多元函數(shù)的極限與連續(xù)PPT課件

1、DxyzOM xyP),(yxfz 第第8 8章章 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用及其應(yīng)用 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)2第第8 8章章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用上冊已經(jīng)討論了一元函數(shù)微積分上冊已經(jīng)討論了一元函數(shù)微積分. 但在自然科但在自然科學(xué)、工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)生活的眾多領(lǐng)域中學(xué)、工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)生活的眾多領(lǐng)域中, 往往涉及往往涉及到多個因素之間關(guān)系的問題到多個因素之間關(guān)系的問題. 這在數(shù)學(xué)上就表現(xiàn)為這在數(shù)學(xué)上就表現(xiàn)為一個變量依賴于多個變量的情形一個變量依賴于多個變量的情形, 因而導(dǎo)出了多元因而導(dǎo)出了多元函數(shù)的概念及其研究與應(yīng)用函數(shù)的概念及其研究與應(yīng)用

2、.本章在一元函數(shù)微分學(xué)的基礎(chǔ)上本章在一元函數(shù)微分學(xué)的基礎(chǔ)上,數(shù)的微分方法及其應(yīng)用數(shù)的微分方法及其應(yīng)用.討論多元函討論多元函以二元函數(shù)為主以二元函數(shù)為主, 但所得到但所得到的概念、性質(zhì)與結(jié)論都可以很自然地推廣到二元以的概念、性質(zhì)與結(jié)論都可以很自然地推廣到二元以上的多元函數(shù)上的多元函數(shù).同時同時, 還須特別注意一些與一元函數(shù)還須特別注意一些與一元函數(shù)微分學(xué)顯著不同的性質(zhì)和特點微分學(xué)顯著不同的性質(zhì)和特點. 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)38.1 多元函數(shù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)的極限與連續(xù)平面點集平面點集多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的

3、連續(xù)性小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) function of many variables 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)4一、平面點集一、平面點集實數(shù)實數(shù)組組(x, y)的全體的全體,即即R,),( RRR2 yxyx建立了坐標(biāo)系的平面稱為坐標(biāo)面建立了坐標(biāo)系的平面稱為坐標(biāo)面. xOy坐標(biāo)面坐標(biāo)面坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)P的點的集合的點的集合,稱為稱為平面點集平面點集, 記作記作.),(),( PyxyxE具有性質(zhì)具有性質(zhì) 二元有序二元有序 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)5鄰域鄰域 (Neighborhood) 設(shè)設(shè)P0(x0, y0)

4、是是 xOy 平面上的一個點平面上的一個點,幾何表示幾何表示Oxy. P0)()(),( ),(20200 yyxxyxPU,0鄰域鄰域的的點點 P令令, 0 ).(0PU有時簡記為有時簡記為2R(“開開”意味著意味著 將鄰域去掉中心將鄰域去掉中心,稱之為稱之為 去心鄰域去心鄰域.),(0 PU 它是以它是以P0為中心、為中心、 以以為半徑的為半徑的開開圓圓也稱為也稱為不包括邊界不包括邊界),注注幾何表示幾何表示:),(表表示示 aU.的的全全體體的的一一切切點點距距離離小小于于與與點點xa 一元函數(shù)中鄰域的概念一元函數(shù)中鄰域的概念 :xO a a a 也可將以也可將以P0為中心的為中心的某個

5、矩形內(nèi)某個矩形內(nèi)(不算周界不算周界)的全體點稱之為點的全體點稱之為點P0鄰域鄰域. 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)63P E (1) 內(nèi)點內(nèi)點顯然顯然, E的內(nèi)點屬于的內(nèi)點屬于E.,EP 點點,)(EPU 使使 (2) 外點外點 如果如果存在存在點點P的某個鄰域的某個鄰域),(PU則稱則稱P為為E的的 外點外點. .(3) 邊界點邊界點如點如點P的的任一任一鄰域內(nèi)既有屬于鄰域內(nèi)既有屬于E的點的點,也有不屬于也有不屬于E的點的點,稱稱P為為E的的邊界點邊界點. .任意一點任意一點2R P2R E與任意一點集與任意一點集之間之間必有以下四種關(guān)系中的一種必有以下四種關(guān)系中的一種:設(shè)

