的z域表達(dá)式域表達(dá)式Y(jié)(z)v求輸入信號(hào)的單邊求

3、輸入信號(hào)的單邊z變換變換X(z)并代入并代入Y(z)表達(dá)式表達(dá)式v通過(guò)通過(guò)z逆變換求得時(shí)域解逆變換求得時(shí)域解yn7.5 差分方程的差分方程的z域域求解【例【例7-26】 已知已知系統(tǒng)的差分系統(tǒng)的差分方程，方程，其起始狀態(tài)其起始狀態(tài)y-1=2, y-2=4。 求當(dāng)求當(dāng)輸入輸入xn=un時(shí)時(shí)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和完全響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和完全響應(yīng)v解：利用時(shí)移解：利用時(shí)移(右移右移)性質(zhì)，對(duì)方程兩邊性質(zhì)，對(duì)方程兩邊作單邊作單邊z變換，可得變換，可得 13261 165nxnxnynynyzxzXzzXzyzyzYzzyzYzzY 1)(3)( 12)(61 1)(65)(122

4、17.5 差分方程的差分方程的z域求解域求解【例【例7-26】 (續(xù)續(xù))v整理得整理得v將起始狀態(tài)和輸入的將起始狀態(tài)和輸入的z變換代入得變換代入得)(616513161651 161261 165)(211211zXzzzzzzyyyzY)1 (31121131311211311)(1111111zzzzzzzzYYziz Yzsz 163182115) 1(31213)(23zszzzzzzzzzzzzY7.5 差分方程的差分方程的z域求解域求解【例【例7-26】 (續(xù)續(xù))v部分分式分解，并求部分分式分解，并求IZT，分別得分別得v系統(tǒng)的完全響應(yīng)為系統(tǒng)的完全響應(yīng)為212111)(1zizzz

5、zY21zinunyn63182115zsnunynn63182116zszinunynynynn7.5 差分方程的差分方程的z域求解域求解【例【例7-27】已知系統(tǒng)的差分方程已知系統(tǒng)的差分方程，當(dāng)輸當(dāng)輸入入xn=4un，且且y0=6, y1=5時(shí)，求系時(shí)，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)統(tǒng)的完全響應(yīng)(標(biāo)明零輸入、零狀態(tài)響應(yīng)標(biāo)明零輸入、零狀態(tài)響應(yīng)，自由、強(qiáng)迫響應(yīng)，穩(wěn)態(tài)、暫態(tài)響應(yīng)，自由、強(qiáng)迫響應(yīng)，穩(wěn)態(tài)、暫態(tài)響應(yīng))v解：將后向差分方程改寫(xiě)為前向差分方程解：將后向差分方程改寫(xiě)為前向差分方程261 161nxnynyny261 1612nxnynynyo利用時(shí)移利用時(shí)移(左移左移)性質(zhì)，作單邊性質(zhì)，作單邊z變換得變換

6、得 1212 1 0)()(610)(61 1 0)(zxxzXzzYyzYzzyyzYz7.5 差分方程的差分方程的z域域求解【例【例7-27】(續(xù)續(xù))v整理，得整理，得v代入已知的邊界條件，進(jìn)一步整理得代入已知的邊界條件，進(jìn)一步整理得6161 1 0)(6161061 1 0)(22222zzzxxzzXzzzzyzyyzzY) 1)(6161(4616126161)(61612)(23222222zzzzzzzzzzXzzzzzYYziz? Yzsz? Yziz Yzsz 7.5 差分方程的差分方程的z域域求解【例【例7-27】 (續(xù)續(xù))v部分分式分解，并求部分分式分解，并求IZT，得得

7、v全響應(yīng)為全響應(yīng)為31542156)(zizzzzzY16315221512)(zszzzzzzzY31542156zinunynn6315221512zsnunynn631562156zszinunynynynnBack7.6 雙邊雙邊z變換變換雙邊雙邊z變換的必要性變換的必要性v非因果信號(hào)和系統(tǒng)的問(wèn)題不能用單邊非因果信號(hào)和系統(tǒng)的問(wèn)題不能用單邊z變換來(lái)討論變換來(lái)討論應(yīng)用雙邊應(yīng)用雙邊z變換要注意的問(wèn)題變換要注意的問(wèn)題v收斂域收斂域7.6 雙邊雙邊z變換變換收斂域特性收斂域特性雙邊雙邊z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)雙邊雙邊z逆變換逆變換 Back7.6.1 收斂域特性收斂域特性性質(zhì)性質(zhì)1：ROC內(nèi)不能包

