傅里葉變換和拉普拉斯變換

1、文檔來(lái)源為 :從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯.歡迎下載支持傅里葉變換的實(shí)質(zhì)是將一個(gè)信號(hào)分離為無(wú)窮多多正弦/復(fù)指數(shù)信號(hào)的加成，也就是說(shuō)，把信號(hào)變成正弦信號(hào)相加的形式 既然是無(wú)窮多個(gè)信號(hào)相加， 那對(duì)于非周期信號(hào)來(lái)說(shuō)， 每個(gè)信號(hào)的加權(quán)應(yīng)該都是零 但有密度上的差別，你可以對(duì)比概率論中的概率密度來(lái)思考一下 落到每一個(gè)點(diǎn)的概率都是無(wú)限小，但這些無(wú)限小是有差別的所以，傅里葉變換之后，橫坐標(biāo)即為分離出的正弦信號(hào)的頻率，縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的是加權(quán)密度對(duì)于周期信號(hào)來(lái)說(shuō)， 因?yàn)榇_實(shí)可以提取出某些頻率的正弦波成分， 所以其加權(quán)不為零在幅度譜上，表現(xiàn)為無(wú)限大 但這些無(wú)限大顯然是有區(qū)別的，所以我們用沖激函數(shù)表示已經(jīng)說(shuō)過(guò)，傅

2、里葉變換是把各種形式的信號(hào)用正弦信號(hào)表示，因此非正弦信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換， 會(huì)得到與原信號(hào)頻率不同的成分 都是原信號(hào)頻率的整數(shù)倍。 這些高頻信號(hào)是用來(lái)修飾頻率與原信號(hào)相同的正弦信號(hào)， 使之趨近于原信號(hào)的。 所以說(shuō)， 頻譜上頻率最低的一個(gè)峰（往往是幅度上最高的） ，就是原信號(hào)頻率。傅里葉變換把信號(hào)由時(shí)域轉(zhuǎn)為頻域，因此把不同頻率的信號(hào)在時(shí)域上拼接起來(lái)進(jìn)行傅里葉變換是沒(méi)有意義的 實(shí)際情況下， 我們隔一段時(shí)間采集一次信號(hào)進(jìn)行變換， 才能體現(xiàn)出信號(hào)在頻域上隨時(shí)間的變化。我的語(yǔ)言可能比較晦澀，但我已盡我所能向你講述我的一點(diǎn)理解 真心希望能對(duì)你有用。 我已經(jīng)很久沒(méi)在知道上回答過(guò)問(wèn)題了， 之所以回答這個(gè)問(wèn)題，

3、是因?yàn)槲冶救嗽趯W(xué)習(xí)傅里葉變換及拉普拉斯變換的過(guò)程中著實(shí)受益匪淺 它們幾乎改變了我對(duì)世界的認(rèn)識(shí)。 傅里葉變換值得你用心去理解 哪怕苦苦思索幾個(gè)月也是值得的 我當(dāng)初也想過(guò)： 只要會(huì)算題就行。 但浙大校訓(xùn) “求是 ”時(shí)時(shí)刻刻鞭策著我追求對(duì)理論的理解 最終經(jīng)過(guò)很痛苦的一番思索才恍然大悟。 建議你看一下我們信號(hào)與系統(tǒng)課程的教材： 化學(xué)工業(yè)出版社的 信號(hào)與系統(tǒng) ，會(huì)有所幫助。傅里葉變換和拉普拉斯變換的意義傅里葉變換（Transform <e de Fourier）在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、海洋學(xué)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用（例如在信號(hào)處理中，傅里葉

4、變換的典型用途是將信號(hào)分解成幅值分量和頻率分量） 。傅里葉變換能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。傅里葉變換是一種解決問(wèn)題的方法， 一種工具， 一種看待問(wèn)題的角度。理解的關(guān)鍵是：一個(gè)連續(xù)的信號(hào)可以看作是一個(gè)個(gè)小信號(hào)的疊加，從時(shí)域疊加與從頻域疊加都可以組成原來(lái)的信號(hào)，將信號(hào)這么分解后有助于處理。我們?cè)瓉?lái)對(duì)一個(gè)信號(hào)其實(shí)是從時(shí)間的角度去理解的，不知不覺(jué)中，其實(shí)是按照時(shí)間把信號(hào)進(jìn)行分割， 每一部分只是一個(gè)時(shí)間點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)信號(hào)值， 一個(gè)信號(hào)是一組這樣的分量的疊加。傅里葉

