第九章 第5節(jié)

1、第5節(jié)橢圓最新考綱掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質(zhì)知 識 梳 理1橢圓的定義在平面內(nèi)與兩定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓這兩定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距其數(shù)學(xué)表達式：集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c為常數(shù)：(1)若ac，則集合P為橢圓；(2)若ac，則集合P為線段；(3)若ac，則集合P為空集2橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程1(a>b>0)1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍axabybbxbaya對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點頂點A1(a，0)，A2(a

2、，0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b，0)，B2(b，0)軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|2c離心率e(0，1)a，b，c的關(guān)系c2a2b2常用結(jié)論與微點提醒1橢圓的常用性質(zhì)(1)設(shè)橢圓1(ab0)上任意一點P(x，y)，則當x0時，|OP|有最小值b，P點在短軸端點處；當x±a時，|OP|有最大值a，P點在長軸端點處(2)橢圓的一個焦點、中心和短軸的一個端點構(gòu)成直角三角形，其中a為斜邊，a2b2c2.(3)已知過焦點F1的弦AB，則ABF2的周長為4a.2橢圓的范圍或最值問題常常涉及一些不等式例如，axa，b

3、yb，0e1等，在求橢圓相關(guān)量的范圍時，要注意應(yīng)用這些不等關(guān)系診 斷 自 測1思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“×”)(1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓()(2)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓()(3)橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形()(4)方程mx2ny21(m>0，n>0，mn)表示的曲線是橢圓()(5)1(a>b>0)與1(a>b>0)的焦距相同()解析(1)由橢圓的定義知，當該常數(shù)大于|F1F2|時，其軌跡才是橢圓，而常數(shù)等于|F1F2|時，其軌跡為線段F1F2，常數(shù)小于|F1F2|時，不存在這樣的圖形(2)

4、因為e，所以e越大，則越小，橢圓就越扁答案(1)×(2)×(3)(4)(5)2(2019·浙江卷)橢圓1的離心率是()A. B. C. D.解析由已知，a3，b2，則c，所以e.答案B3已知橢圓C：1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點若AF1B的周長為4，則C的方程為()A.1 B.y21C.1 D.1解析由橢圓的定義可知AF1B的周長為4a，所以4a4，故a，又由e，得c1，所以b2a2c22，則C的方程為1，故選A.答案A4(2019·全國卷)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短

5、軸長的，則該橢圓的離心率為()A. B. C. D.解析不妨設(shè)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點B(0，b)和一個焦點F(c，0)，則直線l的方程為1，即bxcybc0.由題意知×2b，解得，即e，故選B.答案B5(選修21P49A6改編)已知點P是橢圓1上y軸右側(cè)的一點，且以點P及焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形的面積等于1，則點P的坐標為_解析設(shè)P(x，y)，由題意知c2a2b2541，所以c1，則F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，由題意可得點P到x軸的距離為1，所以y±1，把y±1代入1，得x±，又x0，所以x，P點坐標為或.答案或6(2019·紹興月考

6、)若直線l與直線xy10垂直，其縱軸截距b，橢圓C的兩個焦點F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，且與直線l相切，則直線l的方程為_，橢圓C的標準方程為_解析因為直線l與直線xy10垂直，其縱軸截距b，所以直線l的方程為yx.設(shè)橢圓C的標準方程為1(a>b>0)，與直線l的方程聯(lián)立，消去y得(a2b2)x22a2x3a2a2b20，則(2a2)24(a2b2)(3a2a2b2)0，化簡得a2b23，又因為橢圓的兩個焦點的坐標為F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，所以a2b21，聯(lián)立解得a22，b21，所以橢圓的標準方程為y21.答案yxy21考點一橢圓的定義及其應(yīng)用【例1】 (1)如圖，圓O

7、的半徑為定長r，A是圓O內(nèi)一個定點，P是圓上任意一點，線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡是()A橢圓 B雙曲線 C拋物線 D圓(2)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(ab0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且F1PF260°，SPF1F23，則b_解析(1)連接QA.由已知得|QA|QP|.所以|QO|QA|QO|QP|OP|r.又因為點A在圓內(nèi)，所以|OA|OP|，根據(jù)橢圓的定義，點Q的軌跡是以O(shè)，A為焦點，r為長軸長的橢圓故選A.(2)由題意得|PF1|PF2|2a，又F1PF260°，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|c