8、含任何極點(diǎn)內(nèi)不能包含任何極點(diǎn)v如果在收斂域內(nèi)存在極點(diǎn)，則如果在收斂域內(nèi)存在極點(diǎn)，則X(z)在在該點(diǎn)的值為無(wú)窮大，它就不可能收斂該點(diǎn)的值為無(wú)窮大，它就不可能收斂。這說(shuō)明收斂域是以極點(diǎn)為邊界的。這說(shuō)明收斂域是以極點(diǎn)為邊界的。7.6.1 收斂域特性收斂域特性性質(zhì)性質(zhì)2：X(z)的的ROC為為z平面內(nèi)以原平面內(nèi)以原點(diǎn)為中心的圓環(huán)區(qū)域，有時(shí)圓環(huán)的點(diǎn)為中心的圓環(huán)區(qū)域，有時(shí)圓環(huán)的另一邊界在原點(diǎn)或在無(wú)窮遠(yuǎn)處另一邊界在原點(diǎn)或在無(wú)窮遠(yuǎn)處vX(z)的的ROC僅取決于僅取決于z的模的模|z|=r，而與而與幅角幅角無(wú)關(guān)。因此，無(wú)關(guān)。因此，ROC的邊界必然的邊界必然是以原點(diǎn)為中心的圓是以原點(diǎn)為中心的圓nnnnnnnrnx

9、rnxrnx1eejj7.6.1 收斂域特性收斂域特性性質(zhì)性質(zhì)3：如果如果xn是一個(gè)時(shí)限信號(hào)，是一個(gè)時(shí)限信號(hào)，并且絕對(duì)可和，則并且絕對(duì)可和，則X(z)的的ROC為除為除z=0和和/或或z外的整個(gè)外的整個(gè)z平面平面nNNnznxzX21)(nxnON1.N2.0znxnON1.N2.znxnON1.N2. z02022-2-2618z變換與離散時(shí)間系統(tǒng)變換與離散時(shí)間系統(tǒng)7.6.1 收斂域特性收斂域特性性質(zhì)性質(zhì)4：如果如果xn是一個(gè)雙邊信號(hào)，是一個(gè)雙邊信號(hào)，并且并且X(z)存在，則存在，則X(z)的的ROC一定是一定是由由z平面上以原點(diǎn)為中心的環(huán)狀區(qū)域平面上以原點(diǎn)為中心的環(huán)狀區(qū)域所組成，即滿(mǎn)足所組

10、成，即滿(mǎn)足r1|z|r2v將雙邊信號(hào)分解為反因果信號(hào)將雙邊信號(hào)分解為反因果信號(hào)xnu-n-1和因果信號(hào)和因果信號(hào)xnun兩個(gè)分量，則兩個(gè)分量，則01)(nnnnznxznxzX0101)(nnnnnnnnznxznxznxznxzX2022-2-2619z變換與離散時(shí)間系統(tǒng)變換與離散時(shí)間系統(tǒng)7.6.1 收斂域特性收斂域特性性質(zhì)性質(zhì)4(續(xù)續(xù))v假設(shè)假設(shè)xn為指為指數(shù)階信號(hào)數(shù)階信號(hào)002211nrAnrAnxnn當(dāng)當(dāng)0222111022111)(nnnnnnnnnnnzrrArzAzrAzrAzXo當(dāng)當(dāng)r2|z|r1時(shí)雙邊時(shí)雙邊z變換不存在變換不存在 2022-2-2620z變換與離散時(shí)間系統(tǒng)變換

11、與離散時(shí)間系統(tǒng)7.6.1 收斂域特性收斂域特性性質(zhì)性質(zhì)5：如果如果xn是一個(gè)因果信號(hào)或右邊是一個(gè)因果信號(hào)或右邊信號(hào)，則信號(hào)，則X(z)的的ROC位于以最大極點(diǎn)的位于以最大極點(diǎn)的模為半徑的圓外模為半徑的圓外(可能要除掉無(wú)窮遠(yuǎn)可能要除掉無(wú)窮遠(yuǎn))；若是因果信號(hào)，則包含無(wú)窮遠(yuǎn)若是因果信號(hào)，則包含無(wú)窮遠(yuǎn)性質(zhì)性質(zhì)6：如果：如果xn是一個(gè)反因果信號(hào)或左是一個(gè)反因果信號(hào)或左邊信號(hào)，則邊信號(hào)，則X(z)的的ROC位于以最小極點(diǎn)位于以最小極點(diǎn)的模為半徑的圓內(nèi)的模為半徑的圓內(nèi)(可能不含可能不含z=0)；若是若是反因果信號(hào)，則包含反因果信號(hào)，則包含z=07.6.1 收斂域特性收斂域特性【例【例7-29】 已知已知xn

