2022年2022年高考數(shù)學(xué)壓軸題放縮法技巧全解

1、放縮技巧全解證明數(shù)列型不等式,因其思維跨度大，構(gòu)造性強(qiáng),需要有較高的放縮技巧而布滿摸干脆和挑戰(zhàn)性,能全面而綜合地考查同學(xué)的潛能與后繼學(xué)習(xí)才能,因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材.這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀看所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu),深化剖析其特點(diǎn),抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s.其放縮技巧主要有以下幾種：一，裂項(xiàng)放縮可編輯資料 - - - 歡迎下載n例 1.1 求k 12的值 ;2 求證 :4k 21n15 .2k 1 k3可編輯資料 - - - 歡迎下載解析 :1由于24n 21 2n212n112n112n1,所以n221k 1 4k112n12 n2n1可編輯資料 - -

2、 - 歡迎下載2由于 1n2142n214n14212n112n1,所以 n1k2k 112 113512n112 n112533可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載技巧積存 :1 1n244n 244n 21212n112n121C 1 C22n1nn11nn11nn1可編輯資料 - - - 歡迎下載3 Tr 11rCnnrn. r. n1r .nr11r.r r1n 1n1r11 r2r可編輯資料 - - - 歡迎下載4 11 nn1111213215n n12可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載512 n 2n1112 n12 n6

3、1n2n2n可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載7 2n1911n 2nn n111,18122n11112 n32 n112n11 2n 1 2n13 2n可編輯資料 - - - 歡迎下載k n101k n1kn11kn1nn111k k1nn1k可編輯資料 - - - 歡迎下載n111 .2nn .n1 .2n12n2 n2n12 n 12n12 222n12n 111nn2211可編輯資料 - - - 歡迎下載 2n122 n12n12 n12 n22n1 2n 112n 11nn221可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載121 n

4、31n n2nn11n11n n11n n11n1n1可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載11n1n113n 1nn1n12 nnn11n1n1nnn212n可編輯資料 - - - 歡迎下載22 231 23321221n3213可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載14k. kk21.k2.1k1 .1k2 .151n n1nn1n2可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載15i 21 ij21jiij22ji 21j 21ii21j1j21可編輯資料 - - - 歡迎下載1例 2.1求證 :112235122n1

5、71 n2622n1可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載2 求證 : 1114163614n 2112 4n3求證 : 121 31 3 52 42 4 61 3 52 4 6 2n12n2n11可編輯資料 - - - 歡迎下載4 求證： 2 n111112312 2nn11可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載解析 :1 由于12n122n112 n 1112 2n 112n 1,所以ni 1 2i11 211 12 312n111 12 312n 1可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載2 1114163611

6、 114n242211 111n 24n可編輯資料 - - - 歡迎下載3先運(yùn)用分式放縮法證明出1 3 5 2n11,再結(jié)合1進(jìn)行裂項(xiàng) , 最終就可以得可編輯資料 - - - 歡迎下載到答案2 4 62 n2n1n 2nn2可編輯資料 - - - 歡迎下載4 第一1n2 n1n2n1n,所以簡潔經(jīng)過裂項(xiàng)得到2 n11111123n可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載再證12 2 n 1n2 n 12 22n12n1而由均值不等式知道這是明顯成立的,211nn22可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載所以 1112312n2n11可編輯資料

7、- - - 歡迎下載例 3.求證 : n6n1 2n11114915n 23可編輯資料 - - - 歡迎下載解析 :一方面 : 由于 1n 21n21444n 21212n112n1,所以n12k 1 k12 113512n112n112533可編輯資料 - - - 歡迎下載另一方面 : 111491111n22334111nnn1n1n1可編輯資料 - - - 歡迎下載當(dāng) n3時(shí),nn16 nn1 2n,當(dāng) n11時(shí),n6n1112,11 2n149n可編輯資料 - - - 歡迎下載當(dāng) n2時(shí),n6n1 2n11111 ,49n 2可編輯資料 - - - 歡迎下載所以綜上有6n111 n1

8、2n14915n23可編輯資料 - - - 歡迎下載例 4. 全國一卷 設(shè)函數(shù)f xxx ln x.數(shù)列an中意 0a1. an 1f an .可編輯資料 - - - 歡迎下載1設(shè) ba1,1 ,整數(shù)k a1b .證明 : ak 1b .可編輯資料 - - - 歡迎下載a1 ln b解析 :由數(shù)學(xué)歸納法可以證明an是遞增數(shù)列 ,可編輯資料 - - - 歡迎下載故如存在正整數(shù)mk , 使 amb , 就 ak 1a kb ,可編輯資料 - - - 歡迎下載k如,就由知,可編輯資料 - - - 歡迎下載amb mk 0a1amb1am ln ama1 ln ama1 ln b0 ak 1akak

