實(shí)驗(yàn)名稱(chēng)非線(xiàn)性方程求根方法111

1、探索實(shí)驗(yàn)1 非線(xiàn)性方程求根方法 一、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?理解非線(xiàn)性方程求根的過(guò)程和算法，學(xué)習(xí)用計(jì)算機(jī)求根的一些科學(xué)計(jì)算方法和簡(jiǎn)單的編程技術(shù)。 二、概念與結(jié)論1. 零點(diǎn)定理：設(shè)f(x)在區(qū)間a,b連續(xù),且f(a)f(b)<0, 則至少存在一點(diǎn)x Îa,b,使得f(x )=0。2. 非線(xiàn)性方程: 函數(shù)方程f（x）= 0 中若f(x)不是x的線(xiàn)性函數(shù), 則稱(chēng)f（x）= 0 為非線(xiàn)性方程, 特別若f(x)是n次多項(xiàng)式，則稱(chēng)f（x）= 0為n次多項(xiàng)式方程或代數(shù)方程；若f(x)是超越函數(shù)，則稱(chēng)f（x）= 0為超越方程。3. 方程¦(x)=0 的根： 使方程¦(x)=0成立的x值

2、稱(chēng)為方程¦(x)=0的根或函數(shù)¦(x)的零點(diǎn)，特別地，如果函數(shù)¦(x)可分解為 ¦(x)=（x-a）mg(x) 且g(a )¹0, 則稱(chēng)a是¦(x)的m重零點(diǎn)或¦(x)=0的m重根。 當(dāng)m=1時(shí)，稱(chēng)a是¦(x)的單根 或單零點(diǎn)。4. 簡(jiǎn)單迭代法收斂定理：定理1：假定迭代函數(shù)j(x) 滿(mǎn)足下列條件：1. 對(duì)任意 xa,b時(shí),有j(x) a,b 2. 存在正常數(shù) L<1，使對(duì)任意x1,x2 a,b 有 | j(x1) - j(x2 )|£L| x1 - x2 | 則j(x)在a,b內(nèi)有唯一的不動(dòng)點(diǎn)x*，

3、且對(duì)于任意初值 x0 a,b 由迭代公式 xk+1= j(xk)產(chǎn)生的數(shù)列xk均收斂于方程根x*。 如果將條件2改為| j¢(x) |£L ， x a,b，也有同樣的收斂結(jié)果。定理2：設(shè)x*是迭代函數(shù)j(x)的不動(dòng)點(diǎn)，m為正整數(shù)，且j（m）(x)在x*的鄰域N(x*)內(nèi)連續(xù),并有如下關(guān)系 j（k）(x*) = 0 ,k=0,1,m-1,j（m）(x*) ¹0則由 xk+1= j(xk)產(chǎn)生的數(shù)列xk在鄰域N(x*)內(nèi)是m階收斂的，且有極限 k®µ 時(shí) （ x* - xk+1 )/ （ x* - xk ) m Þ j（m）(x*) /m

4、!5. 簡(jiǎn)單迭代法誤差定理： 在簡(jiǎn)單迭代法收斂定理的條件下，有如下誤差估計(jì)式1) | x* - xk | £ | xk - xk-1 | L /(1-L)2) | x* - xk | £ | x1 - x0 | Lk /(1-L)6Newton迭代法收斂定理： 假定函數(shù)f (x)在 xa,b時(shí)滿(mǎn)足下列條件：1. f(a)f(b)<0 2.f¢(x ) ¹0, xa,b3. f¢¢ (x ) 存在且不變號(hào), xa,b則對(duì)于任意初值 x0 a,b ，只要f(x0)f¢¢ (x0 )³0,那么由Newto

5、n 迭代公式產(chǎn)生的數(shù)列xk一定收斂于方程根x*。三、程序中Mathematica語(yǔ)句解釋?zhuān)?. fx_=Input“鍵入函數(shù)f(x)=” 從鍵盤(pán)上輸入函數(shù)f(x)2. 變量= Input 從鍵盤(pán)上給變量賦值3.N精確數(shù)x 或 精確數(shù)x /N 將精確數(shù)x 轉(zhuǎn)化成近似實(shí)數(shù)4.N精確數(shù)x, 正整數(shù)n 將精確數(shù)x 轉(zhuǎn)化成具有n位有效數(shù)字的近似實(shí)數(shù)5.Print表達(dá)式1,表達(dá)式2, , 表達(dá)式n 在屏幕某一行上依次輸出表達(dá)式1,表達(dá)式2, 表達(dá)式n的值6. Dfx,x 求函數(shù)f(x)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)f¢(x)。7. If 條件, 語(yǔ)句1 如果條件成立,則執(zhí)行對(duì)應(yīng)的語(yǔ)句1，并將語(yǔ)句執(zhí)行結(jié)果作為If語(yǔ)

