高中數(shù)學(xué)推理與證明 4 反證法練習(xí) 北師大版選修12

1、第三章 推理與證明 4 反證法練習(xí) 北師大版選修1-2明目標(biāo)、知重點1.了解反證法是間接證明的一種基本方法.2.理解反證法的思考過程，會用反證法證明數(shù)學(xué)問題1反證法在證明數(shù)學(xué)命題時，先假定命題結(jié)論的反面成立，在這個前提下，若推出的結(jié)果與定義、公理、定理相矛盾，或與命題中的已知條件相矛盾，或與假定相矛盾，從而說明命題結(jié)論的反面不可能成立，由此斷定命題的結(jié)論成立，這種證明方法叫作反證法2反證法的證題步驟(1)作出否定結(jié)論的假設(shè)；(2)進(jìn)行推理，導(dǎo)出矛盾；(3)否定假設(shè)，肯定結(jié)論情境導(dǎo)學(xué)王戎小時候，愛和小朋友在路上玩耍一天，他們發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹上結(jié)滿了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，獨有王戎沒動，等

2、到小朋友們摘了李子一嘗，原來是苦的！他們都問王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎說：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結(jié)滿了李子，所以李子一定是苦的”這就是著名的“道旁苦李”的故事王戎的論述，運用的方法即是本節(jié)課所要學(xué)的方法反證法探究點一反證法的概念思考1通過情境導(dǎo)學(xué)得上述方法的一般模式是什么？答(1)假設(shè)原命題不成立(提出原命題的否定，即“李子苦”)，(2)以此為條件，經(jīng)過正確的推理，最后得出一個結(jié)論(“早被路人摘光了”)，(3)判定該結(jié)論與事實(“樹上結(jié)滿李子”)矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法稱為反證法思考2反證法證明的關(guān)鍵是經(jīng)過推理論證，得出矛

3、盾反證法引出的矛盾有幾種情況？答(1)與原題中的條件矛盾；(2)與定義、公理、定理、公式等矛盾；(3)與假設(shè)矛盾思考3反證法主要適用于什么情形？答要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰；如果從正面證明，需要分成多種情形進(jìn)行分類討論，而從反面進(jìn)行證明，只要研究一種或很少的幾種情形探究點二用反證法證明幾何問題例1已知直線a，b和平面，如果a，b，且ab，求證：a.證明因為ab，所以經(jīng)過直線a，b確定一個平面.因為a，而a，所以與是兩個不同的平面因為b，且b，所以b.下面用反證法證明直線a與平面沒有公共點假設(shè)直線a與平面有公共點P，如圖所示，則Pb，即點P是直線a與b的公

4、共點，這與ab矛盾所以a.反思與感悟數(shù)學(xué)中的一些基礎(chǔ)命題都是數(shù)學(xué)中我們經(jīng)常用到的明顯事實，它們的判定方法極少，宜用反證法證明正難則反是運用反證法的常見思路，即一個命題的結(jié)論如果難以直接證明時，可考慮用反證法跟蹤訓(xùn)練1 如圖，已知ab，a平面A.求證：直線b與平面必相交證明假設(shè)b與平面不相交，即b或b.若b，因為ba，a，所以a，這與aA相矛盾；如圖所示，如果b，則a，b確定平面.顯然與相交，設(shè)c，因為b，所以bc.又ab，從而ac，且a，c，則a，這與aA相矛盾由知，假設(shè)不成立，故直線b與平面必相交探究點三用反證法證明否定性命題例2 求證：不是有理數(shù)證明假設(shè)是有理數(shù)于是，存在互質(zhì)的正整數(shù)m，n

5、，使得，從而有mn，因此m22n2，所以m為偶數(shù)于是可設(shè)m2k(k是正整數(shù))，從而有4k22n2，即n22k2，所以n也為偶數(shù)這與m，n互質(zhì)矛盾由上述矛盾可知假設(shè)錯誤，從而不是有理數(shù)反思與感悟當(dāng)結(jié)論中含有“不”、“不是、“不可能”、“不存在”等否定形式的命題時，由于此類問題的反面比較具體，適于應(yīng)用反證法跟蹤訓(xùn)練2已知三個正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列，求證：，不成等差數(shù)列證明假設(shè)，成等差數(shù)列，則2，即ac24b，而b2ac，即b，ac24，()20.即，從而abc，與a，b，c不成等差數(shù)列矛盾，故，不成等差數(shù)列探究點四含至多、至少、唯一型命題的證明例3 若函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是