6、設(shè)E為一平面點集為一平面點集, 0 若若存在存在稱稱P為為E的的內(nèi)點內(nèi)點. .1P )(1P)(2P2P )(3PE的邊界點的全體稱為的邊界點的全體稱為E的的邊界邊界,記作記作.E 使使U(P)E = ,下面利用鄰域來描述點和點集之間的關(guān)系下面利用鄰域來描述點和點集之間的關(guān)系. 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)7(4) 聚點聚點 如果對于任意給定的如果對于任意給定的, 0 P的去心鄰域的去心鄰域),( PU內(nèi)總有內(nèi)總有E中的點中的點則稱則稱P是是E的的聚點聚點. .(P本身可屬于本身可屬于E, 也可不屬也可不屬于于E ),聚點從聚點從直觀上講直觀上講: 這點附近有無窮多個這點附

7、近有無窮多個E的點的點.例如例如, ,21),( 22 yxyxE,R),(200 yxP點點2020yx 若若2020yx 則則P為為E的的邊界點邊界點, ,E的邊界的邊界 E1),( 22 yxyx 1則則P為為E的的內(nèi)點內(nèi)點; ;, 2 也是也是E的的聚點聚點; ;若若1 或或2020yx , 2 也是也是E的的聚點聚點; ;.222 yx或或設(shè)點集設(shè)點集 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)8 開集開集 若點集若點集E的任意一點的任意一點都是都是E的的內(nèi)點內(nèi)點,例例41),( 221 yxyxE稱稱E為為E1為為開集開集.下面再定義一些重要下面再定義一些重要 閉集閉集 若點

8、集若點集E的邊界的邊界稱稱E為為閉集閉集. .,EE 例例41),( 222 yxyxEE2為為閉集閉集.例例41),( 223 yxyxEE3既非開集既非開集, 也非閉集也非閉集.根據(jù)點集所屬點的特征根據(jù)點集所屬點的特征,的平面點集的概念的平面點集的概念. 開集開集. 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)9區(qū)域區(qū)域(或或開區(qū)域開區(qū)域) 連通的開集稱為連通的開集稱為連通集連通集.如果點集如果點集E內(nèi)任何兩點內(nèi)任何兩點, 都可用折線連都可用折線連且該折線上的點都屬于且該折線上的點都屬于E, 稱稱E是是 區(qū)域區(qū)域或或開區(qū)域開區(qū)域. . 連通集連通集結(jié)起來結(jié)起來,閉區(qū)域閉區(qū)域 開區(qū)域連同

9、其邊界一起所構(gòu)成的點集開區(qū)域連同其邊界一起所構(gòu)成的點集,稱為稱為閉區(qū)域閉區(qū)域. .都是閉區(qū)域都是閉區(qū)域.,41),( 22 yxyx0),( yxyx如如 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)10是區(qū)域是區(qū)域嗎嗎?,0),( yxyxE0 yx0 yxOxy 0, 0),( yxyxE不是區(qū)域不是區(qū)域. 因為不連通因為不連通.Oxy連結(jié)兩點的任何連結(jié)兩點的任何折線都與折線都與相交點不屬于相交點不屬于E.y軸相交軸相交,連通的開集稱為連通的開集稱為區(qū)域區(qū)域或或開區(qū)域開區(qū)域. .是區(qū)域是區(qū)域. 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)11有界集有界集否則稱為否則稱為總可以被包圍

