微分中值定理 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

1、第四章 微分中值定理 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用本章內(nèi)容引入：中值定理是微分學(xué)中的最重要的定理，這是連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)所具有的一些重要性質(zhì)，它在用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)以及實際應(yīng)用中是重要的理論基礎(chǔ)。4。1 微分中值定理教學(xué)目標(biāo)了解羅爾定理、拉格朗日定理和柯西定理，理解這些定理之間的關(guān)系，會利用這些定理證明一些簡單的證明題（如證明不等式）。重點和難點中值定理和中值定理之間的關(guān)系授課內(nèi)容羅爾定理：若函數(shù)滿足在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則有使。從幾何意義理解羅爾中值定理的意義。注意：（1）定理中的條件是充分的，但非必要的。 （2）導(dǎo)數(shù)等于零的點為函數(shù)的駐點（或穩(wěn)定點，臨界點）舉例：求羅爾定理結(jié)論中的。P1341拉格朗日中值定理：若函數(shù)在上

2、連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則有使。拉格朗日定理是羅爾定理的推廣。從拉格朗日中值定理的幾何意義，理解拉格朗日中值定理的意義。推論1：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒等于一個常數(shù)。推論2：若函數(shù)和在區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)處處相等，即，則函數(shù)和在區(qū)間內(nèi)僅相差一個常數(shù)。舉例：求拉格朗日中值定理結(jié)論中的。P1342拉格朗日中值定理的應(yīng)用：證明不等式舉例：P134例1小結(jié)：利用格朗日中值定理證明不等式，首先要設(shè)一個恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，然后將恰當(dāng)?shù)胤糯蠛涂s小，從而得到所要證明的不等式。柯西中值定理：若函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且則有使?？挛髦兄刀ɡ硎抢窭嗜罩兄刀ɡ淼耐茝V。舉例：例5幾個中值定理之間的關(guān)系；小結(jié)中值定理刻劃函數(shù)在

3、區(qū)間上的增量與函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的某一點的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，要了解三個中值定理意義，知道這些定理之間的關(guān)系。練習(xí)P1344；11、（1）作業(yè)P134104.2 洛必達(dá)法則教學(xué)目標(biāo)熟練掌握洛必達(dá)法則和各種未定式的定值方法重點和難點洛必達(dá)法則和各種未定式的定值方法授課內(nèi)容兩種基本的未定式： 洛必達(dá)法則：若函數(shù)和滿足：只證明型未定式的洛必達(dá)法則，型未定式不作要求。注意洛必達(dá)法則的適用條件。舉例：例1例3注意：（1）洛必達(dá)法則中的條件（1）改為則為型未定式，則法則仍成立。（2）法則中的，改為，只要將法則中的條件（2）作相應(yīng)的修改，法則仍適用。（3）若還是型或型未定式，可對再用一次洛必達(dá)法則，依次類推。舉例：例4例

4、6注意只有型或型未定式才能用洛必達(dá)法則。對于型常將其化為分式而變成或，對于，等又經(jīng)常通過將其變成指數(shù)函數(shù)或取對數(shù)化為型；至于型，一般通過將其通分或有理化后根據(jù)情況處理。舉例：例7例9小結(jié)利用洛必達(dá)法則可以得到，及，等各種未定式的定值方法，在計算時要注意洛必達(dá)法則的適用條件。并且洛必達(dá)法則時能同時與其他求極限的方法結(jié)合使用，將使計算簡捷。舉例：例10注意：洛必達(dá)法則失效的情形。舉例：P1392；3練習(xí)P1391、（1）（4）作業(yè)P1391、（9）；（13）；（14）3。3 函數(shù)的單調(diào)性與極值教學(xué)目標(biāo)熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的判別方法；熟練掌握求函數(shù)極值與最值的方法。了解函數(shù)極值與最值的關(guān)系與區(qū)別。重點

5、和難點函數(shù)單調(diào)性的判別方法和求極值的方法授課內(nèi)容一、函數(shù)單調(diào)性的判別法定理1（判別單調(diào)性的充分條件）：在函數(shù)可導(dǎo)的區(qū)間內(nèi)：（1）若，則函數(shù)單調(diào)增加；（2）若，則函數(shù)單調(diào)減少；討論函數(shù)單調(diào)性的一般程序：（1）確定函數(shù)的定義域（2）確定函數(shù)增減區(qū)間的可能分界點（駐點或?qū)?shù)不存在的點）（3）判別函數(shù)的增減區(qū)間舉例：例1例5二、用函數(shù)的增減性與極值證明不等式要證明在區(qū)間上有，只要利用函數(shù)單調(diào)性與極值判別定理證明即可。舉例：例6三、函數(shù)的極值1、極值的定義（P154）2、極值的求法定理1（極值存在的必要條件）：若函數(shù)在點處可導(dǎo)，且取得極值，則注意：（1）駐點不一定是極值點。（2）函數(shù)不可導(dǎo)點也可能是極值