5、變換后，其實(shí)還是個(gè)疊加問(wèn)題，只不過(guò)是從頻率的角度去疊加，只不過(guò)每個(gè)小信號(hào)是一個(gè)時(shí)間域上覆蓋整個(gè)區(qū)間的信號(hào)，但他確有固定的周期，或者說(shuō)，給了一個(gè)周期，我們就能畫出一個(gè)整個(gè)區(qū)間上的分信號(hào)， 那么給定一組周期值 （或頻率值） ， 我們就可以畫出其對(duì)應(yīng)的曲線，就像給出時(shí)域上每一點(diǎn)的信號(hào)值一樣，不過(guò)如果信號(hào)是周期的話 ，頻域的更簡(jiǎn)單，只需要幾個(gè)甚至一個(gè)就可以了，時(shí)域則需要整個(gè)時(shí)間軸上每一點(diǎn)都映射出一個(gè)函數(shù)值。傅里葉變換就是將一個(gè)信號(hào)的時(shí)域表示形式映射到一個(gè)頻域表示形式；逆傅里葉變換恰 好相反。這都是一個(gè)信號(hào)的不同表示形式。它的公式會(huì)用就可以，當(dāng)然把證明看懂了更好。對(duì)一個(gè)信號(hào)做傅立葉變換，可以得到其頻域特

6、性，包括幅度和相位兩個(gè)方面。幅度是表 示這個(gè)頻率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意義？頻域的相位與時(shí)域的相位有關(guān)系 嗎？信號(hào)前一段的相位（頻域）與后一段的相位的變化是否與信號(hào)的頻率成正比關(guān)系。傅立葉變換就是把一個(gè)信號(hào)，分解成無(wú)數(shù)的正弦波（或者余弦波）信號(hào)。也就是說(shuō)，用 無(wú)數(shù)的正弦波，可以合成任何你所需要的信號(hào)。想一想這個(gè)問(wèn)題：給你很多正弦信號(hào)，你怎樣才能合成你需要的信號(hào)呢？答案是要兩個(gè) 條件，一個(gè)是每個(gè)正弦波的幅度，另一個(gè)就是每個(gè)正弦波之間的相位差。所以現(xiàn)在應(yīng)該明白 了吧，頻域上的相位，就是每個(gè)正弦波之間的相位。傅立葉變換用于信號(hào)的頻率域分析，一般我們把電信號(hào)描述成時(shí)間域的數(shù)學(xué)模型，而數(shù)

7、字信號(hào)處理對(duì)信號(hào)的頻率特性更感興趣，而通過(guò)傅立葉變換很容易得到信號(hào)的頻率域特性傅里葉變換簡(jiǎn)單通俗理解就是把看似雜亂無(wú)章的信號(hào)考慮成由一定振幅、相位、頻率的 基本正弦（余弦）信號(hào)組合而成，傅里葉變換的目的就是找出這些基本正弦（余弦）信號(hào)中 振幅較大（能量較高）信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻率，從而找出雜亂無(wú)章的信號(hào)中的主要振動(dòng)頻率特點(diǎn)。如減速機(jī)故障時(shí)，通過(guò)傅里葉變換做頻譜分析，根據(jù)各級(jí)齒輪轉(zhuǎn)速、齒數(shù)與雜音頻譜中振幅 大的對(duì)比，可以快速判斷哪級(jí)齒輪損傷。拉普拉斯變換（ Laplace Transform） ，是工程數(shù)學(xué)中常用的一種積分變換。它是為簡(jiǎn)化計(jì)算而建立的實(shí)變量函數(shù)和復(fù)變量函數(shù)間的一種函數(shù)變換。對(duì)一個(gè)實(shí)變量函

8、數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來(lái)求得實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，往往比直接在實(shí)數(shù)域中求出同樣的結(jié)果在計(jì)算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運(yùn)算步驟對(duì)于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數(shù)方程來(lái)處理，從而使計(jì)算簡(jiǎn)化。在經(jīng)典控制理論中，對(duì)控制系統(tǒng)的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。引入拉普拉斯變換的一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)， 是可采用傳遞函數(shù)代替微分方程來(lái)描述系統(tǒng)的特性。這就為采用直觀和簡(jiǎn)便的圖解方法來(lái)確定控制系統(tǒng)的整個(gè)特性 （見(jiàn)信號(hào)流程圖、 動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖） 、分析控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程 （見(jiàn)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、 根軌跡法） ，以及綜合控制系統(tǒng)的校正裝置（