10、在一個以原點為中心、總可以被包圍在一個以原點為中心、大的圓內(nèi)的區(qū)域大的圓內(nèi)的區(qū)域,稱此區(qū)域為稱此區(qū)域為半徑適當(dāng)半徑適當(dāng) (可伸展到無限遠(yuǎn)處的區(qū)域可伸展到無限遠(yuǎn)處的區(qū)域 ).有界集有界集. .集集21),( 22 yxyx集合集合例例0),( yxyx集集合合0),( yxyx集集合合無界無界是是有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域;是是無界開區(qū)域無界開區(qū)域;是是無界閉區(qū)域無界閉區(qū)域. 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)12OxyOxyOxy Oxy有界開區(qū)域有界開區(qū)域有界半開半閉區(qū)域有界半開半閉區(qū)域有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域無界閉區(qū)域無界閉區(qū)域 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)13二、

11、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念1. 二元函數(shù)的定義二元函數(shù)的定義例例, LAKY 有如下的關(guān)系有如下的關(guān)系 ,(A為正的常數(shù)為正的常數(shù)).在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱此函數(shù)關(guān)系為在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱此函數(shù)關(guān)系為 Cobb-Douglas在生產(chǎn)中在生產(chǎn)中, 產(chǎn)量產(chǎn)量Y與投入資金與投入資金K和勞動力和勞動力L 之間之間, 生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù).當(dāng)投入資金當(dāng)投入資金K和勞動力和勞動力L的值分別給定時的值分別給定時, 產(chǎn)量產(chǎn)量Y就有一個確定的值與它們對應(yīng)就有一個確定的值與它們對應(yīng).上述關(guān)系式上述關(guān)系式,按照按照 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)14例例. 0, 0,212121 RRRRRRR它們之間具

12、有如下的關(guān)系它們之間具有如下的關(guān)系設(shè)設(shè)R是電阻是電阻R1, R2并聯(lián)后的總電阻并聯(lián)后的總電阻. 由電學(xué)由電學(xué)當(dāng)電阻當(dāng)電阻R1, R2取定后取定后, 知識知道知識知道, R的值就唯一確定了的值就唯一確定了. 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)15點集點集D稱為該函數(shù)的稱為該函數(shù)的Dyxyxfz ),(),(,),(DPPfz 定義定義8.18.1稱映射稱映射為定義在為定義在D上的上的二元二元( (點點) )函數(shù)函數(shù), ,設(shè)設(shè)D是是R2的一個非空子集的一個非空子集,記為記為稱稱x, y為為數(shù)集數(shù)集稱稱z為為自變量自變量,因變量因變量. .定義域定義域,的的值域值域, ,稱為該函數(shù)稱為

13、該函數(shù)( , ),( , )z zf x yx yD 記為記為).(DfR:Df或或 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)16二元及二元以上的函二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)定義域多元函數(shù)定義域:定義域為定義域為符合實際意義符合實際意義的自變量取值的全體的自變量取值的全體.記為記為f (x0, y0)函數(shù)函數(shù) z = f (x, y) 在點在點P0(x0, y0)處的函數(shù)值處的函數(shù)值或或f (P0).類似類似, 可定義可定義n元函數(shù)元函數(shù).多元函數(shù)多元函數(shù). .實際問題中的函數(shù)實際問題中的函數(shù):的自變量取值的全體的自變量取值的全體.純數(shù)學(xué)問題的函數(shù)純數(shù)學(xué)問題的函數(shù): 定

14、義域為使定義域為使運算有意義運算有意義多元函數(shù)多元函數(shù)的自然定義域的自然定義域. . 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)17例例1 求下面函數(shù)的定義域求下面函數(shù)的定義域解解Oxy無界閉區(qū)域無界閉區(qū)域xyz )1(和和 00yx 00yx即定義域為即定義域為, 0 xy 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)18 1解解Oxy12)2(2222 yxyxxz1)1(22 yx定義域是定義域是122 yx且且有界半開半閉區(qū)域有界半開半閉區(qū)域 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)192. 二元函數(shù)的幾何意義二元函數(shù)的幾何意義 研究單值函數(shù)研究單值函數(shù)二元函數(shù)的圖形