6、點。定理2（第一充分條件）：設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)（可以不存在）；求函數(shù)極值的一般步驟：（P156）（1）確定函數(shù)的連續(xù)區(qū)間；（2）求出函數(shù)的可能極值點（駐點和不可導(dǎo)點）；（3）判別可能取極值的點是否為極值點；（4）若是極值點，求出函數(shù)的極值。舉例：例1定理3（第二充分條件）：設(shè)函數(shù)在點二階可導(dǎo)且,則是函數(shù)的極值點：舉例：例2注意：定理2和定理3都是判別極值點的充分條件，定理2對駐點和導(dǎo)數(shù)不存在的點均適用，定理3用起來比較方便，但對于下述兩種情況不適用：（1）導(dǎo)數(shù)不存在的點；（2）當(dāng)，時點可能是極值點，也可能不是極值點。四、最大值最小值問題假設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，則求最大值和最小值的一般程序：首先求出

7、函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)所有可能的極值點（即駐點和導(dǎo)數(shù)不存在的點）的函數(shù)值，再求出區(qū)間端點的函數(shù)值和，比較這些值，其中最大者就是在上的最大值，最小者就是在上的最小值。舉例：例3例7小結(jié)作為導(dǎo)數(shù)與微分的重要應(yīng)用是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值，這在解決實際問題中是非常重要的。練習(xí)P1523、（4）；5、（1）；P1621、（4）；4、（1）作業(yè)P1523、（5）；5、（2）3。4 曲線的凹凸點與拐點教學(xué)目標(biāo)熟練掌握曲線凹凸性判別方法。重點和難點曲線凹凸性判別方法和求曲線拐點與漸近線的方法。授課內(nèi)容定義（凹凸）：P134定理1（判別凹凸性的定理）：在函數(shù)二階可導(dǎo)的區(qū)間內(nèi)：（1）若，則曲線凹（2）若，

8、則曲線凸舉例：P150例7例8定義（拐點）：（P151）定理2（拐點存在的充分必要條件）：設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)且二階可導(dǎo)，若在點的左、右鄰域內(nèi)，的符號相反，則曲線上的點是曲線的拐點。確定曲線的凹凸與拐點的一般步驟：（1）確定函數(shù)的連續(xù)區(qū)間；（2）在區(qū)間內(nèi)求出使和不存在的點；（3）由上述求出的點將區(qū)間分成若干個部分區(qū)間，在各個部分區(qū)間討論的符號，便可確定曲線在相應(yīng)部分區(qū)間內(nèi)的凹凸，同時確定曲線是否存在拐點，并求出拐點。上述過程可列表表示。舉例：P152例1例2小結(jié)本節(jié)研究了曲線的凹凸性以及曲線凹凸性判別方法，求曲線拐點的方法。練習(xí)P1539、（1）作業(yè)P1539、（3）；（4）3。5 函數(shù)作圖教學(xué)目標(biāo)

9、掌握函數(shù)作圖的基本步驟和方法；會作某些簡單函數(shù)的圖形。重點和難點函數(shù)作圖的基本步驟和方法。授課內(nèi)容利用函數(shù)或曲線的各種性態(tài)如單調(diào)性、極值、凹凸性、拐點，再根據(jù)漸近線情況，然后描點作圖就能作出較為準(zhǔn)確的函數(shù)圖形。綜合起來作函數(shù)圖形的一般步驟為：（1）確定函數(shù)的定義域、間斷點，以明確圖形的范圍；（2）討論函數(shù)的奇偶性、周期性，以判別圖形的對稱性、周性；（3）考察曲線的漸近線，以把握曲線伸向無窮遠(yuǎn)的趨勢；（4）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值；確定曲線的凹凸區(qū)間及拐點，以掌握圖形的大致形狀；（5）選擇曲線的若干關(guān)鍵點，特別是曲線與坐標(biāo)軸的交點等，方便描點定位；（6）綜合以上分析，描點作出函數(shù)的圖形。舉例：例

10、1例2小結(jié)利用微分學(xué)的知識了解了函數(shù)或曲線的各種性態(tài)后，再描點作圖就能作出較為準(zhǔn)確的函數(shù)圖形。練習(xí)P1691作業(yè)P169236 泰勒公式 教學(xué)目標(biāo)掌握泰勒公式和麥克勞林公式重點和難點泰勒公式授課內(nèi)容一、泰勒公式用一個多項式來表示任一個函數(shù)，不僅在計算上具有價值，而且具有重要的理論的意義。泰勒中值定理：若函數(shù)在含有的開區(qū)間內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，則對中的任一點，有 泰勒公式其中 拉格朗日余項泰勒多項式函數(shù)的泰勒公式在=0時為麥克勞林公式一、 幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式舉例：例1例4其中其中小結(jié)用泰勒公式來表示任一個函數(shù)，在實際應(yīng)用中具有重要價值，而且具有很高的理論的意義。練習(xí)P1451作業(yè)P145336 曲率（自學(xué)）本章總結(jié)：本章討論了羅爾定理、拉格朗日定理和柯西定理，利用柯西定理給出了很多未定式求極限的方法。在這些未定式中，最基本的形式是型和型，對型，常將其