9、見(jiàn)控制系統(tǒng)校正方法）提供了可能性。拉普拉斯變換在工程學(xué)上的應(yīng)用：應(yīng)用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程，可以將微分方程化為代數(shù)方程，使問(wèn)題得以解決。在工程學(xué)上，拉普拉斯變換的重大意義在于：將一個(gè)信號(hào)從時(shí)域上，轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域（ s 域）上來(lái)表示；在線性系統(tǒng)，控制自動(dòng)化上都有廣泛的應(yīng)用。一傅里葉變換在應(yīng)用上的局限性在第三章中，已經(jīng)介紹了一個(gè)時(shí)間函數(shù) f t 滿足狄里赫利條件并且絕對(duì)可積時(shí)，即存在一對(duì)傅里葉變換。即F jf te j tdt（正變換）(5. 1)文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.ft-1F j ej td2（反變換）（5.2）但工程實(shí)際中常有一些信號(hào)并不滿足絕

10、對(duì)可積的條件，例如階躍信號(hào)U t ,斜變信號(hào)tU t ,單邊正弦信號(hào)sin tU t等，從而對(duì)這些信號(hào)就難以從傅里葉變換式求得它們的傅 里葉變換。at.還有一些信號(hào)，例如單邊增長(zhǎng)的指數(shù)信號(hào) e U t a 0等，則根本就不存在傅里葉變 換。另外，在求傅里葉反變換時(shí)，需要求 從 到 區(qū)間的廣義積分。求這個(gè)積分往往是十 分困難的，甚至是不可能的，有時(shí)則需要引入一些特殊函數(shù)。利用傅里葉變換法只能求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，而不能求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。在需要求零輸入響應(yīng)時(shí)，還得利用別的方法，例如時(shí)域經(jīng)典法。由于上述幾個(gè)原因，從而使傅里葉變換在工程應(yīng)用上受到了一定的限制。所以，當(dāng)今在研究線性系統(tǒng)問(wèn)題時(shí)，拉普拉斯變

11、換仍是主要工具之一。實(shí)際上，信號(hào)f t總是在某一確定的時(shí)刻接入系統(tǒng)的。若把信號(hào)f t接入系統(tǒng)的時(shí)刻作為t 0的時(shí)刻（稱為起始時(shí)刻），那么，在tv 0的時(shí)間內(nèi)即有f t =0。我們把具有起始時(shí) 刻的信號(hào)稱為因果信號(hào)。這樣，式 （5-1）即可改寫為F j f t e j tdt0（5-3）式（5-3）中的積分下限取為 0 ,是考慮到在t 0的時(shí)刻f t中有可能包含有沖激函數(shù)t。但要注意，式（5-2）中積分的上下限仍然不變（因積分變量是），不過(guò)此時(shí)要在公式后面標(biāo)以t>0,意即只有在t>0時(shí)f t才有定義，即1 j tf t 一F j ej td2 t>0（5-4a）或用單位階躍函數(shù)

12、 U t加以限制而寫成下式，即1 j tf tF j ej d U t2 （5-4b）二、從傅里葉變換到拉普拉斯變換當(dāng)函數(shù)f t不滿足絕對(duì)可積條件時(shí)，可采取給 f t乘以因子e t （ 為任意實(shí)常數(shù)） 的辦法，這樣即得到一個(gè)新的時(shí)間函數(shù) f te t。今若能根據(jù)函數(shù)f t的具體性質(zhì)，恰當(dāng)?shù)?選取 的值，從而使當(dāng)t時(shí)，函數(shù)f t e t 0 ,即滿足條件tt則函數(shù)f te 即滿足絕對(duì)可積條件了，因而它的傅里葉變換一定存在。可見(jiàn)因子 e 起著使函數(shù)f t收斂的作用，故稱e t為收斂因子。設(shè)函數(shù)f te t滿足狄里赫利條件且絕對(duì)可積 （這可通過(guò)恰當(dāng)?shù)剡x取b的值來(lái)達(dá)到），則根據(jù)式（5-3）有在上式中，

