勾股定理經(jīng)典例題含答案

1、勾股定理經(jīng)典例題含答案11頁勾股定理是一個基本的初等幾何定理，直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那么a²+b²=c²，若a、b、c都是正整數(shù)，(a,b,c)叫做勾股數(shù)組。勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一個最著名的例子。遠(yuǎn)在公元前約三千年的古巴比倫人就知道和應(yīng)用勾股定理，還知道許多勾股數(shù)組。古埃及人也應(yīng)用過勾股定理。在中國，西周的商高提

2、出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。類型一：勾股定理的直接用法 1、在RtABC中，C=90° (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a. 思路點(diǎn)撥: 寫解的過程中，一定要先寫上在哪個直角三角形中，注意勾股定理的變形使用。 解析：(1) 在ABC中，C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在ABC中，C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在ABC中，C=90°

3、;，c=25，b=15,a= 舉一反三 【變式】:如圖B=ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,則AB的長是多少? 【答案】ACD=90° AD=13, CD=12 AC2 =AD2CD2 =132122 =25 AC=5 又ABC=90°且BC=3 由勾股定理可得 AB2=AC2BC2 =5232 =16 AB= 4 AB的長是4.類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用 2、如圖，已知：在中，. 求：BC的長. 思路點(diǎn)撥：由條件，想到構(gòu)造含角的直角三角形，為此作于D，則有，再由勾股定理計算出AD、DC的長，進(jìn)而求出BC的長. 解析：作于D，則因， （的兩個銳

4、角互余） （在中，如果一個銳角等于， 那么它所對的直角邊等于斜邊的一半）. 根據(jù)勾股定理，在中， . 根據(jù)勾股定理，在中， . . 舉一反三【變式1】如圖，已知：，于P. 求證：. 解析：連結(jié)BM，根據(jù)勾股定理，在中， . 而在中，則根據(jù)勾股定理有 . 又 （已知）， . 在中，根據(jù)勾股定理有 ， . 【變式2】已知：如圖，B=D=90°，A=60°，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。 分析：如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié)AC，或延長AB、DC交于F，或延長AD、BC交于點(diǎn)E，根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡單。 解析

5、：延長AD、BC交于E。 A=60°，B=90°，E=30°。 AE=2AB=8，CE=2CD=4， BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=。 DE2= CE2-CD2=42-22=12，DE=。 S四邊形ABCD=SABE-SCDE=AB·BE-CD·DE=類型三：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用 （一）用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離問題 3、如圖所示，在一次夏令營活動中，小明從營地A點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東60°方向走了到達(dá)B點(diǎn)，然后再沿北偏西30°方向走了500m到達(dá)目的地C點(diǎn)。 （1）求A、C兩點(diǎn)之間的距離。 （2）確定目的地C在營

6、地A的什么方向。 解析：（1）過B點(diǎn)作BE/AD DAB=ABE=60° 30°+CBA+ABE=180° CBA=90° 即ABC為直角三角形 由已知可得：BC=500m，AB= 由勾股定理可得： 所以 （2）在RtABC中， BC=500m，AC=1000m CAB=30° DAB=60° DAC=30° 即點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東30°的方向 舉一反三 【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門? 【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過，只要看

7、當(dāng)卡車位于廠門正中間時其高度是否小于CH如圖所示，點(diǎn)D在離廠門中線0.8米處，且CD， 與地面交于H 解：OC1米 (大門寬度一半)， OD0.8米 （卡車寬度一半） 在RtOCD中，由勾股定理得： CD.米， C.（米）.（米） 因此高度上有0.4米的余量，所以卡車能通過廠門 （二）用勾股定理求最短問題 4、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某地有四個村莊A、B、C、D，且正好位于一個正方形的四個頂點(diǎn)，現(xiàn)計劃在四個村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們設(shè)計了四種架設(shè)方案，如圖實(shí)線部分請你幫助計算一下，哪種架設(shè)方案最省電線 思路點(diǎn)撥：解答本題的思路是：最省電線

8、就是線路長最短，通過利用勾股定理計算線路長，然后進(jìn)行比較，得出結(jié)論 解析：設(shè)正方形的邊長為1，則圖（1）、圖（2）中的總線路長分別為 AB+BC+CD3，AB+BC+CD3 圖（3）中，在RtABC中 同理 圖（3）中的路線長為 圖（4）中，延長EF交BC于H，則FHBC，BHCH 由FBH 及勾股定理得： EAEDFBFC EF12FH1 此圖中總線路的長為4EA+EF 32.828>2.732 圖（4）的連接線路最短，即圖（4）的架設(shè)方案最省電線 舉一反三 【變式】如圖，一圓柱體的底面周長為20cm，高為4cm，是上底面的直徑一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，試求出爬行的