12、=a|n|, 0a1, 求求雙邊雙邊z變換變換X(z)并標(biāo)明收斂域并標(biāo)明收斂域v解：雙邊指數(shù)信號(hào)解：雙邊指數(shù)信號(hào)xn波形如圖所示波形如圖所示On.1nx7.6.1 收斂域特性收斂域特性【例【例7-29】 (續(xù)續(xù))v將將xn分解為因果和非因果兩部分，分解為因果和非因果兩部分，根據(jù)例根據(jù)例7-1和例和例7-2，它們各自的，它們各自的ZT為為v雙邊指數(shù)信號(hào)雙邊指數(shù)信號(hào)xn的的ZT為為azazznuan,ZT11, 1azazznuaZTnazaazzazzzX1,)(1BackORe(z)Im(z)a0a0)()(ZTzHzXnhnx)()1 ( 11ZTzXznxnxnx7.6.2 雙邊雙邊z變換

13、的性質(zhì)變換的性質(zhì)累加性質(zhì)累加性質(zhì)時(shí)域反轉(zhuǎn)性質(zhì)時(shí)域反轉(zhuǎn)性質(zhì)ROC：Rx |z|1ROC：1/Rx)(1)(111ZT0zXzzzXzkxnkzXnx1ZTBack7.6.3 雙邊雙邊z逆變換逆變換雙邊雙邊z逆變換的求法逆變換的求法v部分分式分解部分分式分解v冪級(jí)數(shù)展開(kāi)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)(長(zhǎng)除法長(zhǎng)除法)v利用已知的變換表利用已知的變換表v利用利用z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)v利用利用z變換收斂域性質(zhì)變換收斂域性質(zhì)7.6.3 雙邊雙邊z逆變換逆變換以以z的多項(xiàng)式之比表示的雙邊的多項(xiàng)式之比表示的雙邊z變換變換v進(jìn)行部分分式展開(kāi)進(jìn)行部分分式展開(kāi)v根據(jù)收斂域確定對(duì)應(yīng)展開(kāi)項(xiàng)的逆變換根據(jù)收斂域確定對(duì)應(yīng)展開(kāi)項(xiàng)的逆變換o極點(diǎn)位

14、于極點(diǎn)位于ROC內(nèi)側(cè)，逆變換為因果信號(hào)內(nèi)側(cè)，逆變換為因果信號(hào)o極點(diǎn)位于極點(diǎn)位于ROC外側(cè)外側(cè)，逆變換為反因果信逆變換為反因果信號(hào)號(hào)iniiiipznupApzzA,ZTiniiiipznupApzzA,1ZT7.6.3 雙邊雙邊z逆變換逆變換【例【例7-32】 已知雙邊已知雙邊z變換，求變換，求z逆變換逆變換xnv解：部分分式展開(kāi)解：部分分式展開(kāi)125)(22zzzzX2342131)(zzzzXvX(z)有兩個(gè)極點(diǎn)，有兩個(gè)極點(diǎn)， ROC有三種可能有三種可能ORe(z)Im(z)0.52ORe(z)Im(z)0.52ORe(z)Im(z)0.527.6.3 雙邊雙邊z逆變換逆變換【例【例7-3

15、2】 (續(xù)續(xù))vROC1: |z|2v兩極點(diǎn)均對(duì)應(yīng)于因果信號(hào)兩極點(diǎn)均對(duì)應(yīng)于因果信號(hào)2342131)(zzzzzX2342131nunxnnORe(z)Im(z)0.527.6.3 雙邊雙邊z逆變換逆變換【例【例7-32】 (續(xù)續(xù))vROC2: 0.5|z|2v極點(diǎn)極點(diǎn)p1=2對(duì)應(yīng)于反因果信號(hào)，極對(duì)應(yīng)于反因果信號(hào)，極點(diǎn)點(diǎn)p2=0.5對(duì)應(yīng)于因果信號(hào)對(duì)應(yīng)于因果信號(hào)2342131)(zzzzzX 12342131nununxnnORe(z)Im(z)0.527.6.3 雙邊雙邊z逆變換逆變換【例【例7-32】 (續(xù)續(xù))vROC3: |z|0.5v兩極點(diǎn)均對(duì)應(yīng)于反因果信號(hào)兩極點(diǎn)均對(duì)應(yīng)于反因果信號(hào)2342

16、131)(zzzzzX 12342131nunxnnORe(z)Im(z)0.527.6.3 雙邊雙邊z逆變換逆變換【例【例7-33】已知】已知xn的雙邊的雙邊z變換，且信號(hào)變換，且信號(hào)0.5nx-n的的傅里葉變換存在，求傅里葉變換存在，求xnv解：部分分式展開(kāi)解：部分分式展開(kāi)) 3(31) 1()(zzzzzX3433141)(zzzzzXvX(z)有二個(gè)單極點(diǎn)，其有二個(gè)單極點(diǎn)，其ROC有三種可能性有三種可能性v信號(hào)信號(hào)0.5nx-n存在傅里變換，存在傅里變換，X(z-1/2)的的ROC一定包含單位圓一定包含單位圓，因此因此X(z)的的ROC必必定包含定包含|z|=0.5，即其即其ROC為為1/3 |z|0.5，求求xnv解法