9、ln aka1am ln amm 1可編輯資料 - - - 歡迎下載由于 k mam ln am1k a1 ln b,于是ak 1a1k | a1ln b |a1ba1 b可編輯資料 - - - 歡迎下載例 5.已知 n, mN , x1, Sm1m2m3mnm ,求證 :nm 1m1Snn1 m 11.可編輯資料 - - - 歡迎下載解析 :第一可以證明: 1x1nx可編輯資料 - - - 歡迎下載nm 1nm 1n1 m 1n1m 1n2 m 11m 10nn k m 1k 1 k1 m1 所以要證可編輯資料 - - - 歡迎下載m1n m1 Snn11只要證 :可編輯資料 - - - 歡

10、迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載n k m 1k 1k1m 1 nm1 m1k m k 1n1 m 11n1m 1nm 1nm 1 n1 m 12m 11m 1n kk 11m 1k m 1 可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載故只要證n km 1k 1k1m 1 nmm1m1km k 1nkk 11m 1k m 1 ,可編輯資料 - - - 歡迎下載m1即等價(jià)于 km1k1m m1kk1k ,可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載即等價(jià)于 1m111mkk1 ,1m1k11m 1k而正是成立的,所以原命題成立.可編輯資料 - - -

11、 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載例 6.已知 an4n2n ,Tn2na1a2,求證 :T1anT2T3T3 .414n 212n 414123n2可編輯資料 - - - 歡迎下載T解析 :n41424 34n21222 n 4 n1212n 可編輯資料 - - - 歡迎下載所以Tn434 n2 n1212n 4n 132n422 n 132n4 n 12332n 14n 13 2n3 2n 1232n2 2 2n 23 2n1可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載322 2n2n12 n1312 2 n112 n 11可編輯資料 - - - 歡迎下載從而

12、T1T1111113337n21n 12123T2T3n2可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載例 7.已知 x11, xnnn2k1, kZ ,求證 :1112 n11nN *可編輯資料 - - - 歡迎下載證明 :1n1n12k, kZ 14 x21x34 x4x512 ,4 x2nx2n 1可編輯資料 - - - 歡迎下載4 x2n x2n 14 2n12n14 4n 214 4n 22n2 n可編輯資料 - - - 歡迎下載由于2 nnn1 ,所以所以124 x2n x2n 12 n112nn112 n12 n1n1nN*可編輯資料 - - - 歡迎下載二，函

13、數(shù)放縮4 x2x34 x4x54 x2nx2n 1可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載例 8.求證：ln 22ln 33ln 44ln 3nn33n5n66 nN * .可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載解析 :先構(gòu)造函數(shù)有l(wèi)n xx1ln x x11 ,從而x12ln 2213ln 3313nln 44ln 3n3n3n1 11231 3 n11111111234567891112 n2n13n可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載cause5339966918273n 13n 15n可編輯資料 - - -

14、歡迎下載2 3n 13n6可編輯資料 - - - 歡迎下載所以 ln 22ln 33ln 44ln 3n3n3n15n3n65n66可編輯資料 - - - 歡迎下載例 9.求證 :12, ln 2ln 3ln n22nn1 n2可編輯資料 - - - 歡迎下載23n2n1可編輯資料 - - - 歡迎下載解析 :構(gòu)造函數(shù)案f xln x ,得到xln n nln n ,再進(jìn)行裂項(xiàng)2n2ln n11222nn11nn,求和后可以得到答1可編輯資料 - - - 歡迎下載函數(shù)構(gòu)造形式 :ln xx1 , ln nn12可編輯資料 - - - 歡迎下載例 10.求證 : 1123111ln n11n12

15、n可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載解析 :提示 : ln n1ln n1nnn12ln n11nlnn n1ln 2可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載函數(shù)構(gòu)造形式:ln xx , ln x11xy可編輯資料 - - - 歡迎下載當(dāng)然此題的證明仍可以運(yùn)用積分放縮可編輯資料 - - - 歡迎下載如圖 ,取函數(shù)1,f xx可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載第一 :n 1 ,從而 , 1SABCFinni1ln x |nln nln niED可編輯資料 - - - 歡迎下載取 i1有, 1 nn i x ln