15、通常是一張二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面曲面. .),(yxfz DxyzOM xyP),(),(| ),(Dyxyxfzzyx 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)20222yxRz 如如, 由空間解析幾何知由空間解析幾何知, 函數(shù)函數(shù)的圖形是以原點為中心的圖形是以原點為中心, R為半徑的上為半徑的上)(222Ryx 它在它在xOy平面上的投影是圓域平面上的投影是圓域:,),( 222RyxyxD D就是函數(shù)就是函數(shù)222yxRz 的定義域的定義域.xyzO半球面半球面. 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)21 的圖形是雙曲拋物面的圖形是雙曲拋物面(馬鞍面馬鞍面).又

16、如又如,xyz xyzO它在它在xOy平面上的投影是全平面平面上的投影是全平面. 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)22從一元函數(shù)到二元函數(shù)從一元函數(shù)到二元函數(shù), 在內(nèi)容和方法在內(nèi)容和方法上都會出現(xiàn)一些實質(zhì)性的差別上都會出現(xiàn)一些實質(zhì)性的差別, 而多元函數(shù)而多元函數(shù)之間差異不大之間差異不大. 因此研究多元函數(shù)時因此研究多元函數(shù)時, 將以二將以二元函數(shù)為主元函數(shù)為主. 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)23三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限 討論二元函數(shù)討論二元函數(shù)z = f (x, y), 怎樣描述呢怎樣描述呢? Oxy (1) P (x, y)趨向于趨向于P0(x

17、0, y0)的的.),(),(000時時的的極極限限即即yxPyxP回憶回憶: 一元函數(shù)的極限一元函數(shù)的極限 路徑又是多種多樣的路徑又是多種多樣的.注注,00yyxx當(dāng)當(dāng)方向有任意方向有任意 ),(00yx),(yx),(yx),(yx),(yx),(yx),(yx ),(00yx),(yx),(yx),(yxOxy多個多個,00時時當(dāng)當(dāng) xx.|)(| Axf, 0 恒有恒有, 0 Axfxx )(lim0 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)24(2) 變點變點P (x, y) 這樣這樣, 可以在一元函數(shù)的基礎(chǔ)上得出二元可以在一元函數(shù)的基礎(chǔ)上得出二元函數(shù)極限的一般定義函數(shù)極限的

18、一般定義. 2020)()(yyxx ),(),(000yxPyxP, 0 0PP總可以用總可以用來表示極限過程來表示極限過程:與定點與定點P0(x0, y0)之間的距離之間的距離不論不論P(yáng)(x, y)趨向于趨向于P0(x0, y0)的過程多復(fù)雜的過程多復(fù)雜,記為記為 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)25, 0 ,)()(02020 yyxx當(dāng)當(dāng), 0 ),(yxfzA 為為則則稱稱Ayxfyxyx ),(lim),(),(00記作記作)0(),( Ayxf或或)( 定義定義8.28.2有有成立成立.的極限的極限.時時當(dāng)當(dāng)),(),(00yxyx 設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù) f (P

19、 ) = f (x, y)的的P0(x0, y0)是是D的聚點的聚點.定義域為定義域為D, 如果存在常數(shù)如果存在常數(shù) A, AyxfAPf),()(APfPP )(lim0也記作也記作).()(0PPAPf或或如果對于任意給定的如果對于任意給定的, 0 P的去心鄰域的去心鄰域),( PU內(nèi)總有內(nèi)總有E中的點中的點(P本身可屬于本身可屬于E, 也可不屬于也可不屬于E ), 則稱則稱P是是E的的聚點聚點.,00時時當(dāng)當(dāng) xx.|)(| Axf, 0 恒有恒有, 0 Axfxx )(lim0 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)26 說明說明(1) 定義中定義中0PP (2) 二元函數(shù)的

20、極限也叫二元函數(shù)的極限也叫),(lim),(),(00yxfyxyx(double limit)的方式是任意的的方式是任意的;二重極限二重極限. . 關(guān)于二元函數(shù)的極限概念可相應(yīng)地推廣到關(guān)于二元函數(shù)的極限概念可相應(yīng)地推廣到n元函數(shù)上去元函數(shù)上去. 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)27 相同點相同點 多元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限的多元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限的一元函數(shù)一元函數(shù)在某點的極限存在的在某點的極限存在的定義相同定義相同.差異差異數(shù)數(shù)必需是點必需是點 P 在定義域內(nèi)以在定義域內(nèi)以任何方式和途徑任何方式和途徑而而多元函多元函趨于趨于P0時時,相同點相同點和和差異差異是什么

