一階線性偏微分方程

1、第七章 一階線性偏微分方程例7-1 求方程組 通積分，其中為互不相等的常數(shù)。解 由第一個等式可得 ，即有 ，兩邊積分得方程組的一個首次積分 。由第二個等式可得 ，即有 ，兩邊積分得方程組的另一個首次積分 。由于，雅可比矩陣的秩為2，這兩個首次積分相互獨立，于是原方程組的通積分為 。評注：借助于方程組的首次積分求解方程組的方法稱為首次積分法。要得到通積分需要求得個獨立的首次積分，為組成方程組的方程個數(shù)。用雅可比矩陣的秩來驗證首次積分的獨立性。 例7-2 求方程組 的通解。解 由原方程組可得 即 這個方程關(guān)于變量和是可以分離的，因此易求得它的通積分為 這是原方程組的一個首次積分。 再次利用方程組，

2、得到 ，即有 由此得到原方程組的另一個首次積分 。由于，雅可比矩陣為，而，所以這兩個首次積分是相互獨立的，它們構(gòu)成方程組的通積分。采用極坐標(biāo)，令，由這兩個首次積分推得 由此解得 。因此微分方程組的通解為 ， ，另外，方程組有零解。評注：注意方程組的通積分與通解的關(guān)系，由通積分可以確定通解，但根據(jù)隱函數(shù)存在定理，通解不一定都能表示成顯式形式。例7-3 求解方程組 。解 把原方程組寫為 以上方程組中的兩式左右兩邊分別相乘，消去，得 ，由此得到一個首次積分 。于是 代入原方程組第二式，得 ，兩邊積分得 即 ，將代入，得到另一個首次積分 。并且容易驗證它與前一個首次積分是相互獨立的，于是這兩個首次積分

3、構(gòu)成方程組的通積分。評注：利用已得到的首次積分消去一部分未知函數(shù)，減少方程和未知函數(shù)的個數(shù)，以便得到另外的首次積分。例7-4 求解下列一階線性齊次偏微分方程。1）2）解 1） 特征方程組為，將三個分式作如下變化，則利用合比性質(zhì)，從而 ，由此得特征方程組的一個首次積分 。再將特征方程組三個分式作如下變化，從而 ，由此可得另一首次積分 。因為矩陣 的秩為2，所以這兩個首次積分相互獨立，因此所求方程的通解為其中為任意二元連續(xù)可微函數(shù)。2）特征方程組為由 可得一個首次積分為。再由 得 ，即，兩邊積分，有 ，得另一個首次積分。容易驗證這兩個首次積分相互獨立，因此所求方程的通解為其中為任意二元連續(xù)可微函數(shù)

4、。評注：利用比例的性質(zhì)是求首次積分的有效方法；求解一階線性偏微分方程實際上歸結(jié)為求解常微分方程（或方程組），此例正是利用積分因子轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)方程而得到一個首次積分。例7-5 解方程 ，其中是行列式的第三行第個元素對應(yīng)的代數(shù)余子式，而為已知可微函數(shù)。解 原方程的特征方程組為，由行列式的性質(zhì)，有 ，將特征方程組的三個分式作如下變化，由合比性質(zhì)得，于是有，由此得兩個首次積分，由所給方程知不可能全為零，所以這兩個首次積分還是獨立的，因此所求方程的通解為其中為任意二元連續(xù)可微函數(shù)。評注：注意行列式的意義及性質(zhì)。例7-6 求解方程，并求通過曲線的積分曲面。解 這是擬線性偏微分方程，其特征方程組為，由此得，解

5、得一個首次積分為。代入中得，解得另一個首次積分為。易知，是兩個獨立的首次積分，所以原方程的通解是其中為任意二元連續(xù)可微函數(shù)。將代入兩個獨立的首次積分，中，得，從而所求的曲面為。評注：求柯西問題的解時，關(guān)鍵是尋求任意常數(shù)之間的關(guān)系式，將首次積分代入即可得所求問題的解。例7-7 求以圓為準(zhǔn)線，為頂點的錐面方程。解 設(shè)以表示任一以原點為頂點的錐面方程，那么錐面在其上任一點的法線應(yīng)與過此點的向徑垂直，因為向徑全部位于錐面上。這樣，應(yīng)滿足方程，它的特征方程組為，它的兩個獨立的首次積分為 ，故以原點為頂點的錐面的一般方程為其中為任意二元連續(xù)可微函數(shù)。 要尋找過圓的錐面，先把代入首次積分中，得到；再以此代入

6、，即得所滿足的關(guān)系式為。最后，將首次積分代入此關(guān)系式中，得到所求的錐面方程為 或 。評注：先建立頂點在原點的錐面方程，再求滿足一定條件的特解。求特解類似于前一題。例7-8 求與橢圓面族正交，且通過直線的曲面。解 設(shè)與已知橢圓面族正交的曲面族為，則任一交點處它們的法線互相垂直，故應(yīng)滿足線性偏微分方程，它的特征方程組為，它的通積分為 。 要尋找通過直線的曲面，以代入首次積分中，得到，消去得到所滿足的關(guān)系式為。最后，將首次積分代入上關(guān)系式中，得到所求的曲面方程為 。評注：求解柯西問題有時直接從特征方程組的通積分入手得到任意常數(shù)之間的關(guān)系式，從而求得滿足條件特解。 例7-8 一直線在運動時常與一固定直線相交成定角，求它運動時所成曲面的方程。解 不妨設(shè)這一固定直線為軸，所求曲面方程為，則過曲面上任一點且與軸夾角為常角的直線一定在所求曲面上，此時若這條直線與軸的