9、最短路程 解： 如圖，在Rt中，底面周長的一半cm， 根據(jù)勾股定理得 （提問：勾股定理） AC （cm）（勾股定理） 答：最短路程約為cm類型四：利用勾股定理作長為的線段 5、作長為、的線段。 思路點(diǎn)撥：由勾股定理得，直角邊為1的等腰直角三角形，斜邊長就等于，直角邊為和1的直角三角形斜邊長就是，類似地可作。 作法：如圖所示 （1）作直角邊為1（單位長）的等腰直角ACB，使AB為斜邊； （2）以AB為一條直角邊，作另一直角邊為1的直角。斜邊為； （3）順次這樣做下去，最后做到直角三角形，這樣斜邊、的長度就是 、。 舉一反三 【變式】在數(shù)軸上表示的點(diǎn)。 解析：可以把看作是直角三角形的斜邊， 為了有

10、利于畫圖讓其他兩邊的長為整數(shù)， 而10又是9和1這兩個完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是3和1。 作法：如圖所示在數(shù)軸上找到A點(diǎn)，使OA=3，作ACOA且截取AC=1，以O(shè)C為半徑， 以O(shè)為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)B即為。類型五：逆命題與勾股定理逆定理 6、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確 1原命題：貓有四只腳（正確） 2原命題：對頂角相等（正確） 3原命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)，到這條線段兩端距離相等（正確） 4原命題：角平分線上的點(diǎn)，到這個角的兩邊距離相等（正確） 思路點(diǎn)撥：掌握原命題與逆命題的關(guān)系。 解析：1. 逆命題：有四只腳的是貓（不正確） 2. 逆命題：相等的角是對頂角（不正確）

11、 3. 逆命題：到線段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上（正確） 4. 逆命題：到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個角的平分線上（正確） 總結(jié)升華：本題是為了學(xué)習(xí)勾股定理的逆命題做準(zhǔn)備。 7、如果ABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷ABC的形狀。 思路點(diǎn)撥：要判斷ABC的形狀，需要找到a、b、c的關(guān)系，而題目中只有條件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有從該條件入手，解決問題。 解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ： a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, (a-3)2+(b-4)2+(c-5

12、)2=0。 (a-3)20, (b-4)20, (c-5)20。 a=3，b=4，c=5。 32+42=52, a2+b2=c2。 由勾股定理的逆定理，得ABC是直角三角形。 總結(jié)升華：勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系的,在證明中也常要用到。 舉一反三【變式1】四邊形ABCD中，B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。 【答案】：連結(jié)AC B=90°，AB=3，BC=4 AC2=AB2+BC2=25（勾股定理） AC=5 AC2+CD2=169，AD2=169 AC2+CD2=AD2 ACD=90°（勾股定

13、理逆定理） 【變式2】已知:ABC的三邊分別為m2n2,2mn,m2+n2(m,n為正整數(shù),且mn),判斷ABC是否為直角三角形. 分析:本題是利用勾股定理的的逆定理， 只要證明:a2+b2=c2即可 證明： 所以ABC是直角三角形. 【變式3】如圖正方形ABCD，E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且BF=AB。 請問FE與DE是否垂直?請說明。 【答案】答：DEEF。 證明：設(shè)BF=a，則BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a, EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2； DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。 連接DF（如圖） DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=2

14、5a2。 DF2=EF2+DE2, FEDE。經(jīng)典例題精析類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長是20，求此直角三角形的面積。 思路點(diǎn)撥：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長度，求面積，可以先通過比值設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)勾股定理列出方程，求出未知數(shù)的值進(jìn)而求面積。 解析：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是3x，4x，根據(jù)題意得： （3x）2+（4x）2202 化簡得x216； 直角三角形的面積×3x×4x6x296 總結(jié)升華：直角三角形邊的有關(guān)計算中，常常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定理列方程（組）求解。 舉一反三 【變式1】等邊三角形的邊長

15、為2，求它的面積。 【答案】如圖，等邊ABC，作ADBC于D 則：BDBC（等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合） ABACBC2（等邊三角形各邊都相等） BD1 在直角三角形ABD中，AB2AD2+BD2，即：AD2AB2BD2413 AD SABCBC·AD 注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長為a，則其面積為a。 【變式2】直角三角形周長為12cm，斜邊長為5cm，求直角三角形的面積。 【答案】設(shè)此直角三角形兩直角邊長分別是x，y，根據(jù)題意得： 由（1）得：x+y7， （x+y）249，x2+2xy+y249 (3) (3)(2)，得：xy12 直角三角形的面積是xy

