三角恒等變換的技巧

1、巧用三角恒等變換凌云縣中學 毛昌強三角學中，有關求值、化簡、證明以及解三角方程與解幾何問題等，都經(jīng)常涉及到運用三角變換的解題方法與技巧，而三角變換主要為三角恒等變換。三角恒等變換在整個初等數(shù)學中涉及面廣，是常用的解題工具，而且由于三角公式眾多，方法靈活多變，若能熟練掌握三角恒等變換的技巧，不但能加深對三角公式的記憶與內(nèi)在聯(lián)系的理解，而且對發(fā)展數(shù)學邏輯思維能力，提高數(shù)學知識的綜合運用能力都大有益處。三角恒等變換是以三角基本關系式，誘導公式，和，差，倍角等公式為基礎的，三角變換的常見策略有：（1）發(fā)現(xiàn)差異；（2）尋找聯(lián)系；（3）合理轉(zhuǎn)換。概括起來就是：利用和，差，倍角等三角公式實行各種轉(zhuǎn)化，從而達

2、到問題解決的目的。三角變換是運算化簡的過程中運用較多的變換，提高三角變換能力，要學會創(chuàng)設條件，靈活運用三角公式，掌握運算，化簡的方法和技能。常用的數(shù)學思想方法技巧如下：一、知角求值一般所給出的角都是非特殊角。當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系，然后應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”；當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式。例1：已知，則（ ）A B C D解析：兩邊平方，再同時除以，得，或，代入，得到。選C。變式：已知向量與互相垂直，其中。（1）求和的值；（2）若，求的值。解析（1）由，即，又，所以。（2）因為。點評 已知

3、非特殊角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，一般用同角三角函數(shù)的關系式來解，它分為兩種情況：（1）一個角的某一個三角函數(shù)和這個角所在的象限或終邊落在哪個坐標軸上都是已知的，此類情況只有一組解；（2）一個角的某一個三角函數(shù)值是已知的，但角的范圍不確定，那么要根據(jù)已知的三角函數(shù)值確定這個角的值的象限或終邊落在哪個坐標軸上，然后分不同的情況來解。例1通過化簡后，求出的正切值，再直接用的二倍角的正切值得解，也可利用同角的三角函數(shù)基本關系式分別求出的值后求得，不過此時要注意角所在的象限。其實還可用猜想法，由于給出的數(shù)據(jù)及選項的唯一性，記這時符合要求，此時，代入可得選項C。變式中的第（2）小題用到了“

4、湊角法”。它是三角恒等變換中十分經(jīng)典的一種方法，常見的湊角技巧。，。二、逆用公式運用兩角和與差的正弦、余弦公式常能將有些三角式化簡，但深入觀察三角式的結構特征，有時能巧妙地逆用公式，不僅豐富了解題技巧，而且回味無窮。例2：若，則 。解析：由已知得所以， 即。變式（2013新課標全國II理）設為第二象限角，若，則 。解析 由在第二象限，且，所以。所以。點評 逆用公式常見的一些變形：逆用兩角和與差的正弦公式可求得，如例1，逆用兩角和與差的余弦公式可求得。形如；。三、化簡求值無條件的三角函數(shù)式的化簡求值問題是三角函數(shù)中的重要內(nèi)容，對于這類非特殊角的三角函數(shù)式，要求出具體數(shù)值，一般有以下三種途徑：（1

5、）化為特殊角的三角函數(shù)值；（2）化為正、負相消的項，先消去，再求值；（3）化為分子、分母形式，進行約分求值。例3：求的值。解析 原式=。變式：解析：原式=。點評 三角函數(shù)式的化簡求值，題型靈活多樣，生動有趣，例3應用了變角技巧“”，一般這類題化簡往往把其中一個角表示成一個特殊角與另一個角的和或差的形式?；嗊^程采用的手段常有化切為弦、配湊公式等重要方法。為了達到化簡的目的，將變成，這也是解決變式題的關鍵一步，這種“以退為進”的策略，常常有效。四、在解三角形中的運用高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識綜合起來命題，其中關鍵是三角變換，而三角變換主要是“變角、變函數(shù)名和變運算公式”，其中核心是“變角

6、”，即注意角之間的結構差異，彌補這種結構差異的依據(jù)就是三角公式。例4：（2013江西卷理）在中，角A,B,C所對的邊分別為，已知（1）求角的大?。唬?）若，求的取值范圍。解析（1）由已知得即有，因為，所以，又，可得。（2）由余弦定理有，因為，有點評 在三角形中考查三角函數(shù)式的變換是近年來高考的熱點，它是在新的載體上進行的三角變換。作為三角形問題，必然要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關三角形的性質(zhì)，及時進行邊角轉(zhuǎn)化，有利于發(fā)現(xiàn)解決問題的思路。但它畢竟是三角變換，只是角的范圍受到了限制，因此常見的三角變換方法和原則都適用。此題中先將轉(zhuǎn)化為再展開求出角B，在解三角形時，三角形內(nèi)角的正弦值一定為正，但該角不一定是銳角，也可能為鈍角（或直角），應注意分類討論，但三角形內(nèi)角的余弦值為正，該角一定為銳角，只有唯一解。例5（2013四川卷理）在中，角的對邊分別為，且。（