超松弛迭代法

1、7.3逐次超松弛迭代法 SOR迭代公式逐次超松弛(Successive Over Relaxation)迭代法，簡(jiǎn)稱SOR迭代法，它是在GS法基礎(chǔ)上為提高收斂速度，采用加權(quán)平均而得到的新算法，設(shè)解方程(7.1.3)的GS法記為(7.3.1)再由與加權(quán)平均得 這里0稱為松弛參數(shù)，將(7.3.1)代入則得(7.3.2)稱為SOR迭代法，WTBX0稱為松弛因子，當(dāng)=1時(shí)(7.3.2)即為GS法，將(7.3.2)寫成矩陣形式，則得 即于是得SOR迭代的矩陣表示(7.3.3)其中(7.3.4) 按(7.1.7)分解，有.例7.7給定方程組精確解,用SOR法求解，分別取=1及=125.解用SOR迭代公式(

2、7.3.2)可得 取，迭代7次后分別為 若要精確到小數(shù)后7位，對(duì)=1(即GS法)需迭代34次，而對(duì)=1.25的SOR法，只需迭代14次.它表明松弛因子選擇的好壞，對(duì)收斂速度影響很大.  SOR迭代法收斂性根據(jù)迭代法收斂性定理，SOR法收斂的充分必要條件為，收斂的充分條件為，但要計(jì)算比較復(fù)雜，通常都不用此結(jié)論，而直接根據(jù)方程組的系數(shù)矩陣A判斷SOR迭代收斂性，下面先給出收斂必要條件.定理3.1設(shè)，則解方程的SOR迭代法收斂的必要條件是02.證明由SOR迭代矩陣的表達(dá)式(7.3.4)于是 另一方面，設(shè)的特征值為，由特征根性質(zhì)，有若SOR法收斂，則，由，則得02.證畢.定理3.2若對(duì)稱正定

3、，且02，則解Ax=b的SOR迭代法(7.3.3)對(duì)迭代收斂.證明設(shè)的特征值為(可能是復(fù)數(shù))，對(duì)應(yīng)特征向量x0,由(7.3.4)得因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣，故,上式兩邊與x作內(nèi)積，得(7.3.5)因A正定，故D也正定，記.又記，,由復(fù)內(nèi)積性質(zhì)得 于是由(7.3.5)有 由于A正定及02，故 于是 注：當(dāng)=1時(shí)SOR法即為GS法，故GS法也收斂，此即為定理2.5(1)的結(jié)論.對(duì)于SOR迭代法，松弛因子的選擇對(duì)收斂速度影響較大，關(guān)于最優(yōu)松弛因子研究較為復(fù)雜，且已有不少理論結(jié)果.下面只給出一種簡(jiǎn)單且便于使用的結(jié)論定理3.3設(shè)為對(duì)稱正定的三對(duì)角矩陣，是解方程(7.1.3)的J法迭代矩陣，若，記，則SOR法的最優(yōu)

4、松弛因子為(7.3.6)且(7.3.7)根據(jù)定理，,如圖7-1所示.由(7.3.7)可知，當(dāng)=1，時(shí)，收斂速度為.說明GS法比J法快一倍.圖7-1例7.8對(duì)例7.7中的方程組，用SOR迭代法求最優(yōu)松弛因子，并研究其收斂速度.解由于 是對(duì)稱正定的三對(duì)角矩陣，SOR迭代收斂.故，而SOR最優(yōu)松弛因子 故.若要使誤差，由 ，取k=12即可.例7.7中取=1.25已近似，故它收斂很快，實(shí)際計(jì)算時(shí)迭代14次可達(dá)到小數(shù)后7位精度.對(duì)=1的GS法，由達(dá)到與SOR法的同樣精度.迭代次數(shù)，故k34與實(shí)際計(jì)算結(jié)果相符.講解：SOR迭代法只是GS法與歸值的加權(quán)平均，計(jì)算公式為（），迭代矩陣為（7.3.4），通常只是

5、對(duì)A對(duì)稱正定的方程組使用SOR法，而松弛因子選擇較困難，一般選擇對(duì)于A為對(duì)稱正定的三對(duì)角陣則最好最有因子為，其中為J法的迭代矩陣。此時(shí)SOR的迭代矩陣譜半徑為，注意不要具體求，更不要去計(jì)算的特征值。如例7.8中所示，求得，則，從而可以求得SOR迭代的收斂速度. 【本章小結(jié)】1.本章主要內(nèi)容是用迭代法求解線性方程組，重點(diǎn)為J法，GS法和SOR迭代法，首先必須掌握各種迭代法的計(jì)算公式和迭代矩陣的表達(dá)式以及迭代法收斂的充分必要條件和充分條件，并用這些理論判別方程組Ax=b的收斂性，為此（1）對(duì)所構(gòu)造迭代法能寫出具體的迭代矩陣B并利用 判別方法收斂性。（2）對(duì)不滿足充分條件的方程組或A帶有參數(shù)的方程組判別收斂性通常要求迭代矩陣B的特征值及譜半徑 ，并由1判別迭代法是否收斂。（3）要掌握與迭代法相關(guān)的向量序列 及矩陣序列 的收斂性結(jié)論。（4）利用迭代矩陣譜半徑，計(jì)算迭代法漸近收斂速度,從而比較各種迭代法收斂的快慢。2用J法，GS法和SOR法求解方程組Ax=b.（1）對(duì)給定方程組寫出3種迭代法的計(jì)算公式，并能正確求出方程組的解（n較大時(shí)可用計(jì)算機(jī)編程計(jì)算）。（2）寫出J法GS法的迭代矩陣并利用迭代矩陣范數(shù)和譜半徑判別其收斂性。（3）對(duì)這3種方法首先要直接從方程的系數(shù)矩陣A判定是否嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)或不可約弱對(duì)角占優(yōu)或?qū)ΨQ