8、os 60°|F1F2|2，所以(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4c2，所以3|PF1|PF2|4a24c24b2，所以|PF1|PF2|b2，所以SPF1F2|PF1|PF2|sin 60°×b2×b23，所以b3.答案(1)A(2)3規(guī)律方法(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個方面：一是判定平面內(nèi)動點的軌跡是否為橢圓；二是利用定義求焦點三角形的周長、面積、弦長、最值和離心率等(2)橢圓的定義式必須滿足2a|F1F2|.【訓(xùn)練1】 (1)已知橢圓1的兩個焦點是F1，F(xiàn)2，點P在該橢圓上，若|PF1|PF2|2，則PF1F2的面積是()A. B2

9、C2 D.(2)與圓C1：(x3)2y21外切，且與圓C2：(x3)2y281內(nèi)切的動圓圓心P的軌跡方程為_解析(1)由橢圓的方程可知a2，c，且|PF1|PF2|2a4，又|PF1|PF2|2，所以|PF1|3，|PF2|1.又|F1F2|2c2，所以有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即PF1F2為直角三角形，且PF2F1為直角，所以SPF1F2|F1F2|PF2|×2×1.(2)設(shè)動圓的半徑為r，圓心為P(x，y)，則有|PC1|r1，|PC2|9r.所以|PC1|PC2|10|C1C2|，即P在以C1(3，0)，C2(3，0)為焦點，長軸長為10的橢圓上，得點

10、P的軌跡方程為1.答案(1)A(2)1考點二橢圓的標準方程【例2】 (1)已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點，(，)，則橢圓方程為_(2)(一題多解)過點(，)，且與橢圓1有相同焦點的橢圓標準方程為_解析(1)設(shè)橢圓方程為mx2ny21(m，n>0，mn)由解得m，n.橢圓方程為1.(2)法一橢圓1的焦點為(0，4)，(0，4)，即c4.由橢圓的定義知，2a，解得a2.由c2a2b2可得b24.所以所求橢圓的標準方程為1.法二設(shè)所求橢圓方程為1(k<9)，將點(，)的坐標代入可得1，解得k5(k21舍去)，所以所求橢圓的標準方程為1.答案(1)1(2)1規(guī)律方法求橢

11、圓方程的基本方法是待定系數(shù)法，先定位，再定量，即首先確定焦點所在位置，然后根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組，如果焦點位置不確定，可設(shè)橢圓方程為mx2ny21(m0，n0，mn)，求出m，n的值即可【訓(xùn)練2】 (1)(2019·嘉興調(diào)研)已知橢圓的中心在原點，離心率e，且它的一個焦點與拋物線y24x的焦點重合，則此橢圓方程為()A.1 B.1C.y21 D.y21(2)已知F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)是橢圓C的兩個焦點，過F2且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點，且|AB|3，則C的方程為_解析(1)依題意，可設(shè)橢圓的標準方程為1(ab0)，由已知可得拋物線的焦點為(1，0)，所以c1，

12、又離心率e，解得a2，b2a2c23，所以橢圓方程為1，故選A.(2)依題意，設(shè)橢圓C：1(a>b>0)過點F2(1，0)且垂直于x軸的直線被曲線C截得弦長|AB|3，點A必在橢圓上，1.又由c1，得1b2a2.由聯(lián)立，得b23，a24.故所求橢圓C的方程為1.答案(1)A(2)1考點三橢圓的幾何性質(zhì)【例3】 (1)(2019·全國卷)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay2ab0相切，則C的離心率為()A. B. C. D.(2)已知橢圓E：1(a>b>0)的右焦點為F，短軸的一個端點為

13、M，直線l：3x4y0交橢圓E于A，B兩點若|AF|BF|4，點M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.解析(1)以線段A1A2為直徑的圓是x2y2a2，直線bxay2ab0與圓相切，所以圓心(0，0)到直線的距離da，整理為a23b2，即a23(a2c2)2a23c2，即，e，故選A.(2)設(shè)左焦點為F0，連接F0A，F(xiàn)0B，則四邊形AFBF0為平行四邊形|AF|BF|4，|AF|AF0|4，a2.設(shè)M(0，b)，則，1b<2.離心率e.答案(1)A(2)A規(guī)律方法(1)求橢圓離心率的方法直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解列出含有a，b，c

14、的齊次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解(2)利用橢圓幾何性質(zhì)求值或范圍的思路求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)問題時，要結(jié)合圖形進行分析，當涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系【訓(xùn)練3】 (1)已知橢圓：1(0b2)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，若|BF2|AF2|的最大值為5，則b的值是_(2)已知橢圓1(abc0，a2b2c2)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若以F2為圓心，bc為半徑作圓F2，過橢圓上一點P作此圓的切線，切點為T，且|PT|的最小值不小于(ac)，則橢圓的離心率e的取值范圍

