機(jī)械手直接驅(qū)動的開關(guān)磁阻電動機(jī)的魯棒控制

1、機(jī)械手直接驅(qū)動的開關(guān)磁阻電動機(jī)的魯棒控制 機(jī)械手直接驅(qū)動的開關(guān)磁阻電動機(jī)的魯棒控制曹家勇，陳幼平，詹瓊?cè)A，周祖德(華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 430074) 摘 要：研究了用于機(jī)械手直接驅(qū)動的開關(guān)磁阻電動機(jī)（簡稱SR電動機(jī)）的魯棒控制。提出了一個包含SR電動機(jī)未建模動態(tài)的單臂機(jī)械手?jǐn)?shù)學(xué)模型。模型中的未建模動態(tài)可以采用實(shí)驗(yàn)的方法確定。在該模型基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一個魯棒控制器，它能夠產(chǎn)生一個輔助輸入，抵消模型不確定性對控制系統(tǒng)品質(zhì)的影響。理論分析表明在魯棒控制器的控制之下，系統(tǒng)軌跡跟蹤誤差收斂于零。仿真結(jié)果驗(yàn)證了理論分析的正確性。 關(guān)鍵詞：機(jī)械手；直接驅(qū)動；開關(guān)磁阻電動機(jī)；魯棒控制 機(jī)

2、械手驅(qū)動機(jī)構(gòu)的中間傳動環(huán)節(jié)不僅增加了機(jī)械手結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，提高了成本，而且，大大降低了系統(tǒng)的剛性，增加間隙、摩擦等的諸多非線性因素，給機(jī)械手的驅(qū)動控制帶來了很大的困難，嚴(yán)重影響了系統(tǒng)的整體性能。采用執(zhí)行元件直接驅(qū)動機(jī)械手關(guān)節(jié)是一個有效的解決途徑。在機(jī)械手直接驅(qū)動領(lǐng)域中，傳統(tǒng)的直流電動機(jī)、直流無刷電動機(jī)、開關(guān)磁阻電動機(jī)等均有相關(guān)的研究報(bào)導(dǎo)。其中，開關(guān)磁阻電動機(jī)（以下簡稱SR電動機(jī)）具有結(jié)構(gòu)簡單堅(jiān)固、成本低廉、工作可靠、轉(zhuǎn)矩/慣量比大等優(yōu)點(diǎn)，得到了各國研究人員的廣泛關(guān)注。 SR電動機(jī)的非線性控制和轉(zhuǎn)矩脈動的抑制是擺在各國研究人員面前的兩大問題。最早將SR電動機(jī)應(yīng)用在機(jī)械手直接驅(qū)動場合的是Illic-

3、Spong等人1。他們利用反饋線性化控制理論，輔以一定的導(dǎo)通策略，對SR電動機(jī)非線性模型進(jìn)行了精確線性化，所設(shè)計(jì)的控制器能夠在前一相電流快速衰減的同時，使后一相的電流同步地建立起來，從而成功地抑制了換相期間的轉(zhuǎn)矩脈動。但是精確線性化方法對數(shù)學(xué)模型的精確程度有著較為苛刻的要求，而且所采用的導(dǎo)通策略必然要求有較大的供電電壓與之相適應(yīng)，這是Illic-Spong等所采用方法的缺陷所在。隨后，Amor等在忽略SR電動機(jī)非線性電磁特性基礎(chǔ)上，將反饋線性化方法與自適應(yīng)控制理論結(jié)合，設(shè)計(jì)了SR電動機(jī)直接驅(qū)動機(jī)械手的自適應(yīng)控制器2，但是他們的工作是建立在SR電動機(jī)線性特性假設(shè)的基礎(chǔ)之上的，顯然與SR電動機(jī)的實(shí)

4、際特性有較大的出入。最近，Bortoff和Milman等采用B樣條函數(shù)直接建立了電磁轉(zhuǎn)矩、相電流、轉(zhuǎn)角三者之間的函數(shù)關(guān)系，并推導(dǎo)出全狀態(tài)（Full-state）反饋和基于觀測器(Observer-based)的兩種自適應(yīng)控制算法，對模型中的參數(shù)進(jìn)行在線辨識3,4，其應(yīng)用背景仍然是機(jī)械手直接驅(qū)動。在轉(zhuǎn)矩脈動抑制方面，采用轉(zhuǎn)矩分配函數(shù)（Torque sharing function）的策略。但是，他們工作僅考慮了模型參數(shù)的不確定性，而未考慮干擾及模型結(jié)構(gòu)的不確定性。 從以上分析可知，目前對于直接驅(qū)動機(jī)械手用SR電動機(jī)控制的研究，總是假定SR電動機(jī)具有完全確定或者結(jié)構(gòu)確定的數(shù)學(xué)模型，而未考慮干擾以及

