2.2.1　雙曲線及其標準方程

1、.2.2雙曲線2.2.1雙曲線及其標準方程【選題明細表】知識點、方法題號雙曲線的定義1,2,11雙曲線的標準方程3,4,5與雙曲線定義有關的軌跡問題6,8綜合問題7,9,10,12,13【根底穩(wěn)固】1.M-2,0,N2,0,|PM|-|PN|=4,那么動點P的軌跡是CA雙曲線B雙曲線左支C一條射線D雙曲線右支解析:因為|PM|-|PN|=4=|MN|,所以動點P的軌跡是一條射線.應選C.2.雙曲線x225-y29=1上的點到一個焦點的間隔 為12,那么到另一個焦點的間隔 為AA22或2B7C22 D2解析:因為a2=25,所以a=5.由雙曲線定義可得|PF1|-|PF2|=10,由題意知|PF

2、1|=12,所以|PF1|-|PF2|=10,所以|PF2|=22或2.應選A.3.2019洛陽高二月考方程x21+k-y21-k=1表示雙曲線,那么k的取值范圍是AA-1,1B0,+C0,+D-,-11,+解析:由題意得1+k1-k0,所以k-1k+10,所以-1k1.應選A.4.設動點P到A-5,0的間隔 與它到B5,0間隔 的差等于6,那么P點的軌跡方程是DAx29-y216=1 By29-x216=1Cx29-y216=1x-3Dx29-y216=1x3解析:由題意知,動點P的軌跡應為以A-5,0,B5,0為焦點的雙曲線的右支.由c=5,a=3,知b2=16,所以P點的軌跡方程為x29

3、-y216=1x3.應選D.5.2019大連雙基檢測雙曲線x2m2+12-y24-m2=1的焦距是CA4B22 C8D與m有關解析:因為a2=m2+12,b2=4-m2,c2=a2+b2=16,所以c=4,所以焦距2c=8.應選C.6.2019龍泉驛區(qū)高二月考一動圓P過定點M-4,0,且與圓N:x-42+y2=16相切,那么動圓圓心P的軌跡方程是CAx24-y212=1x2Bx24-y212=1x2Cx24-y212=1 Dy24-x212=1解析:由題知|PN|-|PM|=4,2a=4,2c=8,所以b=23,所以動圓圓心P的軌跡方程為x24-y212=1,應選C.7.F1,F2為雙曲線C:

4、x2-y2=1的左、右焦點,點P在C上,F1PF2=60,那么|PF1|PF2|等于.解析:在PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60=|PF1|-|PF2|2+|PF1|PF2|,即222=22+|PF1|PF2|,解得|PF1|PF2|=4.答案:48.橢圓x2+2y2=32的左、右兩個焦點分別為F1,F2,動點P滿足|PF1|-|PF2|=4.求動點P的軌跡E的方程.解:由橢圓的方程可化為x232+y216=1得|F1F2|=2c=232-16=8,|PF1|-|PF2|=49,所以點P只能在雙曲線的左支上.答案:|PF2|=1712.設

5、有雙曲線x24-y29=1,F1,F2是其兩個焦點,點M在雙曲線上.1假設F1MF2=90,求F1MF2的面積;2假設F1MF2=120,F1MF2的面積是多少?假設F1MF2=60,F1MF2的面積又是多少?3觀察以上計算結果,你能看出隨F1MF2的變化,F1MF2的面積將怎樣變化嗎?試證明你的結論.解:設|MF1|=r1,|MF2|=r2不妨設r1r2,=F1MF2,因為SF1MF2=12r1r2sin =12r1r2,所以只要求r1r2即可,因此考慮到雙曲線定義及余弦定理可求出r1r2.1由雙曲線方程知a=2,b=3,c=13,由雙曲線定義,有|r1-r2|=2a=4,兩邊平方得r12+

6、r22-2r1r2=16,又r12+r22=|F1F2|2,即|F1F2|2-4SF1MF2=16,也即52-16=4SF1MF2,求得SF1MF2=9.2假設F1MF2=120,在MF1F2中,由余弦定理得,|F1F2|2=r12+r22-2r1r2cos 120=r1-r22+3r1r2=52,所以r1r2=12,求得SF1MF2=12r1r2sin 120=33.同理可求得假設F1MF2=60,SF1MF2=93.3由以上結果可見,隨著F1MF2的增大,F1MF2的面積將減小.證明如下:SF1MF2=12r1r2sin .由雙曲線定義及余弦定理,有(r1-r2)2=4a2,r12+r22-2r1r2cos=4c2.-得r1r2=4c2-4a22(1-cos),所以SF1MF2=(c2-a2)sin1-cos=b2cot2.因為0,所以022,在0,2內,cot2是減函數.因此當增大時,SF1MF2=b2cot2減小.【探究創(chuàng)新】13.當0180時,方程x2cos +y2sin =1表示的曲線如何變化?解:1當=0時,方程為x2=1,它表示兩條平行直線x=1.2當090時,方程為x21cos+y21sin=1.當045時,01cos1sin,它表示焦點在y軸上的橢圓.當=45時,它表示圓x2+y2=2.當451sin0,它表示