6、句的值，如果條件不成立，不執(zhí)行語(yǔ)句1。8.If 條件, 語(yǔ)句1, 語(yǔ)句2 根據(jù)條件的成立與否確定執(zhí)行哪一個(gè)語(yǔ)句，具體執(zhí)行為:條件成立時(shí)，執(zhí)行語(yǔ)句1，否則，執(zhí)行語(yǔ)句2，并將語(yǔ)句執(zhí)行結(jié)果作為If語(yǔ)句的值。9. Whiletest,body 當(dāng)test為T(mén)rue時(shí),計(jì)算body,重復(fù)對(duì)test的判斷和body的計(jì)算,直到test不為T(mén)rue時(shí)終止 。這里test為條件, body為循環(huán)體,通常由body控制test值的變化。如果test不為T(mén)rue,則循環(huán)體不做任何工作.四、方法與程序 非線(xiàn)性方程 f(x)=0求根的方法有區(qū)間法和迭代法兩大類(lèi)，二分法、弦位法就是區(qū)間法；簡(jiǎn)單迭代法和Newton迭代法

7、及其變形是迭代法。這里只給出二分法、簡(jiǎn)單迭代法和Newton迭代法構(gòu)造過(guò)程及程序。1二分法 二分法是最簡(jiǎn)單的求根方法，它是利用連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理，將含根區(qū)間逐此減半縮小，取區(qū)間的中點(diǎn)構(gòu)造收斂點(diǎn)列xk來(lái)逼近根 x* 的。1.1 二分法構(gòu)造過(guò)程： 設(shè)方程f(x)=0在(a,b)內(nèi)只有一實(shí)根，取a,b區(qū)間二等分的中點(diǎn)x0 =(a+b)/2。 若f(x0)=0,則x0是f(x)=0的實(shí)根 x* ，輸出近似根x0，終止；否則如果f(a)f(x0)<0 成立,則根x* 必在區(qū)間(a, x0)內(nèi),取a1=a,b1= x0；否則根x* 必在區(qū)間(x0,b)內(nèi),取a1= x0, b1=b。這樣,得到新區(qū)間

8、a1,b1,其長(zhǎng)度為a,b的一半,如此繼續(xù)下去,進(jìn)行k次等分后,得到一組不斷縮小的區(qū)間序列： a,b,a1,b1,.,ak,bk,和對(duì)應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)數(shù)列：x k = (ak+ bk )/2，k=0,1,2,.。其中每個(gè)區(qū)間都含有根x*，滿(mǎn)足： a,b É a1,b1 É.É ak,bk É且每個(gè)區(qū)間都是前一個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度的一半。由于 ak,bk的長(zhǎng)度為(b-a)/2k，當(dāng)k不斷變大時(shí),則有這些區(qū)間將收斂于一個(gè)點(diǎn)x* ,該點(diǎn)即為所求的根。 當(dāng)做到第k步時(shí)，有 e為給定精度，此時(shí)x k »x * 即為滿(mǎn)足要求的近似根。1.2 二分法算法： 1 計(jì)算a,b

9、區(qū)間的中點(diǎn)存放在變量x0中：x0 Ü(a+b)/22 如果函數(shù)值f(x0)=0,則x0是f(x)=0的實(shí)根 x* ，輸出根x0,終止3 如果函數(shù)值f(a)f(x0)<0,則b Ü x0 ，否則a Ü x04 如果b-a£e（e為給定的精度）,則輸出根的近似值(a+b)/2,終止，否則轉(zhuǎn)1。1.3 二分法程序：Clearxfx_=Input“鍵入函數(shù)f(x)=”;a= Input“鍵入左端點(diǎn)a=”;b=Input“鍵入右端點(diǎn)b=”;Print“a=”,a, “ b=”,b, “ f(x)=”,fxe1=10(-10);eps=Input“鍵入根的誤差

10、限eps=”;n=0;Whileb-a>eps,x=(a+b)/2;n=n+1;w=fx;IfAbsw<e1,Print“n=”,n, “ x=”,x, “ fx=”,w;Break;p=fa*w/N; Ifp<0,b=x,a=x;Print“n=”,n, “ x=”,x/N, “ eps=”,b-a/N說(shuō)明：本程序用于求非線(xiàn)性方程f(x)=0在區(qū)間a,b內(nèi)的根，這里要求f(x)在區(qū)間a,b連續(xù),且f(a)f(b)<0。程序執(zhí)行后，先通過(guò)鍵盤(pán)輸入函數(shù)f(x)和區(qū)間左端點(diǎn)a和右端點(diǎn)b及根的精度要求e，程序即可給出每次二分的次數(shù)和對(duì)應(yīng)的點(diǎn)列x k，其中最后輸出的結(jié)果即為所求