21、是什么充要條件是充要條件是左右極限都左右極限都存在且相等存在且相等; f (P)都有極限都有極限, 且相等且相等. 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)28多元函數(shù)的極限的基本問題有三類多元函數(shù)的極限的基本問題有三類:(1) 研究二元函數(shù)極限的存在性研究二元函數(shù)極限的存在性.常研究常研究若其依賴于若其依賴于k , 則則欲證明極限存在欲證明極限存在,*特別對于特別對于*),(lim00yxfyx),(lim00yxfyx不存在不存在.常用定義或夾逼定理常用定義或夾逼定理.欲證明極限不存在欲證明極限不存在(通過觀察、猜測通過觀察、猜測).常選擇兩條不同路徑常選擇兩條不同路徑,求出不同的

22、極限值求出不同的極限值.),(limyxf0 x0 kxy 找一條特殊路徑找一條特殊路徑, 使函數(shù)沿此路徑的極限不存在使函數(shù)沿此路徑的極限不存在. 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)29多元函數(shù)的極限的基本問題有三類多元函數(shù)的極限的基本問題有三類:(2) 求極限值求極限值.常按一元函數(shù)極限的求法求之常按一元函數(shù)極限的求法求之.(3) 研究二重極限與累次極限研究二重極限與累次極限(二次極限二次極限)間的間的(洛必達(dá)法則除外洛必達(dá)法則除外)關(guān)系關(guān)系.如極限的保號性、如極限的保號性、 無窮小與有界量的乘積仍無窮小與有界量的乘積仍極限的四則運算、極限的四則運算、 夾逼定理、夾逼定理、等價

23、無窮小替換乘除因子定理等價無窮小替換乘除因子定理.兩個重要兩個重要是無窮小、是無窮小、極限、極限、 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)30則當(dāng)則當(dāng) 22)0()0(0yx, 0 01sin)(lim),(lim22220000 yxyxyxfyxyx試試證證例例2證證 01sin)(2222yxyx22yx 22)0()0( yx2 取取 01sin)(2222yxyx有有證畢證畢.)0(22 yx22221sinyxyx 用定義用定義. . 用用P與與O分別表示點分別表示點(x, y)與與(0,0), 0 ,)()(02020 yyxx當(dāng)當(dāng), 0 )( 定義定義8.28.2有有

24、 Ayxf),(因為因為 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)31則當(dāng)則當(dāng) 22)0()0(0yx, 0 . 0),(lim,),()0,0(),(222 yxfyxyxyxfyx證證明明設(shè)設(shè)例例3證證222yxyx , 取取,0),( yxf有有證畢證畢.y 用用P與與O分別表示點分別表示點(x, y)與與(0,0), 因為因為 0),(yxf22yx ),(OP 用定義用定義. ., 0 ,)()(02020 yyxx當(dāng)當(dāng), 0 )( 定義定義8.28.2有有 Ayxf),( 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)32例例4 4 求極限求極限 .)sin(lim222

25、00yxyxyx 解解 22200)sin(limyxyxyx其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim01 222yxyx 0 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxxyyx22 )sin(lim200yxyx22yx yx2yx22| x yxu2 0 00用夾逼定理用夾逼定理. .所以所以 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)33).sin(1sin1sin1lim2233)0,0(),(yxyxxyyx 求求解解,)0 , 0(),(時時因因為為yx.)sin(2222yxyx所所以以故故原式原式 =)(1sin1sin1lim2233)0,0