13、j是以 j 的形式出現(xiàn)的。令 s j , s為一復(fù)數(shù)變量，稱為復(fù)頻1率。的單位為s, 的單位為rad/so這樣，上式即變?yōu)橛捎谏鲜街械姆e分變量為t,故積分結(jié)果必為復(fù)變量 s的函數(shù)，故應(yīng)將F j 改寫為F s ,(5-5)復(fù)變量函數(shù)F s稱為時(shí)間函數(shù)f t的單邊拉普拉斯變換。F s稱為f t的像函數(shù)，f t稱為F s的原函數(shù)。一般記為1符號(hào)L ?為一算子，表示對(duì)括號(hào)內(nèi)的時(shí)間函數(shù)f t進(jìn)行拉普拉斯變換。利用式（5-4）可推導(dǎo)出求F s反變換的公式，即對(duì)上式等號(hào)兩邊同乘以 et ,并考慮到et不是的函數(shù)而可置于積分號(hào)內(nèi)。于是得f t1-F s e tej tdF s e j tdF sestd(5-

14、6)由于式（5-6）中被積函數(shù)是F s,而積分變量卻是實(shí)變量O所以欲進(jìn)行積分，必須進(jìn)行變量代換。因j 。將以上這些關(guān)系代入式（5-6）即故ds djd （因?yàn)槿我鈱?shí)常數(shù)）故且當(dāng)時(shí)，S j ;當(dāng) 時(shí)，s得1 jst.f t；F s e ds2 j jt 0(5-7a)r1 j stf tF se ds U t寫成2 j )(5-7b)式（5-7b）稱為拉普拉斯反變換，可從已知的像函數(shù)F s求與之對(duì)應(yīng)的原函數(shù)f t。一般記11為f t L F s符號(hào)L ?也為一算子，表示對(duì)括號(hào)內(nèi)的像函數(shù)F s進(jìn)行拉普拉斯反變換。式（5-5）與式（5-7）構(gòu)成了拉普拉斯變換對(duì)，一般記為f t F s 或 F s f

15、 t若f t不是因果信號(hào)，則拉普拉斯變換式（5-5）的積分下限應(yīng)改寫為（），即F s f t estdt（5-8 ）式（5-8）稱為雙邊拉普拉斯變換。因?yàn)橐话愠Ｓ眯盘?hào)均為因果信號(hào)（即有始信號(hào)），故本書主要討論和應(yīng)用單邊拉普拉斯變換。以后提到拉普拉斯變換，均指單邊拉普拉斯變換而言。由以上所述可見(jiàn)，傅里葉變換是建立了信號(hào)的時(shí)域與頻域之間的關(guān)系，即f t F j而拉普拉斯變換則是建立了信號(hào)的時(shí)域與復(fù)頻域之間的關(guān)系，即 f t F s .三、復(fù)頻率平面以復(fù)頻率sj的實(shí)部 和虛部j為相互垂直的坐標(biāo)軸而構(gòu)成的平面，稱為復(fù)頻率平面，簡(jiǎn)稱s平面，如圖5-1所示。復(fù)頻率平面（即s平面）上有三個(gè)區(qū)域：j軸以左的區(qū)

16、 域?yàn)樽蟀腴_平面；j軸以右的區(qū)域?yàn)橛野腴_平面；j軸本身也是一個(gè)區(qū)域，它是左半開平面與右半開平面的分界軸。 將s平面劃分為這樣三個(gè)區(qū)域， 對(duì)以后研究問(wèn)題將有很大方便。 四、拉普拉斯變換存在的條件與收斂域上面已經(jīng)指出，當(dāng)函數(shù)f t乘以收斂因子e t后，所得新的時(shí)間函數(shù) f t e t便有可能 滿足絕對(duì)可積條件。但是否一定滿足，則還要視 f t的性質(zhì)與值的相對(duì)關(guān)系而定。下面就來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題。因tlim f t e t 0由此式可見(jiàn)，欲使 F s存在，則必須使f t e 滿足條件 t0左半開平面15圖右半開一平面式（5-9）中的0值指出了函數(shù)fte 的收斂條件。0的值由函數(shù)ft的性質(zhì)確定。根據(jù)0的值，

17、可將s平面（復(fù)頻率平面）分為兩個(gè)區(qū)域，如圖5-2所示。通過(guò)0點(diǎn)的垂直于軸的直線是兩個(gè)區(qū)域的分界線，稱為收斂軸，。稱為收斂坐標(biāo)。收斂軸以右的區(qū)域 （不包括收斂軸在內(nèi)）即為收斂域，收斂軸以左的區(qū)域（包括收斂軸在內(nèi)）則為非收斂域?？梢?jiàn) f t或F s的收斂域就是在s平面上能使式（5-9）滿足的的取值范圍，意即只有在收斂域內(nèi)取值,的拉普拉斯變換 F s才能存在，且一定存在。五、拉普拉斯變換的基本性質(zhì)由于拉普拉斯變換是傅里葉變換在復(fù)頻域（即s域）中的推廣，因而也具有與傅里葉變換的性質(zhì)相應(yīng)的一些性質(zhì)。這些性質(zhì)揭示了信號(hào)的時(shí)域特性與復(fù)頻域特性之間的關(guān)系，利用這些性質(zhì)可使求取拉普拉斯正、反變換來(lái)得簡(jiǎn)便。關(guān)于拉