5、無法用參數(shù)表示的未建模動態(tài)對系統(tǒng)性能的影響。實(shí)際上，由于SR電動機(jī)高度的非線性特性，建立一個精確的數(shù)學(xué)模型存在著很大的困難。即使通過各種建模方法建立了一個較為準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型，其計(jì)算的復(fù)雜程度也是控制器難以承受的，同時計(jì)算所消耗的時間也是系統(tǒng)實(shí)時性要求所不允許的。因此，在某種近似數(shù)學(xué)模型（標(biāo)稱模型）基礎(chǔ)上，采用魯棒控制理論，考慮未建模動態(tài)對控制系統(tǒng)性能的影響，設(shè)計(jì)出直接驅(qū)動機(jī)械手用SR電動機(jī)魯棒控制器，是一個很值得研究的發(fā)展方向。2 不確定性非線性數(shù)學(xué)模型 設(shè)計(jì)SR電動機(jī)的魯棒控制器，首先必須建立SR電動機(jī)的近似標(biāo)稱模型，這一模型必須具有計(jì)算簡單的特點(diǎn)，以減輕控制器的運(yùn)算負(fù)擔(dān)。目前，各國學(xué)者已經(jīng)

6、提出了多種SR電動機(jī)近似數(shù)學(xué)模型1,35。其中Bortoff等提出的SR電動機(jī)的轉(zhuǎn)矩模型3,4，能方便地由轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)子位置反求出所需的相電流。本文采用該模型來刻劃SR電動機(jī)每一相的轉(zhuǎn)矩特性。這一模型的表達(dá)式如下：, j=1,2,L (1)式中 tj為j相繞組所產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩；L為電動機(jī)相數(shù)；Nr為轉(zhuǎn)子齒數(shù)；M為B-spline樣條基函數(shù)的數(shù)目；N 為Fourier 基函數(shù)的數(shù)目；apq 為模型參數(shù)(單位是rad/s2)。 上式中，B樣條基函數(shù)均為二次，其第p個B樣條基函數(shù)的表達(dá)式為 (2)式中 d為樣條間隔；B(s) 為規(guī)格化的二次B樣條函數(shù)。即 (3) 觀察式(1)可知，當(dāng)轉(zhuǎn)子不處于對齊（alig

7、ned）和非對齊(unaligned)位置時，式(1)中的正弦項(xiàng)不等于0。此時式(1)為一簡單的關(guān)于相電流ij的二次多項(xiàng)式方程。從而對于任一給定的轉(zhuǎn)矩值，其對應(yīng)的相電流大小，可以通過求解該二次多項(xiàng)式方程得出。具體的計(jì)算方法見文獻(xiàn)3所述。 將各相繞組產(chǎn)生的標(biāo)稱電磁轉(zhuǎn)矩疊加，就得到SR電動機(jī)輸出的總標(biāo)稱電磁轉(zhuǎn)矩。即 (4) 上式中加上未建模動態(tài)部分 ，則可得到電動機(jī)實(shí)際的輸出轉(zhuǎn)矩為 (5) 記 ，SR電動機(jī)機(jī)械部分可由如下微分方程描述： (6) 式中 J為轉(zhuǎn)子和負(fù)載的總轉(zhuǎn)動慣量；x為阻尼系數(shù)；m和l分別為機(jī)械手臂的質(zhì)量和質(zhì)心到關(guān)節(jié)中心的距離；g為重力加速度。3 魯棒控制器設(shè)計(jì) 假設(shè)參考軌跡為 ,具

8、有二階導(dǎo)數(shù) 和 。定義跟蹤誤差為 (7) 首先分析SR電動機(jī)總輸出轉(zhuǎn)矩 中不包含未建模動態(tài)的情況。此時式(5)中 ，令SR電動機(jī)標(biāo)稱轉(zhuǎn)矩 由下式給定， (8)則系統(tǒng)誤差滿足，若a 0，b 0，則位置跟蹤誤差e (t)將收斂于零，系統(tǒng)穩(wěn)定。 但是，實(shí)際系統(tǒng)中總包含有不同程度的未建模動態(tài)，即式(5)中 。為抵消不確定性對系統(tǒng)品質(zhì)的影響，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)魯棒控制的目的，在式(8)中引入輔助控制信號v，即(9) 其中，a 0，b 0，將式(9)代入式(5)，則系統(tǒng)（5）、（6）、（7）滿足 (10) 記 ，則系統(tǒng)（10）可用狀態(tài)方程描述如下： (11)其中， ， 由于A是穩(wěn)定陣，所以對于任意給定的正定陣Q，存

9、在正定解P 0滿足如下李雅普諾夫方程： (12) 定理：若系統(tǒng)不確定性存在上界，即 ， 為正常數(shù)，則當(dāng)輔助控制輸入v由下式給定時， (13) 式(11)零解指數(shù)穩(wěn)定。其中，g 0為給定的充分小的常數(shù)且 ，而l=lq/lp，lq、lp分別為正定陣Q和P的最小和最大特征值。證明：定義二次型正定函數(shù) ，沿閉環(huán)式(11)的軌跡，求其對時間的微分，得 (14)將 ， 代入上式(14)，得 (15) 對所有的不確定性成立。 記 , 且令 。因 且 ,故 ，即 為正定函數(shù)。將 代入式(15)得 (16) 因l=lq/lp，其中l(wèi)q、lp分別為 正定陣Q和P的最小和最大特征值，故l0。 上式完全滿足指數(shù)穩(wěn)定性