26、(),(yxyxxyyx )(1sin1sinlimlim2233)0 , 0(),()0 , 0(),(yxyxxyyxyx .000 , 022yx 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)34設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)證明證明:當(dāng)當(dāng)P(x, y)沿沿x軸軸的方向的方向當(dāng)當(dāng)P(x, y)沿沿y軸軸的方向的方向),(lim0 xfx),(lim0yfy也有也有 , 0, 0, 0,),(222222yxyxyxxyyxf證證220lim xxx00lim0 x220limyyy 00lim0 y函數(shù)的函數(shù)的極限不存在極限不存在.,0, 0時時當(dāng)當(dāng)yx無限接近點無限接近點(0,0)時時,同樣同樣,無

27、限接近點無限接近點(0,0)時時,例例4000000 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)35函數(shù)的極限存在且相等函數(shù)的極限存在且相等.當(dāng)當(dāng)P (x, y) 沿直線沿直線 y = kx 的方向的方向2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨 k 的不同而變化的不同而變化.所以所以, 極限不存在極限不存在.說明函數(shù)取上面兩個說明函數(shù)取上面兩個無限接近于無限接近于點點(0,0)時時,另一方面另一方面,無限接近點無限接近點(0,0)時時,設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)證明證明: , 0, 0, 0,),(222222yxyxyxxyyxf函數(shù)的函數(shù)的極限不存在極

28、限不存在.,0, 0時時當(dāng)當(dāng)yx特殊方向特殊方向kx2)(kx 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)36極限極限 是否存在是否存在?24200limyxyxyx 取取,kxy 解解242yxyx ),(lim0yxfkxyx當(dāng)當(dāng)P(x, y)沿沿x軸軸的方向無限接近點的方向無限接近點(0,0)時時, 當(dāng)當(dāng)P(x, y)沿沿y軸軸的方向無限接近點的方向無限接近點(0,0)時時,)0 ,(lim0 xfx0 222243kxkxxkxkx ), 0(lim0yfy0 0lim220 kxkxkxyx0 錯錯!所以所以 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)37 極限不存在極限

29、不存在.取取,2xy 242yxyx 444xxx極限極限 是否存在是否存在?24200limyxyxyx 21此時可斷言此時可斷言 f (x, y)在點在點P0(x0, y0)找兩種不同趨近方式找兩種不同趨近方式,但兩者不相等但兩者不相等,),(lim00存在存在使使yxfyyxx處極限不存在處極限不存在.當(dāng)當(dāng)P(x, y)沿沿y軸軸的方向無限接近點的方向無限接近點(0,0)時時,), 0(lim0yfy0 思考思考: :還有別的方法還有別的方法? 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)38求極限求極限 .42lim00 xyxyyx解解 將將分母有理化分母有理化, 得得 42li

30、m00 xyxyyxxyxyxyyx )42(lim00)42(lim00 xyyx. 4 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)39求求答答: 0答答:不存在不存在.答答:不存在不存在.二次極限都不存在時二次極限都不存在時, , 0, 0, 0,1sin1sin),(xyxyxyyxyxf),(lim00yxfyx),(lim(lim00yxfyx),(lim(lim00yxfxy注注存在存在.二次極限與二重極限二次極限與二重極限有本質(zhì)的區(qū)別有本質(zhì)的區(qū)別,| ),(|yxyxf 因因為為但二重極限也可能但二重極限也可能二次極限二次極限與二重極限是兩個不同的概念與二重極限是兩個不同的

31、概念. 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)40四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性 設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù) f (P ) = f (x, y)的定義域為的定義域為D, 則稱函數(shù)則稱函數(shù)f (x, y)在點在點P0(x0, y0)連續(xù)連續(xù). .定義定義8.38.3),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx 如果如果如果函數(shù)如果函數(shù) f (x, y)在在D的每一點處都連續(xù)的每一點處都連續(xù),連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù). .P0 (x0, y0)是是D的聚點的聚點, ,0DP 且且例如例如, 函數(shù)函數(shù) 221),(yxxyyxf 在在(x, y)平面上平面上處處連續(xù)處處連續(xù).如果