11、的根。程序中變量說(shuō)明：x：存放初值x 0和二分法中的x ka: 存放含根區(qū)間的左端點(diǎn)akb: 存放含根區(qū)間的右端點(diǎn)bke1:描述f(xk)=0的微小值,這里用|f(xk)|<e1表示f(xk)=0n: 存放二分次數(shù)注：語(yǔ)句Ifp<0,b=x,a=x中p的一定要是算出的數(shù)值，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。本程序中用“p=fa*w/N”而不用“p=fa*w”就是這個(gè)原因。 1.4 例題與實(shí)驗(yàn)1.用二分法求方程x ex =1 在0，1內(nèi)的根，要求誤差不超過(guò)0.001。解：令f(x)= xex 1，因?yàn)閒(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,所以可以用二分法。 執(zhí)行二分法程序后，在輸入的四

12、個(gè)窗口中按提示分別輸入x*Expx-1、0、1、0.001，每次輸入后用鼠標(biāo)點(diǎn)擊窗口的“OK”按扭，得如下輸出結(jié)果： a=0 b=1 f(x)=-1 + Ex xn=1 x=0.5 e=0.5n=2 x=0.75 e=0.25n=3 x=0.625 e=0.125n=4 x=0.5625 e=0.0625n=5 x=0.59375 e=0.03125n=6 x=0.578125 e=0.015625n=7 x=0.570312 e=0.0078125n=8 x=0.566406 e=0.00390625n=9 x=0.568359 e=0.00195312n=10 x=0.567383 e=0

13、.000976562此結(jié)果說(shuō)明共二分10次，求得的近似根為x=0.567383，其誤差為e=0.000976562。2. 簡(jiǎn)單迭代法 簡(jiǎn)單迭代法也稱(chēng)逐次代換法，是非線(xiàn)性方程求根中各類(lèi)迭代法的基礎(chǔ)，其涉及的處理方法、概念、和理論都易于推廣。2.1 簡(jiǎn)單迭代法構(gòu)造過(guò)程： 由于對(duì)方程做等價(jià)變換根不發(fā)生變化，將方程f(x)=0等價(jià)變形為x=j(x)，構(gòu)造迭代計(jì)算公式 xk+1= j(xk)取定初值x0，算出數(shù)列xk。如果xk收斂于x*，則有： 這說(shuō)明x*就是方程f(x)=0的根。 上面 x= j (x)稱(chēng)為不動(dòng)點(diǎn)方程， j (x)稱(chēng)為迭代函數(shù)。相的數(shù)列xk稱(chēng)為迭代數(shù)列。 2.2 簡(jiǎn)單迭代法算法： 1.

14、 輸入初值x0、迭代精度eps、迭代函數(shù)g(x)和迭代最大次數(shù)Nmax2. For k=1,2,Nmax2.1 x Üg(x0)2.2 如果|x-x0|<eps ,則輸出根x ，終止2.3 x0 Ü x3. 輸出迭代失敗，終止。2.3 簡(jiǎn)單迭代法程序：Clearx；nmax=500;gx_=Input"輸入迭代函數(shù)"x0=Input"輸入迭代初值"；eps=Input"輸入根的精度"Do x=Ngx0,10; t=Absx-x0/N; Print"x=",x," n="

15、,n," eps=",t;Ift<eps,Break;x0=x, n,1,nmax;Ift>eps,Print"迭代失敗"說(shuō)明：本程序用于求非線(xiàn)性方程f(x)=0在x0附近的根。程序執(zhí)行后，先通過(guò)鍵盤(pán)輸入迭代函數(shù)g(x)和迭代初值x0及根的精度要求eps，程序即可給出每次迭代的次數(shù)和對(duì)應(yīng)的點(diǎn)列x k，其中最后輸出的結(jié)果即為所求的根。如果迭代超出500次還沒(méi)有求出滿(mǎn)足精度的根則輸出迭代失敗提示。程序中變量說(shuō)明：x0：存放初值和迭代過(guò)程中的x kx: 存放迭代過(guò)程中的x k+1 nmax:存放迭代允許的最大次數(shù)注：迭代最大次數(shù)可以修改為其他數(shù)字。