15、是_解析(1)由橢圓的方程可知a2，由橢圓的定義可知，|AF2|BF2|AB|4a8，所以|AB|8(|AF2|BF2|)3，由橢圓的性質(zhì)可知過橢圓焦點的弦中，通徑最短，則3.所以b23，即b.(2)因為|PT|(bc)，而|PF2|的最小值為ac，所以|PT|的最小值為.依題意，有(ac)，所以(ac)24(bc)2，所以ac2(bc)，所以ac2b，所以(ac)24(a2c2)，所以5c22ac3a20，所以5e22e30.又bc，所以b2c2，所以a2c2c2，所以2e21.聯(lián)立，得e.答案(1)(2)考點四直線與橢圓的位置關(guān)系【例4】 (2019·紹興調(diào)測)已知點A(2，0)

16、，B(0，1)在橢圓C：1(a>b>0)上(1)求橢圓C的方程；(2)P是線段AB上的點，直線yxm(m0)交橢圓C于M，N兩點若MNP是斜邊長為的直角三角形，求直線MN的方程解(1)因為點A(2，0)，B(0，1)在橢圓1上，所以a2，b1，故橢圓C的方程為y21.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去y，得x2mxm210，則2m2>0，x1x22m，x1x22m22，|MN|x1x2|.當MN為斜邊時，解得m0，滿足>0，此時以MN為直徑的圓的方程為x2y2.點A(2，0)，B(0，1)分別在圓外和圓內(nèi)，即在線段AB上存在點P，此時直線MN的方程為yx，

17、滿足題意當MN為直角邊時，兩平行直線AB與MN間的距離d|m1|，所以d2|MN|2|m1|2(105m2)10，即21m28m40，解得m或m，又m>0，>0，所以m.過點A作直線MN：yx的垂線，可得垂足坐標為，垂足在橢圓外，即在線段AB上存在點P，所以直線MN的方程為yx，符合題意綜上所述，直線MN的方程為yx或yx.規(guī)律方法(1)解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單(2)設(shè)直線與橢圓的交點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，

18、則|AB| (k為直線斜率)提醒利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進行的，不要忽略判別式【訓(xùn)練4】 (2019·全國卷)設(shè)圓x2y22x150的圓心為A，直線l過點B(1，0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.(1)證明|EA|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；(2)設(shè)點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍(1)證明因為|AD|AC|，EBAC，故EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圓A的標準方程為(x1)

19、2y216，從而|AD|4，所以|EA|EB|4.由題設(shè)得A(1，0)，B(1，0)，|AB|2，由橢圓定義可得點E的軌跡方程為：1(y0)(2)解當l與x軸不垂直時，設(shè)l的方程為yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120.則x1x2，x1x2，所以|MN|x1x2|.過點B(1，0)且與l垂直的直線m：y(x1)，A到m的距離為，所以|PQ|24.故四邊形MPNQ的面積S|MN|PQ|12.可得當l與x軸不垂直時，四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12，8)當l與x軸垂直時，其方程為x1，|MN|3，|PQ|8，故四邊形MPNQ的面積為12

20、.綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為12，8).基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1橢圓1的焦距為2，則m的值等于()A5 B3 C5或3 D8解析當m>4時，m41，m5；當0<m<4時，4m1，m3.答案C2“2<m<6”是“方程1表示橢圓”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析若1表示橢圓則有2<m<6且m4.故“2<m<6”是“1表示橢圓”的必要不充分條件答案B3已知橢圓E的中心在坐標原點，離心率為，E的右焦點與拋物線C：y28x的焦點重合，A，B是C的準線與E的兩個交點，則|AB|()A3 B6 C9

21、 D12解析拋物線C：y28x的焦點坐標為(2，0)，準線方程為x2.從而橢圓E的半焦距c2.可設(shè)橢圓E的方程為1(ab0)，因為離心率e，所以a4，所以b2a2c212.由題意知|AB|2×6.故選B.答案B4設(shè)橢圓C：1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點，PF2F1F2，PF1F230°，則C的離心率為()A. B. C. D.解析在RtPF2F1中，令|PF2|1，因為PF1F230°，所以|PF1|2，|F1F2|.故e.故選D.答案D5(2019·麗水調(diào)研)橢圓ax2by21(a0，b0)與直線y1x交于A，B兩點，過原點與線