16、nln nn1 ,n i xFCABOn-inx可編輯資料 - - - 歡迎下載所 以 有 12ln 2 , 13ln 3ln 2,1nln nln n1 ,1n1ln n1ln n, 相 加 后 可 以 得 到 :可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載11123n1ln n1可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載另一方面n 1 SABDEn i x,從而有1i ni1nn i xln x |nniln nln ni 可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載取 i1有,1n1ln nln n1 ,可編輯資料 - - -

17、 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載所以有l(wèi)nn 11121 ,所以綜上有11n23111ln n11n12n可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載例 11.求證 : 11112.3.11n.e 和 11 11 981113 2n e .解析 :構(gòu)造函數(shù)后即可證明可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載例 12.求證 : 11答案2 1231n n12n 3e解析 :ln nn 1 123nn 1,疊加之后就可以得到1可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載函數(shù)構(gòu)造形式 :ln x 132x0x 11 ln 1 x

18、 x3 x0x 1加強(qiáng)命題 可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載例 13.證明 : ln 2ln 3ln 4ln nn n 1 nN *, n1可編輯資料 - - - 歡迎下載345n14可編輯資料 - - - 歡迎下載解析 : 構(gòu)造函數(shù)f xln x1 x11x1 ,求導(dǎo) ,可以得到 :可編輯資料 - - - 歡迎下載''f ' x 112x 1xx ,令1f x0 有1x2 ,令f x0 有 x2 ,可編輯資料 - - - 歡迎下載所以 f xf 20 ,所以 ln x1x2 ,令 xn21 有, ln n2n 21可編輯資料 - - -

19、 歡迎下載所以 ln nn 1,所以ln 2ln 3ln 4ln nn n1 nN*, n1可編輯資料 - - - 歡迎下載n 12345n14可編輯資料 - - - 歡迎下載例 14. 已知 a1,a11a1 . 證明 ae2 .n可編輯資料 - - - 歡迎下載1n 1n2nn2n可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載解析 :a n 111nn1a nn1211nn 11,n an2可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載然后兩邊取自然對數(shù),可以得到ln a n 1ln11n n 11n ln an2可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資

20、料 - - - 歡迎下載然后運(yùn)用ln 1xx 和裂項(xiàng)可以得到答案可編輯資料 - - - 歡迎下載放縮思路：an 1112nn1 ann2ln an 112ln1nn1n ln an2可編輯資料 - - - 歡迎下載ln an1n 2n1 .于是2 nln a n 1ln a n11 ,n 2n2 n可編輯資料 - - - 歡迎下載n 1ln ai 1i 1ln a i n 111i 2i 1ii2ln a nln a11 1 n 11 12n1 1222112.nn2可編輯資料 - - - 歡迎下載即 ln anln a12ane .可編輯資料 - - - 歡迎下載注：題目所給條件ln1xx

21、（ x0 ）為一有用結(jié)論,可以起到提示思路與探究放縮方向的可編輯資料 - - - 歡迎下載作用.當(dāng)然,此題仍可用結(jié)論2nnn1 n2來放縮：可編輯資料 - - - 歡迎下載an 111n n an11nn 1an 111 111nn a11) nn 1n 111,可編輯資料 - - - 歡迎下載lna n 11lna n1ln1nn 1.n n 1 ln ai 1i 21) ln ai1i 2i i1ln an1ln a2111n可編輯資料 - - - 歡迎下載即 lnan11ln 3an3e1e2 .可編輯資料 - - - 歡迎下載例 16. 福州市質(zhì)檢 已知函數(shù)f xx ln x. 如 a

22、0,b0,證明 :f aab ln 2f abf b.可編輯資料 - - - 歡迎下載解析 :設(shè)函數(shù)g xf x f kx,k0可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載f xx ln x,g xx ln xkx ln kx,可編輯資料 - - - 歡迎下載0xk.g xln x1 ln kx1lnx,kx可編輯資料 - - - 歡迎下載令g x0,就有x12xk0kxk.可編輯資料 - - - 歡迎下載kxkx2可編輯資料 - - - 歡迎下載函數(shù)g x在k , k ）上單調(diào)遞增, 在20,k 上單調(diào)遞減 .2g x的最小值為g k ,即總有2g xg k .2可編輯資