16、 2.4例題與實(shí)驗(yàn) 2用迭代法求方程x3+2x2 +10x-20=0 在x=1附近的根，要求誤差不超過(guò)10-6。解：變換方程后獲得如下迭代格式：在輸入的四個(gè)窗口中按提示分別輸入x/(x2+2x+10)、1、0.0000001，每次輸入后用鼠標(biāo)點(diǎn)擊窗口的“OK”按扭，得如下輸出結(jié)果： x=1.538461538 n=1 eps=0.538462x=1.295019157 n=2 eps=0.243442x=1.401825309 n=3 eps=0.106806x=1.35420939 n=4 eps=0.0476159x=1.375298092 n=5 eps=0.0210887x=1.365

17、929788 n=6 eps=0.0093683x=1.370086003 n=7 eps=0.00415622x=1.368241024 n=8 eps=0.00184498x=1.369059812 n=9 eps=0.000818788x=1.368696398 n=10 eps=0.000363414x=1.368857689 n=11 eps=0.000161291x=1.368786103 n=12 eps=0.0000715861x=1.368817874 n=13 eps=0.0000317718x=1.368803773 n=14 eps=0.0000141013x=1.36

18、8810032 n=15 eps=6.25853 10-6x=1.368807254 n=16 eps=2.77771´10-6x=1.368808487 n=17 eps=1.23283´10-6x=1.36880794 n=18 eps=5.47164´10-7此結(jié)果說(shuō)明迭代18次，求得的近似根為x=1.36880794，其誤差為eps=5.47164´10-7。3用迭代法求x3-2x-5=0的正根，下面有三種不動(dòng)點(diǎn)方程:用計(jì)算實(shí)驗(yàn)的方法判定它們?cè)?x=2附近各自的收斂情況，選擇收斂的方法求此根，精確到6位小數(shù)。解：對(duì)第一種不動(dòng)點(diǎn)方程，在輸入的四個(gè)窗

19、口中按提示分別輸入(x3-5)/2、2、0.000001，每次輸入后用鼠標(biāo)點(diǎn)擊窗口的“OK”按扭，得如下輸出結(jié)果： x=6. n=1 eps=4.x=422. n=2 eps=416.x=1.50302886´108 n=3 eps=1.50302´108 x=6.790972232´1024 n=4 eps=6.79097´1024x=6.263626597´1074 n=5 eps=6.26363´1074x=4.914819518´10224 n=6 eps=4.91482´10224x=2.37439363

20、05´10674 n=7 eps=2.3743936305´10674x=2.677245217´102023 n=8 eps=2.677245217´102023x=Overflow迭代失敗 通過(guò)計(jì)算結(jié)果可以看到迭代數(shù)列和誤差都在不斷變大，以至后來(lái)產(chǎn)生益出錯(cuò)誤，因此，第一種迭代方法不收斂。 對(duì)第二種不動(dòng)點(diǎn)方程，在輸入的四個(gè)窗口中按提示分別輸入5/(x2-2)、2、0.000001，每次輸入后用鼠標(biāo)點(diǎn)擊窗口的“OK”按扭，得如下輸出結(jié)果： x=2.5 n=1 eps=0.5x=1.176470588 n=2 eps=1.32353x=-8.1179775

21、28 n=3 eps=9.29445x=0.07824535218 n=4 eps=8.19622x=-2.507676418 n=5 eps=2.58592x=1.165924862 n=6 eps=3.6736x=-7.804948517 n=7 eps=8.97087x=0.08486483045 n=8 eps=7.88981x=-2.509035085 n=9 eps=2.5939x=1.164074684 n=10 eps=3.67311x=-7.7527778 n=11 eps=8.91685x=0.08605027968 n=12 eps=7.83883x=-2.5092902

22、09 n=13 eps=2.59534x=1.163727809 n=14 eps=3.67302x=-7.743083432 n=15 eps=8.90681x=0.08627332547 n=16 eps=7.82936x=-2.509349974 n=45 eps=2.59568x=1.163646575 n=46 eps=3.673x=-7.740817031 n=47 eps=8.90446x=0.08632559676 n=48 eps=7.82714x=-2.509349974 n=49 eps=2.59568x=1.163646575 n=50 eps=3.673.迭代失敗通過(guò)

23、計(jì)算結(jié)果可以看到迭代數(shù)列沒(méi)有收斂的趨勢(shì)，且誤差雖然沒(méi)有不斷變大并具有震蕩特點(diǎn)，但不是不斷變小趨于零的。因此，第二種迭代方法不收斂。 對(duì)第三種不動(dòng)點(diǎn)方程，在輸入的四個(gè)窗口中按提示分別輸入(2x+5)(1/3）、2、0.000001，每次輸入后用鼠標(biāo)點(diǎn)擊窗口的“OK”按扭，得如下輸出結(jié)果： x=2.080083823 n=1 eps=0.0800838x=2.092350678 n=2 eps=0.0122669x=2.094216996 n=3 eps=0.00186632x=2.094500652 n=4 eps=0.000283656x=2.094543758 n=5 eps=0.00004