22、段AB中點的直線的斜率為，則的值為()A. B. C. D.解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則axby1，axby1，即axax(byby)，1，1，×(1)×1，故選B.答案B6(2019·金華十校模擬)在正方體ABCDA1B1C1D1中，點M，N分別是線段CD，AB上的動點，點P是A1C1D內(nèi)的動點(不包括邊界)，記直線D1P與MN所成角為，若的最小值為，則點P的軌跡是()A圓的一部分 B橢圓的一部分C拋物線的一部分 D雙曲線的一部分解析延長D1P交底面ABCD的內(nèi)部于點Q，連接QD，則D1QD為直線D1Q與底面ABCD所成的角，也就是直線D1P與M

23、N所成角的最小值，故D1QD，從而DD1Q，所以D1Q的軌跡是以D1D為軸，頂點為D1，母線D1Q與軸D1D的夾角為的圓錐面的一部分，則點P的軌跡就是該部分圓錐面與A1C1D面(不包括邊界)的交線，而A1C1D面所在平面與軸D1D斜交，故點P的軌跡是橢圓的一部分答案B二、填空題7(2019·臺州月考)焦距是8，離心率等于0.8.(1)若焦點在x軸，則橢圓的標準方程為_；(2)若焦點在y軸，則橢圓的標準方程為_解析由題意知解得又b2a2c2，b29，b3.當焦點在x軸上時，橢圓方程為1，當焦點在y軸上時，橢圓方程為1.答案(1)1(2)18(2019·浙東北教聯(lián)一模)設(shè)點P是

24、橢圓1(ab0)上異于長軸端點任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是其左、右焦點，O為中心，|PF1|·|PF2|OP|23b2，則此橢圓的離心率為_解析由點P的任意性，則不妨設(shè)點P位于短軸的端點，則|PF1|PF2|a，|OP|b，則由|PF1|·|PF2|OP|23b2，得a2b23b2，即，所以橢圓的離心率e.答案9(2019·溫州十校聯(lián)考)已知F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)為橢圓1(ab0)的兩個焦點，P為橢圓上一點，且·c2，則此橢圓離心率的取值范圍是_解析設(shè)P(x，y)，則·(cx，y)·(cx，y)x2c2y2c2，將y2b2x2代

25、入式解得x2，又x20，a2，2c2a23c2，e.答案10橢圓1上的一點P到兩焦點的距離的乘積為m，當m取最大值時，點P的坐標是_解析記橢圓的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，有|PF1|PF2|2a10.則m|PF1|·|PF2|25，當且僅當|PF1|PF2|5，即點P位于橢圓的短軸的頂點處時，m取得最大值25.點P的坐標為(3，0)或(3，0)答案(3，0)或(3，0)三、解答題11設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：1(ab0)的左、右焦點，M是C上一點且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個交點為N.(1)若直線MN的斜率為，求C的離心率；(2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|5

26、|F1N|，求a，b.解(1)根據(jù)c及題設(shè)知M，2b23ac.將b2a2c2代入2b23ac，解得或2(舍去)故C的離心率為.(2)由題意，知原點O為F1F2的中點，MF2y軸，所以直線MF1與y軸的交點D(0，2)是線段MF1的中點，故4，即b24a.由|MN|5|F1N|，得|DF1|2|F1N|.設(shè)N(x1，y1)，由題意知y10，則即代入C的方程，得1. 將及c代入得1.解得a7，b24a28，故a7，b2 .12已知點M(，)在橢圓C：1(ab0)上，且橢圓的離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)若斜率為1的直線l與橢圓C交于A，B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P(3，2)，

27、求PAB的面積解(1)由已知得解得故橢圓C的方程為1.(2)設(shè)直線l的方程為yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點為D(x0，y0)由消去y，整理得4x26mx3m2120，則x0m，y0x0mm，即D.因為AB是等腰三角形PAB的底邊，所以PDAB，即PD的斜率k1，解得m2.此時x1x23，x1x20，則|AB|x1x2|·3，又點P到直線l：xy20的距離為d，所以PAB的面積為S|AB|·d.能力提升題組13(2019·嘉興測試)橢圓C：1(a>b>0)的左焦點為F，若F關(guān)于直線xy0的對稱點A是橢圓C上的點，則橢圓C的離心率為()A. B. C. D.1解析設(shè)F(c，0)關(guān)于直線xy0的對稱點A(m，n)，則m，nc，代入橢圓方程可得1，并把b2a2c2代入，化簡可得e48e240，解得e24±2，又0e1，e1，故選D.答案D14已知直線l：ykx2過橢圓1(ab0)的上頂點B和左焦點F，且被圓x2y24截得的弦長為L，若L，則橢圓離心率e的取值范圍是()A. B.C. D.解析依題意