10、定理6的條件。所以對于任意有界的不確定性，從任意初始誤差出發(fā)的x(t)均以指數(shù)方式趨近于零。于是命題得證。 上述定理說明，適當(dāng)選擇輔助輸入v，能夠抵消模型不確定性對系統(tǒng)品質(zhì)的影響，保證系統(tǒng)跟蹤誤差收斂于零。4 模型參數(shù)與未建模動態(tài)估計(jì) 標(biāo)稱模型式(1)中包含有一系列的未知參數(shù)，它們可以采用最小二乘逼近的方法離線確定。這一方法是建立在一系列離散的實(shí)測數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上。假設(shè)SR電動機(jī)在幾何結(jié)構(gòu)和電磁特性上完全對稱，則可以任取一相作為模型參數(shù)辨識的對象，在此取第1相。令 (17)(18)且記，則相1的轉(zhuǎn)矩表達(dá)式可表示為： (19) 在靜態(tài)情況下測出一組數(shù)據(jù)點(diǎn) ，其中 ， 。記 ，且記求解正規(guī)方程組 ，即

11、可求出參數(shù)向量的最小二乘估計(jì) 。 單相轉(zhuǎn)矩模型未建模動態(tài)的界限可以將實(shí)測轉(zhuǎn)矩值與模型所求轉(zhuǎn)矩值進(jìn)行比較而得。即 (20) 而合成電磁轉(zhuǎn)矩的未建模動態(tài)與同時導(dǎo)通的相數(shù)有關(guān)，設(shè)同時導(dǎo)通的相數(shù)為n，則合成電磁轉(zhuǎn)矩的未建模動態(tài)界限可由下式估計(jì)： (21)式中 為未建模動態(tài)上界。5 控制系統(tǒng)構(gòu)成及計(jì)算機(jī)仿真 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。其中魯棒控制器根據(jù)期望輸入 和反饋量q 和w實(shí)時計(jì)算出所需電磁轉(zhuǎn)矩 ，其算法如式(9)和式(13)所示。轉(zhuǎn)矩分配單元根據(jù)轉(zhuǎn)矩分配函數(shù)確定電磁轉(zhuǎn)矩由哪幾相產(chǎn)生，且各相產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩的比例關(guān)系。轉(zhuǎn)矩分配的具體方法見文獻(xiàn)3所述。電流計(jì)算單元根據(jù)所擬合的轉(zhuǎn)矩/相電流/轉(zhuǎn)角關(guān)系(1)，求

12、解相應(yīng)的二次方程式，得出所需的期望相電流值。電流跟蹤環(huán)節(jié)控制功率變換器的導(dǎo)通過程，使得各相繞組中的電流準(zhǔn)確的跟蹤指令電流值。 圖1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖 對上述控制系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真，仿真中所采用的各項(xiàng)控制系統(tǒng)參數(shù)值如表1所示。圖2為魯棒控制仿真結(jié)果，其中圖2 (a)所示為機(jī)械手實(shí)際軌跡跟蹤期望軌跡的整個過程，圖2(b)所示為跟蹤誤差收斂于零的變化過程。為了顯示魯棒控制抵消不確定性影響的效果，圖3給出了一般控制（即輔助控制輸入v = 0）作用下的跟蹤誤差仿真曲線，表1 控制系統(tǒng)參數(shù)參數(shù)名參數(shù)值樣條基函數(shù)數(shù)目M3Fourier基函數(shù)階N2B樣條間隔 d0.25ALyapunov Q 矩陣控制器參數(shù)a

13、20.0控制器參數(shù)b25.0控制器參數(shù) b, g0.1, 9機(jī)械手質(zhì)量M1kg 手臂質(zhì)心距離l0.25m阻尼系數(shù)d2.0 Nms/rad電動機(jī)相數(shù)L3電動機(jī)轉(zhuǎn)子齒數(shù)Nr4標(biāo)稱模型參數(shù) a45.0, -4.0, 0, 110.0, -0.5, 30, 300.0, -0.1, 0未建模動態(tài)上界r0.2Nm 由圖可知跟蹤誤差不收斂于零，而是出現(xiàn)等幅振蕩的情況。圖2 魯棒控制仿真結(jié)果圖3 一般控制仿真結(jié)果6 結(jié)論 SR電動機(jī)直接驅(qū)動機(jī)械手控制的困難之處在于SR電動機(jī)具有高度的非線性電磁特性。建立一個簡單而又精確的描述這一特性的數(shù)學(xué)模型存在很大的困難。本文采用魯棒控制理論，在數(shù)學(xué)模型中引入不確定性，采

14、取措施抵消模型不確定性對控制品質(zhì)的影響。仿真結(jié)果驗(yàn)證了控制方案的可行性和有效性。參考文獻(xiàn)1Illic-Spong M，Marino R，Peresada S M，et alFeedback linearizing control of switched reluctance motors JIEEE Trans on Automatic Control，1987，32(5)：371-3792Kee R J，Rupley F M，Meeks Eet alChemkin-III：A fortran chemical kinetics package for the analysis of gas

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