24、31053x=2.094550308 n=6 eps=6.55028´10-6x=2.094551303 n=7 eps=9.95374´10-7 計(jì)算結(jié)果可以看到迭代數(shù)列的收斂趨勢(shì)。結(jié)果說(shuō)明迭代7次，求得的近似根為x=2.094551303，其誤差為eps=59.95374´10-7。因此，第三種迭代方法收斂。 本實(shí)驗(yàn)說(shuō)明不是每種迭代都是收斂的。3. Newton迭代法 Newton迭代法也稱(chēng)切線(xiàn)法，是非線(xiàn)性方程求根方法中收斂的最快的方法，其涉及的近似處理方法很有代表性。 3.1 Newton迭代法構(gòu)造過(guò)程： 將方程f(x)=0 線(xiàn)性化處理為近似方程，然后用近似

25、方程獲得求根的迭代計(jì)算公式。具體為：設(shè)xk是f(x) = 0的一個(gè)近似根，把f(x)在 xk 處作泰勒展開(kāi)，得：取前兩項(xiàng)來(lái)近似代替f(x)(稱(chēng)為f(x)的線(xiàn)性化)，則得近似線(xiàn)性方程：設(shè) f¢(xk ) ¹0 ,令其解為 xk+1 ,得:上式稱(chēng)為求f(x)=0根的Newton(牛頓)迭代格式。 3.2 Newton迭代法算法： 1.輸入初值x0、迭代精度eps、函數(shù)f(x) 和迭代最大次數(shù)Nmax2.For k=1,2,Nmax1.1 如果|f¢(x0)|<eps1,則輸出“迭代失敗”提示并終止1.2 x Üx0-f (x0)/f¢ (x0

26、)1.3 如果|x-x0|<eps ,則輸出根x ，終止1.4 x0 Ü x2 輸出迭代失敗，終止。3.3 Newton迭代法程序：Clearx,f,g;fx_=Input"fx="gx_=Dfx,x;x0=Input"輸入迭代初值"eps1=0.00000000001;nmax=500;eps=Input"輸入精度控制eps="Dou1=gx0; IfAbsu1/N<eps1,Print"迭代法失效"Break; x=x0-fx0/u1; u1=Absx-x0/N; Print"x

27、=",x," n=",n," eps=",u1; Ifu1<eps,Break,x0=x, n,1,nmax;Ifu1>eps,Print"迭代失敗 "說(shuō)明：本程序用于求非線(xiàn)性方程f(x)=0在x0附近的根。程序執(zhí)行后，先通過(guò)鍵盤(pán)輸入迭代函數(shù)f(x)和迭代初值x0及根的精度要求eps，程序即可給出每次迭代的次數(shù)和對(duì)應(yīng)的點(diǎn)列x k，其中最后輸出的結(jié)果即為所求的根。如果迭代超出500次還沒(méi)有求出滿(mǎn)足精度的根則輸出迭代失敗提示。程序中變量說(shuō)明：x0：存放初值和迭代過(guò)程中的x kx: 存放迭代過(guò)程中的x k+1 nmax

28、:存放迭代允許的最大次數(shù)u1:臨時(shí)變量注：迭代最大次數(shù)可以修改為其他數(shù)字。 3.4例題與實(shí)驗(yàn) 4. 用Newton迭代法求方程x ex 1=0=0 在x=0.5附近的根，要求誤差不超過(guò)10-6。解：執(zhí)行Newton迭代法程序后在輸入的四個(gè)窗口中按提示分別輸入x*Expx-1、0.5、0.0000001，每次輸入后用鼠標(biāo)點(diǎn)擊窗口的“OK”按扭，得如下輸出結(jié)果： x=0.57102 n=1 eps=0.0710204x=0.567156 n=2 eps=0.00386487x=0.567143 n=3 eps=0.0000122782x=0.567143 n=4 eps=1.23477 10-10此結(jié)果說(shuō)明迭代4次，求得誤差為e=1.23477´10-10的近似根，最后顯示的近似根結(jié)果為x=0.567143，它只是部分表示，要看該近似根更詳細(xì)的表示（如看其中前10位數(shù)）可以再鍵入命令 Nx,10后有近似根的為0.5671432904。五、 思考1.如果方程f(x)=0在a,b上有多個(gè)根，怎樣用二分法求