《函數(shù)的奇偶性與周期性》教案

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載函數(shù)的奇偶性與周期性適用學(xué)科數(shù)學(xué)適用年級(jí)、_ .局二適用區(qū)域新課標(biāo)課時(shí)時(shí)長（分鐘）60知識(shí)點(diǎn)1 .奇偶性的概念2 .奇偶性的判斷3 .奇偶性的應(yīng)用4 .周期性的概念5 .確定函數(shù)周期的方法6 .函數(shù)周期性的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)1 .結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義.2 .會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的奇偶性.3 . 了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會(huì)判斷、應(yīng)用簡單函數(shù)的周期性.教學(xué)重點(diǎn)函數(shù)奇偶性概念和函數(shù)奇偶性的判斷教學(xué)難點(diǎn)函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的概念、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等的綜合應(yīng)用教學(xué)過程一、課堂導(dǎo)入我們生活在美的世界中，有過許多對(duì)美的感受，請(qǐng)想一下有哪些美？對(duì)于對(duì)稱美，請(qǐng)想一下

2、哪些事物給過你對(duì)稱美的感覺呢？生活中的美引入我們的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，它又是怎樣的情況呢？若給它適當(dāng)?shù)亟⒅苯亲鴺?biāo)系，那么會(huì)發(fā)現(xiàn)什么特點(diǎn)?數(shù)學(xué)中對(duì)稱的形式也很多，這節(jié)課我們就來復(fù)習(xí)在坐標(biāo)系中對(duì)稱的函數(shù)、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)1、復(fù)習(xí)單調(diào)性的概念2、復(fù)習(xí)初中的軸對(duì)稱和中心對(duì)稱3、預(yù)習(xí)奇偶性的概念4、預(yù)習(xí)奇偶性的應(yīng)用三、知識(shí)講解考點(diǎn)1函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x, 都有f(x) = f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x, 都有f(x)= f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱探究1.奇

3、函數(shù)、偶函數(shù)的定義域具有什么特點(diǎn)？它是函數(shù)具有奇偶性的什么條件？提示：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，必要不充分條件.2 .若f(x)是奇函數(shù)且在x=0處有定義，是否有f(0) = 0?如果是偶函數(shù)呢？提示：如果f(x)是奇函數(shù)時(shí)，f(0) = f(0),則f(0)=0;如果f(x)是偶函數(shù)時(shí)，f(0)不一定為0,如f(x) = x2+1.3 .是否存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)？若有，有多少個(gè)？提示：存在，如f(x)=0,定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意一個(gè)數(shù)集，這樣的函數(shù)有無窮多個(gè).考點(diǎn)2周期性(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)v= f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x+T) =

4、 f(x),那么就稱函數(shù)y = f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.四、例題精析【例題11【題干】判斷下列函數(shù)的奇偶性1 x【解析】(1)由>0? 1<x<1,1 +x定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.1 +x又 f(x) = lg 1 -x = lg故原函數(shù)是奇函數(shù).J +x1 -x lg*=-f(x)，(2)函數(shù)定義域?yàn)?8, o)qo, +oo),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又當(dāng)x>0時(shí)，f(x) = x2+x,則當(dāng)x<0時(shí)，x>0,故 f( x) = f x

5、= f(x);當(dāng)x<0時(shí)，f(x) = x2 x,則當(dāng)x>0時(shí)，一x<0,故f(x) = x2 + x=f(x),故原函數(shù)是偶函數(shù).1 x2>0,lg(1-x2)由j* 21 2 0得定義域?yàn)?T,0)-0,1),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， f(x)= 僅2 2)22lg 1-x222f(x)為偶函數(shù).lg1 ( x) lg(1.x )f( x) = 2= Z2= f(x)，(-x)x【例題21【題干】 設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù).當(dāng)x>0時(shí)，f(x) = 2x+ 2x+b(b為常數(shù))，則f(1) = ()A.3B.1C.1D.3(2)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間5,5上是奇函

6、數(shù),在區(qū)間0,5上是單調(diào)函數(shù),且f(3)<f(1),則()A.f(-1)<f(-3)B.f(0)>f(1)C.f(1)<f(1)D.f( 3)>f( 5)【答案】A、A【解析】(1)選A 因?yàn)閒(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以 f(0)=20+2X0+ b= 0,解得 b= 1.所以當(dāng) x>0 時(shí)，f(x) = 2x+ 2x-1,所以 f(1)= f(1) = (21 + 2X1 1)= 3.選A 函數(shù)f(x)在區(qū)間0,5上是單調(diào)函數(shù)，又3>1,且f(3)<f(1),故此函數(shù)在區(qū)間0,5上是減函數(shù).由已知條件及奇函數(shù)性質(zhì)，知函數(shù) f(x)在區(qū)間

7、5,5上是減函數(shù).選項(xiàng) A 中，一3<1,故 f(3)>f(1).選項(xiàng) B 中，0>1,故 f(0)<f(1).同理選項(xiàng) C 中 f(-1)>f(1),選項(xiàng) D 中 f(-3)<f(-5).【例題31【題干】(1)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且是以2為周期的周期函數(shù).若當(dāng)xC0,1)時(shí)，f(x)=2x1,則flog6j 的值為()5A.萬B. 51C. 2D. 6已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且f(x+1)= f(x),若f(x)在1,0上是減函數(shù)，那么f(x)在1,3上是(A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.先增后減的函數(shù)D.先減后增的函數(shù)【答案】選