18、普拉斯變換的基本性質(zhì)在表5-1中列出。對(duì)于這些性質(zhì)，由于讀者在工程數(shù)學(xué)課中已學(xué)習(xí)過(guò)了，所以不再進(jìn)行證明，讀者可復(fù)習(xí)有關(guān)的工程數(shù)學(xué)書籍。表5-1拉普拉斯變換的基本性質(zhì)序號(hào)性質(zhì)名稱1唯一性2齊次性3疊加性4線性5尺度性f(at) , a 06時(shí)移性f t to U t tot007時(shí)域微分8復(fù)頻微積分9復(fù)頻移性10時(shí)域積分11復(fù)頻域積分12時(shí)域卷積13復(fù)頻域副14初值定理15終值定理16調(diào)制定理利用式（5-5）和拉普拉斯變換的性質(zhì)，可以求出和導(dǎo)出一些常用時(shí)間常數(shù)f t U t的拉普拉斯變換式，如表5-2中所列。利用此表可以方便地查出待求的像函數(shù)F s或原函數(shù)f t表5-2拉普拉斯變換表序號(hào)1123

19、4567891011121314151617181920U (t nT) U (t nT ) n 0T,七、拉普拉斯反變換從已知的像函數(shù) F s求與之對(duì)應(yīng)的原函數(shù) f t ,稱為拉普拉斯反變換。通常有兩種方1 部分分式法由于工程實(shí)際中系統(tǒng)響應(yīng)的像函數(shù)F s通常都是復(fù)變量s的兩個(gè)有理多項(xiàng)式之比，亦即是s的一個(gè)有理分式，即(5-10)mm 1N s bms bm1sDe nn 1s san 1sbs b0a1s a0式中，a0a1 ,，an 1 和b1 , b2,，等均為實(shí)系數(shù)；m和n均為正整數(shù)。故可將像函數(shù)F s展開成部分分式，再輔以查拉普拉斯變換表即可求得對(duì)應(yīng)的原函數(shù)欲將F s展開成部分分式，

20、首先應(yīng)將式 (5-10)化成真分式。即當(dāng) m n時(shí)，應(yīng)先用除No s法將Fs表示成一個(gè)s的多項(xiàng)式與一個(gè)余式 D s 之和，即m nBm n sB, B 9型bi s B0D s ,這樣余式 D s已為一真分式。對(duì)應(yīng)m n于多項(xiàng)式Q s Bm nsbisB0各項(xiàng)的時(shí)間函數(shù)是沖激函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)與沖激F s函數(shù)本身。所以，在下面的分析中，均按 研究：nn 1(1)分母多項(xiàng)式D S san 1sPl P2PiPn。由于D S 0時(shí)即有F sF(S)的極點(diǎn)。此時(shí)可將D(s)進(jìn)行因式分解，而將式式。即N sD s已是真分式的情況討論。分兩種情況a1s a00的根為n個(gè)單根，故稱D s 0的根Pi (i=1

21、,2,n)為(5-10)寫成如下的形式，并展開成部分分K2ns bs Pi sPnKnmm 1bmsbm 1ssP1 sP2KisP1s P2sPiPn(5-11)式中，Ki(i=1,2,n)為待定常數(shù)。可見(jiàn)，只要將待定常數(shù) Ki求出，則F s的原函數(shù)f t即可通過(guò)查表5-2中序號(hào)6的公式而f t K1eP1t K2eP2tKiepit求得為待定常數(shù)K1按下式求得，即nKnepntKiepitU tKiPis Pi(5-12)現(xiàn)對(duì)式(5-12)推導(dǎo)如下：給式(5-11)等號(hào)兩端同乘以s pi ,即有由于此式為恒等式，故可取 s Pi代入之，并考慮到 p1P2 P2PiPn Pi,故得:于是得證畢。*2 留數(shù)法(Residue Method)1 jstftF se ds根據(jù)式(5-7)知，拉普拉斯反變換式為2 j jt 0這是一個(gè)