洛必達(dá)法則解決問題

1、法那么1假設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)滿足以下條件:(1)lim f xx a0 及 lim g x 0 ；x a(2)在點a的去心鄰域內(nèi)，f(x) 與g(x)可導(dǎo)且g'(x)工o；f x(3) liml ,x a g xf xf x那么 lim=liml。x a g x x a g x法那么2假設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)滿足以下條件:(1)lim f xx0 及 lim g x 0 ；x AaO, f(x)和g(x)在 ,A與 A, 上可導(dǎo)，且g'(x)豐0；f xf xf xliml,那么lim=liml。x g xx g xx g x法那么3假設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)滿足以下條

2、件:(1)lim f xx a及 lim g xx a(2)在點a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與 g(x)可導(dǎo)且g'(x)工0；fxf xfx(3) liml,那么lim一liml。x a gxx ag xx a gx利用洛必達(dá)法那么求未定式的極限是微分學(xué)中的重點之一，在解題中應(yīng)注意: 將上面公式中的 XT a, XT8換成 XT +8, XT - 8, x a , x a 洛必達(dá)法那么也成立。0 0 0 洛必達(dá)法那么可處理 0, - , o , i ,0, o，型。在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足°, - , o , i ,0, °。,型定式，否那么濫用洛必達(dá)法那么

3、會出錯。當(dāng)不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達(dá)法那么，這時稱洛必達(dá)法那么不 適用，應(yīng)從另外途徑求極限。假設(shè)條件符合，洛必達(dá)法那么可連續(xù)屢次使用，直到求出極限為止。高考題處理x21.(2022年全國新課標(biāo)理)設(shè)函數(shù)f (x) e 1 x ax °(1) 假設(shè)a 0,求f (x)的單調(diào)區(qū)間;(2)假設(shè)當(dāng)x 0時f (x) 0 ,求a的取值范圍原解：1a 0 時，f (x) ex 1 x, f '(x) ex 1.當(dāng) x (,0)時，f'(x)0 ;當(dāng) x (0,)時，f'(x)0 .故 f(x)在(，0)單調(diào)減少，在 (0,)單調(diào)增加IIf'(x) ex

4、1 2ax由I丨知ex 1 x，當(dāng)且僅當(dāng)x 0f '(x) x 2ax (1 2a)x,1從而當(dāng) 1 2a 0,即 a 時，f'(x)0 (x 0)，而 f (0)0,2于是當(dāng)x 0時，f(x) 0.XX1由e 1 x(x0)可得e 1x(x 0).從而當(dāng)a時，2f '(x) ex1 2a(ex 1)e x(ex 1)(ex2a)，故當(dāng) x (0,ln 2a)時，f '(x)0，而 f (0)0，于是當(dāng) x (0,ln 2a)時，f(x) 0.綜合得a的取值范圍為1，2原解在處理第II時較難想到,現(xiàn)利用洛必達(dá)法那么處理如下:0，對任意實數(shù)a,均在f (x)當(dāng)x0

5、時，f (x)0等價于a e2 x21XxX令geXx21(x>0),那么 g (x)xe2xxXX那么hx Xe e 1， h xxe0，知hX在0,上為增函數(shù)，hXh xh 00 ；g X0，g(x)在0,x x 1X由洛必達(dá)法那么知，X 1lim e 2x 0XlimX 0e2x故a1另解：II當(dāng)x 0時，f (x)x上為增函數(shù)。2h 00 ；知 hxe 1 嘰專2，xx 2XS 令3xxxXe2ex 2 x 0在0, 上為增函數(shù)，綜上，知a的取值范圍為1 。J22.2022年全國新課標(biāo)理函數(shù)，曲線y f(x)在點(1,f(1)處的切線方程為x 2y 3I求a、b的值;n如果當(dāng)x

6、0 ,且x1時,f (x)ln xx 1k一，求k的取值范圍。x2原解：I f'(x)ln x) (x 1)'由于直線x 2y0的斜率為1，且過點2f(1)(1,1),故1,1,f'(1)解得an由I知 f(x)ln xx 11丄，所以x考慮函數(shù)i設(shè) k 0 ,當(dāng) x (0,1)時,f(x)(ln xx-)x(2ln x xh(x) 2ln x由 h'(x)(k2地(x 0),xk(x21) (x 1)2 知，當(dāng)那么 h'(x)2(k 1)(x2 1) 2x。1 時，h'(x)h(x) 0,1當(dāng)x 1, +丨時，hx<0，可得一鼻1 x2h

7、 x >0x2遞減。而h(1)從而當(dāng)x>0,且x 1時，fx-xlnx+. >0，即 fx>1 xxln x k _ + 1 x2ii 丨設(shè) 0<k<1.由于(k 1)(x21) 2x = (k 1)x 2x k 1的圖像開口向下，且2 14 4(k 1)20，對稱軸 x=1 當(dāng) x1 k1,時，k-1 x2+1+2x0,故 h1 kX0,而h 1=0,故當(dāng)x1, 1時,h x1 kiii丨設(shè)k 1此時x21 2x,(k1)(x2+丨時，hx0，可得p hx0,與題設(shè)矛盾。1 x10,可得 2 hX0,與題設(shè)矛盾。1 x1) 2x 0 hx0,而 h 1=0

8、，故當(dāng) x 1,綜合得，k的取值范圍為-，0原解在處理第II時非常難想到，現(xiàn)利用洛必達(dá)法那么處理如下:另解：II丨由題設(shè)可得，當(dāng)x 0,x1時，k 2xlnx 1恒成立。1 x2令 g (x)=2xlnx 1(x 0,x1x21 )，那么x21 In xx221 x2x21 In xx20,x1貝U h x 2xln2ln x1 ，易知x2ln x0,上為增函數(shù)，且0 ；故當(dāng)(0,1)時，h1，+丨時，hh x在0,1上為減函數(shù)，在1, 上為增函數(shù)；故h x h 1 =0h x在0,上為增函數(shù)h 1 =0當(dāng) x (0,1)時，h x 0，當(dāng) x 1, + 丨時，h x 0當(dāng) x (0,1)時，g x 0,當(dāng) x1, + 丨時，g xg x在0,1上為減函數(shù)，在1, 上為增函數(shù)-由洛必達(dá)法那么知li