23、料 - - - 歡迎下載而 g k 2f k 2f kk 2k ln k2kln kln 2f kk ln 2,可編輯資料 - - - 歡迎下載g xf k k ln 2,可編輯資料 - - - 歡迎下載即 f x f kxf kk ln 2.可編輯資料 - - - 歡迎下載令 xa, kxb, 就 kab.可編輯資料 - - - 歡迎下載f a f bf abab ln 2.f a ab ln 2f abf b.可編輯資料 - - - 歡迎下載例 15. 廈門市質(zhì)檢 已知函數(shù)f x 是在 0, 上處處可導(dǎo)的函數(shù), 如 xf ' xf x 在 x0 上恒成立 .可編輯資料 - - -

24、歡迎下載(I) 求證： 函數(shù) g x f x在 0,x 上是增函數(shù).II 當(dāng) x10, x20時(shí), 證明 : f x1 f x2 f x1x2 .可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載III 已知不等式ln1xx在x1且x0 時(shí)恒成立,可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載求證：1 ln 22221 ln 32321 ln 4 2421n12lnn122nnn1n2N * .可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載解析 :Ig ' x f ' x xx 2f x0 ,所以函數(shù)g xf x x在 0,上是

25、增函數(shù)可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載(II) 由于g x f x x在0,上是增函數(shù) ,所以可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載f x1 x1f x1 x1x2 x2f x1 x1x1x2f x1x2 可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載f x2 x2f x1 x1x2 x2f x2 x2x1x2f x1x2 可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載兩式相加后可以得到f x1 f x2 f x1x2 可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載3f x1 x 1

26、f x 2 x 2f x 1x2x1x2f x1x2x1x2xn x nx n xnf x1 x1f x2 x1x2xnx2x1x2f x1x nx 2f x1x n x 2xn 可編輯資料 - - - 歡迎下載f xn xnf x1x2x1x2xn xnf xn xnx1x2f x1x2xnxn 可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載相加后可以得到:f x1 f x2 f x n f x1x 2x n 可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載所以 x1 ln x1x2 ln x2x3 ln x3xn ln x n x1x2x n ln x1x

27、2xn 可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載x令n11,有n2111 ln 222 211 ln 32321 ln 4242111n1 21ln n1 21111223242111n 1 2nln 1122321n 1 2可編輯資料 - - - 歡迎下載2232 n 12ln2 13 2n 1 nn12n22n1n2可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載所以 12 2ln 2 21 ln 32321 ln 424 21n1 2ln n1 22 nn1 n2 nN * .可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載方法二

28、ln n 1 2ln n 1 2ln 4ln 411可編輯資料 - - - 歡迎下載n 12n 1 n2 n 1n2n 1n2可編輯資料 - - - 歡迎下載所 以 1 ln 221 ln 321 ln 421lnn12ln 4 11n ln 4可編輯資料 - - - 歡迎下載三，分式放縮22又 ln 41321,所以n1421 ln 2 222n1 ln 3 2321 21 ln 42421 n 122ln nn2122n2n2nn1n2N * .可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載姐妹不等式 : babm bama 0, m0 和 bab m aba m0, m

29、0可編輯資料 - - - 歡迎下載記憶口訣 ”小者小 ,大者大 ”說明 :看 b,如 b 小,就不等號(hào)是小于號(hào),反之 .可編輯資料 - - - 歡迎下載例 19. 姐妹不等式 : 11111135112 n12 n1 和可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載11 121 11 4611 2n12n1也可以表示成為可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載2 4 61 3 52n2n12n1 和 1 3 52 4 62n12n12 n1可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載解析 : 利用假分?jǐn)?shù)的一個(gè)性質(zhì)b bm ba aa

30、m0, m0 可得可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載 2 4 61 3 52n 22n12n1 即 11111135112n12n12462n35 72n113 52n11352n124 62n24 62n2n1.可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載例 20.證明 : 1111 11 47113n23 3n1.可編輯資料 - - - 歡迎下載解析 : 運(yùn)用兩次次分式放縮:可編輯資料 - - - 歡迎下載2 5 83n13 6 93n.加 1可編輯資料 - - - 歡迎下載1 4 73n22 5 83n12583n14 . 7101473

31、n23 693n1 3n加 2可編輯資料 - - - 歡迎下載相乘 ,可以得到 :7103n11473n2583n12583n12可編輯資料 - - - 歡迎下載2581473n14.3n223n1可編輯資料 - - - 歡迎下載所以有 11111147113n23 3n1.可編輯資料 - - - 歡迎下載四，分類放縮例 21.求證 :11123解析 : 1121n2 n121111n132124111113333 42222可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載11 2n2n1 12n2 nn11 n22n2可編輯資料 - - - 歡迎下載例 22.全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試改編 在平面直角坐標(biāo)系xoy 中 ,y 軸正半軸上的點(diǎn)列與曲線A