高等數(shù)學(xué)三2010新版

1、二、平面（一）平面的方程設(shè)平面 過(guò)點(diǎn)M0（ x0 , y0 , z0 ) ，它的一個(gè)法向量 n =（ A , B , C ) ，則平面的方程為此方程稱為平面的點(diǎn)法式方程。平面的一般方程為其中 n = ( A , B , C ）為該平面的法向量。 設(shè)一平面與 x 、 y 、 z 軸分別交于P（ a , 0 , 0 ）、 Q ( 0 , b , 0 ）和 R ( O , 0 ，c）三點(diǎn)（其中 a 0 , b 0 ，c 0 ) ，則該平面的方程為此方程稱為平面的截距式方程， a 、 b 、c依次稱為平面在 x 、 y 、 z 軸上的截距。對(duì)于一些特殊的三元一次方程，應(yīng)該熟悉它們的圖形的特點(diǎn)。如，在方

2、程 Ax By Cz + D = 0 中，當(dāng) D = 0 時(shí)，方程表示一個(gè)通過(guò)原點(diǎn)的平面；當(dāng) A = 0 時(shí)，方程表示一個(gè)平行于 x 軸的平面；當(dāng) A = B = 0 時(shí)，方程表示一個(gè)平行于 x Oy的平面。類似地，可得其他情形的結(jié)論。（二）兩平面的夾角兩平面的法向量的夾角稱為兩平面的夾角（通常指銳角）。設(shè)有平面 1, : Al x+ B1y Clz + D1 = 0 和平面 2 : A2 x+ B2y C2z + D2 = 0，則1和2的夾角由下式確定：由此可得1與2互相垂直相當(dāng)于A1A2+B1B2+C1C2=01與2平行相當(dāng)于空間一點(diǎn) P 0（ x 0，y0， z 0）到平面的距離，有以下

3、公式：（三）例題 【例 1-1-5 】求過(guò)三點(diǎn) Ml ( 2 , -1，4)、M2 （-l , 3 ，-2 ）和 M3( 0 , 2 , 3 ）的平面的方程。 由平面的點(diǎn)法式方程，得所求平面方程為【 例 1 -1 -6】 求兩平面 x - y + 2z - 6 = 0 , 2x + y +z- 5 0的夾角。 【 解 】 因?yàn)楣仕髪A角。 【例 1 - 1 -7】 平行于 x 軸且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 4 , 0 ，- 2 ）和點(diǎn)（ 2 , 1 , 1 ）的平面方程是【 解 】 由平面平行于 x 軸知，平面方程中 x 的系數(shù)為0，故（ A ）、（ B ）不正確。由平面經(jīng)過(guò)兩已知點(diǎn)，知（ C ）滿足，故選（

4、 C ）.三、直線（一）空間直線的方程設(shè)空間直線L是平面1 : Al x+ B1y Clz + D1 = 0 和平面 2 : A2 x+ B2y C2z + D2 = 0，的交線，則 L 的方程為。此方程稱為空間直線的一般方程。設(shè)直線 L 過(guò)點(diǎn) M 0（ x0 , y0 , z 0) ，它的一個(gè)方向向量為s=（m,n,p ) ，則直線 L 的方程為此方程稱為直線的對(duì)稱式方程。如設(shè)參數(shù) t 如下：此方程組稱為直線的參數(shù)式方程。（二）兩直線的夾角兩直線的方向向量的夾角叫做兩直線的夾角（通常指銳角）。設(shè)直線 L 1：和直線L2:則 L1 和 L2的夾角可由下式確定：由此可得 L 1和 L2 互相垂直

5、相當(dāng)于L 1和 L2平行相當(dāng)于（三）直線與平面的夾角直線和它在平面上的投影直線的夾角稱為直線與平面的夾角，通常規(guī)定。設(shè)直線的方程是平面的方程是則直線與平面的夾角由下式確定： 由此可得直線與平面垂直相當(dāng)于 直線與平面平行或直線在平面上相當(dāng)于 Am + Bn + CP = 0 （四）例題 【 例1- 1 -8 】 求過(guò)兩點(diǎn) M 1( 3 , -2,1)和M2( -1, 0, 2) 的直線方程?！窘?】 取 = （- 4 , 2 , 1 ) 為直線的方向向量，由直線的對(duì)稱式方程得所求直線方程為【 解 】 直線 L1和 L 2的方向向量依次為s1= (1,-4, 1)、s2=(2,-2,-1).設(shè)直線 L1 和 L2 的夾角為,則所以 則 L 的參數(shù)方程是【 解 】 由于兩平面的交線 L 與這兩平面的法線向量 nl =（ 1 ，-1 , 1 ) , n2 = （2， 1 , 1 ）都