8、C 選D【解析】(1)選 C .<logi 6<2,1<logi 6+2<0,即1<logi2<0；f(x)是周期為 2 的奇函數(shù), 2 223 )3 .3 r3、- 3、 i f(log i6) = f log12 l= f l0g12 |=-f Iog22= - 2 221 萬-2.212 /12 /-22(2)選D 由f(x)在 1,0上是減函數(shù)，又f(x)是R上的偶函數(shù),所以f(x)在0,1上是增函數(shù).由 f(x+ 1) = f(x),得 f(x+ 2) = f(x+1)+1 = f(x+1) = f(x),故 2 是函數(shù) f(x)的一個(gè)周期.結(jié)合以

9、上性質(zhì)，模擬畫出f(x)部分圖象的變化趨勢(shì)，如下圖.由圖象可以觀察出，f(x)在1,2上為減函數(shù)，在2,3上為增函數(shù).學(xué)習(xí)必備歡迎下載是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（）B. y= 一 X3A. y=x+1D. y= xX|五、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1 .下列函數(shù)中，既學(xué)習(xí)必備歡迎下載解析：選D 由函數(shù)的奇偶性排除A,由函數(shù)的吊詞衽加而一吊：C,由y= xX|的圖象可知當(dāng)x0時(shí)此函數(shù)為增函數(shù), 又該函數(shù)為奇函數(shù).則 f(4) = f(4 +0) = f(0) = 0, f(8) = f(4 +4)= f(4) = 0.2 .設(shè)偶函數(shù)f(x)在(0, +8比為減函數(shù)，且f(2)=0,則不等式跖土f二xU的解集為

10、()xA. (-2,0)U (2,+8)B. (j, - 2)U (0,2)C. ( 8, -2)U(2, +oo)d. (-2,0)U (0,2)學(xué)習(xí)必備歡迎下載解析：選B 選B.f(x)為偶函數(shù)，. .fx: X)=誓>0,. xf(x)>0,x>0,x<0,i或工又 f(2) = f(2) = 0, f(x)在(0, +8)上為減函數(shù)，.xq0,2)或 x"8, -2).fx>0,lf(x<0.學(xué)習(xí)必備歡迎下載3 .已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x 4)=:f(x)；下而函可0,2上是增函數(shù)，則()A. f(25)<f(11)&

11、lt;f(80)B. f(80)<f(11)<f( 25)C. f(11)<f(80)<f( 25)D. f( 25)<f(80)<f(11)學(xué)習(xí)必備歡迎下載解析：選D 由函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且f(x)在0,2上處喃I(xiàn)致而以推知f(x)在2,2上遞增，又f(x 4)= f(x)? f(x 8)=一f(x 4) = f(x)，故函數(shù) f(x)以 8 為周期，f( 25) = f( 1), f(11) = f(3) = f(3 4) = f(1), f(80) = f(0)，故 f( 25)<f(80)<f(11).學(xué)習(xí)必備歡迎下載【鞏固】4 .若函

12、數(shù)f(x) = ax2+bx+3a+b是偶函數(shù)，定義域?yàn)閍1,2a,則a=, b =解析：因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以 a1 = 2a,解得a= 1.3又函數(shù)f(x)=1x 答案：-0 +bx+ b+1為二次函數(shù)，結(jié)合偶函數(shù)圖象的特點(diǎn)，易得 b=0.3 2a-15 .設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上周期為3的奇函數(shù)，若f(1)<1, f(2) = -77，則a的取值范圍是.a十1解析： f(x)是奇函數(shù)，f(1) = f(1)<1.f(1)>1.又f(x)的周期為 3,，f(1) = f(2) =絲三>1.即號(hào);>0,解得 a>0 或 a<1. a十

13、Ia十答案：(一干-1)U(0, +OO)【拔高】6.已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0今2時(shí)，f(x) = x3 x,則函數(shù)y=f(x)的圖象在區(qū)間0,6上與 x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A. 6B. 7C. 8D. 9學(xué)習(xí)必備歡迎下載解析：選B二葉僅)是最小正周期為2的周期函數(shù):且042時(shí)，f(x) = x3x= x(x 1)(x+ 1),當(dāng)0詠2時(shí)，f(x)=0有兩個(gè)根，即 xi = 0, x2 = 1.由周期函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)2詠4時(shí)，f(x) = 0有兩個(gè)根，即 x3 = 2, x4=3；當(dāng)46時(shí)，f(x) = 0有兩個(gè)根，即 x5 = 4, x6=5,x7= 6也是f(x)

14、 = 0的根.故函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間0,6上與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為7.學(xué)習(xí)必備歡迎下載7.已知函數(shù) f(x) = x2+a(xwQ 常數(shù) aCR). x(1)討論函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由；若函數(shù)f(x)在xC 2, +8比為增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.x2= f(x).xi-x2xxx1x2(xl + x2)-a,x 1 x2解：(1)當(dāng) a = 0 時(shí)，f(x) = x2對(duì)任意 x”8, 0)«0, +oo), f(x) = (x)2故f(x)為偶函數(shù)；當(dāng) aw0 時(shí)，f(x) = x2 + a(xw0,常數(shù) aR), x、取乂=蟲，得 f(1)+f(1)=2w0;f(1)

15、 f(1) = 2a"即 f(1)wf(1), f(1)wf(1).故函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).設(shè) 20xi<x2, f(xi)f(x2)=x2 + ；a x2 = xix2要使函數(shù)f(x)在xq2, +00)上為增函數(shù)，必須f(xi) f(x2)<0包成立,xi x2<0 , - xix2(xi + x2) a>0,即 xix2(xi + x2)>a 恒成立.學(xué)習(xí)必備又 乂1+X2>4, X1X2>4 , . X1X2（X1 + X2）>16. a的取值范圍是（8, 16.歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載課程小結(jié)1.奇、偶函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件；(2)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；反之亦然；