16、×126（cm2） 【變式3】若直角三角形的三邊長分別是n+1，n+2，n+3，求n。 思路點(diǎn)撥：首先要確定斜邊（最長的邊）長n+3，然后利用勾股定理列方程求解。 解：此直角三角形的斜邊長為n+3，由勾股定理可得： （n+1）2+（n+2）2（n+3）2 化簡得：n24 n±2，但當(dāng)n2時，n+11<0，n2 總結(jié)升華：注意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方，在題目沒有給出哪條是直角邊哪條是斜邊的情況下，首先要先確定斜邊，直角邊。 【變式4】以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（ ） A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，3

17、9，40 解析：此題可直接用勾股定理的逆定理來進(jìn)行判斷， 對數(shù)據(jù)較大的可以用c2a2+b2的變形：b2c2a2（ca）（c+a）來判斷。 例如：對于選擇D， 82（40+39）×（4039）， 以8，39，40為邊長不能組成直角三角形。 同理可以判斷其它選項(xiàng)。 【答案】：A 【變式5】四邊形ABCD中，B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。 解：連結(jié)AC B=90°，AB=3，BC=4 AC2=AB2+BC2=25（勾股定理） AC=5 AC2+CD2=169，AD2=169 AC2+CD2=AD2 ACD=90°

18、;（勾股定理逆定理） S四邊形ABCD=SABC+SACD=AB·BC+AC·CD=36類型二：勾股定理的應(yīng)用 2、如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且QPN30°，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP160m。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時，周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時間為多少秒？ 思路點(diǎn)撥：（1）要判斷拖拉機(jī)的噪音是否影響學(xué)校A，實(shí)質(zhì)上是看A到公路的距離是否小于100m, 小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段AB并計算其長

19、度。（2）要求出學(xué)校受影響的時間，實(shí)質(zhì)是要求拖拉機(jī)對學(xué)校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機(jī)行至哪一點(diǎn)開始影響學(xué)校，行至哪一點(diǎn)后結(jié)束影響學(xué)校。 解析：作ABMN，垂足為B。 在 RtABP中，ABP90°，APB30°， AP160， ABAP80。 （在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半） 點(diǎn) A到直線MN的距離小于100m, 這所中學(xué)會受到噪聲的影響。 如圖，假設(shè)拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛到點(diǎn)C處學(xué)校開始受到影響，那么AC100(m)， 由勾股定理得： BC21002-8023600, BC60。 同理，拖拉機(jī)行駛到點(diǎn)D處學(xué)校開始脫離影響

20、，那么，AD100(m)，BD60(m), CD120(m)。 拖拉機(jī)行駛的速度為 : 18km/h5m/s t120m÷5m/s24s。 答：拖拉機(jī)在公路 MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校會受到噪聲影響，學(xué)校受影響的時間為24秒。 總結(jié)升華:勾股定理是求線段的長度的很重要的方法,若圖形缺少直角條件,則可以通過作輔助垂線的方法,構(gòu)造直角三角形以便利用勾股定理。 舉一反三 【變式1】如圖學(xué)校有一塊長方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”。他們僅僅少走了_步路（假設(shè)2步為1m），卻踩傷了花草。 解析：他們原來走的路為3+47(m) 設(shè)走“捷徑”的路長為xm，則

21、 故少走的路長為752(m) 又因?yàn)?步為1m，所以他們僅僅少走了4步路?！敬鸢浮? 【變式2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個小三角形都是邊長為1的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。 （1）直接寫出單位正三角形的高與面積。 （2）圖中的平行四邊形ABCD含有多少個單位正三角形？平行四邊形ABCD的面積是多少？ （3）求出圖中線段AC的長（可作輔助線）。 【答案】（1）單位正三角形的高為，面積是。 （2）如圖可直接得出平行四邊形ABCD含有24個單位正三角形，因此其面積。 （3）過A作AKBC于點(diǎn)K（如圖所示），則在RtACK中， ，故類型三：數(shù)學(xué)思想方法（一）轉(zhuǎn)化的思想方法我們在求三角形的邊或角，或進(jìn)行推理論證時，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解決 3、如圖所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DEDF，若BE=12，CF=5求線段EF的長。 思路點(diǎn)撥：現(xiàn)已知