32、對于任意給定的如果對于任意給定的, 0 P的去心鄰域的去心鄰域),( PU內(nèi)總有內(nèi)總有E中的點中的點(P本身可屬于本身可屬于E, 也可不屬于也可不屬于E ), 則稱則稱P是是E的的聚點聚點.則稱則稱函數(shù)函數(shù) f (x, y)在在D上連續(xù)上連續(xù), 或者稱函數(shù)或者稱函數(shù) f (x, y)是是D上的上的 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)41例例 5 證證 令令.sin,cos ryrx 0, 00),ln(),(222222yxyxyxxyyxf設(shè)設(shè) 證明證明: f ( x, y)在點在點(0,0)連續(xù)連續(xù).,)0 , 0(),(時時當(dāng)當(dāng)yx顯然有顯然有22yxr , 0于是于是 )

33、,(lim00yxfyx sincoslnlim220 rrr220lnlimsincosrrr 2201lnlimsincosrrr 0 ),0 , 0(f 所以所以f ( x, y)在點在點(0,0)連續(xù)連續(xù).)( 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)42設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x, y)的定義域為的定義域為D, 則稱點則稱點P0(x0, y0)為函數(shù)為函數(shù)f (x, y)的的間斷點間斷點. .定義定義8.48.4是是D的聚點的聚點, P0 (x0, y0)如果如果函數(shù)函數(shù) f (x, y)在點在點P0 (x0, y0)不連續(xù)不連續(xù), 122 yx的的間斷線間斷線.11),(22

34、yxyxf(0,0)是函數(shù)是函數(shù) 的的(0,0)點是該函數(shù)的點是該函數(shù)的間斷點間斷點. 函數(shù)函數(shù) 0, 0, 0,),(222222yxyxyxxyyxf函數(shù)的極限不存在函數(shù)的極限不存在,前面已證前面已證)221),(yxyxf 例如例如,的的間斷點間斷點;是函數(shù)是函數(shù)例如例如, ,0, 0(時時yx 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)43在空間直角坐標(biāo)系下在空間直角坐標(biāo)系下,平面區(qū)域平面區(qū)域E上的二元連上的二元連續(xù)函數(shù)續(xù)函數(shù) z = f (x, y)的圖形是在的圖形是在E上的一張上的一張“無孔無縫無孔無縫”的連續(xù)曲面的連續(xù)曲面.(分母不為零分母不為零)及復(fù)合仍是連續(xù)的及復(fù)合仍是

35、連續(xù)的.同一元函數(shù)一樣同一元函數(shù)一樣, 多元函數(shù)的和、差、積、商多元函數(shù)的和、差、積、商每個自變量的基本每個自變量的基本式子表達(dá)的函數(shù)稱為式子表達(dá)的函數(shù)稱為初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算和有限次復(fù)合初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算和有限次復(fù)合, 由一個由一個指包含在定義域內(nèi)的指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域區(qū)域或閉區(qū)域.一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是結(jié)論結(jié)論連續(xù)的連續(xù)的. .多元初等函數(shù)多元初等函數(shù). . 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)44例例6 6 求極限求極限 .)eln(lim2201yxxyyx 解解22)eln(),(yxxyxfy 由由于于是是初

36、等函數(shù)初等函數(shù),而而(1,0)在其定義域內(nèi)在其定義域內(nèi), 故故 f (x, y)在在(1,0)點處連續(xù)點處連續(xù),所以所以 2201)eln(limyxxyyx 01)e1ln(0. 2ln )(lim0PfPP由多元初等函數(shù)的連續(xù)性由多元初等函數(shù)的連續(xù)性,代入法代入法0P ).(f如果要求它在點如果要求它在點P0 處的極限處的極限, 而該點又在此函數(shù)的定義區(qū)域內(nèi)而該點又在此函數(shù)的定義區(qū)域內(nèi), 則極限則極限值就是函數(shù)在該點的函數(shù)值值就是函數(shù)在該點的函數(shù)值, 即即 8.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)45想一想想一想 如何證明如何證明 f (x, y)在在 , 0, 0, 0,)(sin),(222222yxyxyxyx