6、增函數(shù)，那么方程f(x)0在區(qū)間a，b上至多有一個實根證明假設(shè)方程f(x)0在區(qū)間a，b上至少有兩個實根，設(shè)、為其中的兩個實根因為 ，不妨設(shè)，又因為函數(shù)f(x)在a，b上是增函數(shù)，所以f()0，這與abc0矛盾，故a、b、c中至少有一個大于0.1證明“在ABC中至多有一個直角或鈍角”，第一步應(yīng)假設(shè)()A三角形中至少有一個直角或鈍角B三角形中至少有兩個直角或鈍角C三角形中沒有直角或鈍角D三角形中三個角都是直角或鈍角答案B2用反證法證明“三角形中至少有一個內(nèi)角不小于60”，應(yīng)先假設(shè)這個三角形中()A有一個內(nèi)角小于60 B每一個內(nèi)角都小于60C有一個內(nèi)角大于60 D每一個內(nèi)角都大于60答案B3“ab

7、Cab Dab或ab答案D4用反證法證明“在同一平面內(nèi)，若ac，bc，則ab”時，應(yīng)假設(shè)()Aa不垂直于c Ba，b都不垂直于cCab Da與b相交答案D5已知a0，證明：關(guān)于x的方程axb有且只有一個根證明由于a0，因此方程至少有一個根x.如果方程不止一個根，不妨設(shè)x1，x2是它的兩個不同的根，即ax1b，ax2b. ，得a(x1x2)0.因為x1x2，所以x1x20，所以應(yīng)有a0，這與已知矛盾，故假設(shè)錯誤所以，當(dāng)a0時，方程axb有且只有一個根呈重點、現(xiàn)規(guī)律1反證法證明的基本步驟(1)假設(shè)命題結(jié)論的反面是正確的；(反設(shè))(2)從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，推出與已知條件、公理、定義、定理、

8、反設(shè)及明顯的事實矛盾；(推繆)(3)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論是正確的(結(jié)論)2反證法證題與“逆否命題法”的異同反證法的理論基礎(chǔ)是逆否命題的等價性，但其證明思路不完全是證明一個命題的逆否命題反證法在否定結(jié)論后，只要找到矛盾即可，可以與題設(shè)矛盾，也可以與假設(shè)矛盾，還可以與定義、定理、公式、事實矛盾因此，反證法與證明逆否命題是不同的一、基礎(chǔ)過關(guān)1反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾這個矛盾可以是()與已知條件矛盾與假設(shè)矛盾與定義、公理、定理矛盾與事實矛盾A BC D答案D2否定：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”時正確的反設(shè)為()Aa，b，c都是偶數(shù)Ba，b，c都是奇數(shù)Ca，b，c

9、中至少有兩個偶數(shù)Da，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)答案D解析自然數(shù)a，b，c的奇偶性共有四種情形：3個都是奇數(shù)，1個偶數(shù)2個奇數(shù)，2個偶數(shù)1個奇數(shù)，3個都是偶數(shù)，所以否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”時正確的反設(shè)為“a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)”3有下列敘述：“ab”的反面是“ay或x0，x11且xn1(n1,2，)，試證：“數(shù)列xn對任意的正整數(shù)n都滿足xnxn1”，當(dāng)此題用反證法否定結(jié)論時應(yīng)為()A對任意的正整數(shù)n，有xnxn1B存在正整數(shù)n，使xnxn1C存在正整數(shù)n，使xnxn1D存在正整數(shù)n，使xnxn1答案D解析“任意”的反語是“存在一個”9.設(shè)a，b，c都是正數(shù)，

10、則三個數(shù)a，b，c()A都大于2 B至少有一個大于2C至少有一個不小于2 D至少有一個不大于2答案C解析假設(shè)a2，b2，c2，則(a)(b)(c)6.又(a)(b)(c)(a)(b)(c)2226，這與假設(shè)得到的不等式相矛盾，從而假設(shè)不正確，所以這三個數(shù)至少有一個不小于2.10.若下列兩個方程x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一個方程有實根，則實數(shù)a的取值范圍是_答案a2或a1解析若兩方程均無實根，則1(a1)24a2(3a1)(a1)0，a.2(2a)28a4a(a2)0，2a0，故2a0，abbcca0，abc0.求證：a0，b0，c0.證明用反證法：假設(shè)a，b，c不都是正數(shù)，

11、由abc0可知，這三個數(shù)中必有兩個為負(fù)數(shù)，一個為正數(shù)，不妨設(shè)a0，b0，則由abc0，可得c(ab)，又ab0，c(ab)(ab)(ab)，abc(ab)(ab)(ab)ab，即abbcca0，ab0，b20，a2abb2(a2abb2)0，即abbcca0矛盾，所以假設(shè)不成立因此a0，b0，c0成立12已知a，b，c(0,1)，求證：(1a)b，(1b)c，(1c)a不可能都大于.證明假設(shè)三個式子同時大于，即(1a)b，(1b)c，(1c)a，三式相乘得(1a)a(1b)b(1c)c，又因為0a1，所以0a(1a)()2.同理0b(1b)，0c(1c)，所以(1a)a(1b)b(1c)c，與矛盾，所以假設(shè)不成立，故原命題成立三、探究與拓展13.已知f(x)是R上的增函數(shù)，a，bR.證明下面兩個命題：(1)若ab0，則f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)若f(a)f(b)f(a)f(b)，則ab0.證明(1)因為