線性回歸方程——非線性方程轉化為線性方程

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上線性回歸方程非線性方程轉化為線性方程例1(2015·高考全國卷)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的宣傳費xi和年銷售量yii=1,2,8數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值. xyw46.65636.8289.81.61469108.8表中wi=xi ，w =18 i=18wi（I）根據(jù)散點圖判斷，y=a+bx與y=c+dx，哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；（II）根據(jù)（I）的判斷結果及表中

2、數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程；（III）已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關系為z=0.2y-x ，根據(jù)（II）的結果回答下列問題：（i）年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？（ii）年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2)，(un,vn),其回歸直線v=+u的斜率和截距的最小二乘估計分別為：=i=1n(ui-u)(vi-v)i=1n(ui-u)2，=v-u.【答案】()y=c+dx適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型；()y=100.6+68x；()(i)答案見解析；(ii)46.24千元.【解析】（I）由散點圖可以判斷，y

3、=c+dx適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型.（II）令w=x，先建立y關于w的線性回歸方程，由于d=i=18(wi-w)(yi-y)i=18(wi-w)2=108.81.6=68，c=y-dw=56368×6.8=100.6， y關于w的線性回歸方程為y=100.6+68w，因此y關于x的回歸方程為y=100.6+68x.（III）()由（II）知，當x=49時，年銷售量y的預報值y=100.6+6849=576.6，年利潤z的預報值為z=576.6×0.2-49=66.32. （）根據(jù)（II）的結果知，年利潤z的預報值z=0.2(100.6+68x)-x=-

4、x+13.6x+20.12，所以當x=13.62=6.8，即x=46.24時，z取得最大值. 故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預報值最大.例2某地級市共有中小學生，其中有7%學生在2017年享受了“國家精準扶貧”政策，在享受“國家精準扶貧”政策的學生中困難程度分為三個等次：一般困難、很困難、特別困難，且人數(shù)之比為5:3:2，為進一步幫助這些學生，當?shù)厥姓O立“專項教育基金”，對這三個等次的困難學生每年每人分別補助1000元、1500元、2000元。經(jīng)濟學家調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當?shù)厝司芍淠晔杖胼^上一年每增加n%，一般困難的學生中有3n%會脫貧，脫貧后將不再享受“精準扶貧”政策，很困難的學生中有

5、2n%轉為一般困難，特別困難的學生中有n%轉為很困難?，F(xiàn)統(tǒng)計了該地級市2013年到2017年共5年的人均可支配年收入，對數(shù)據(jù)初步處理后得到了如圖所示的散點圖和表中統(tǒng)計量的值，其中年份x取13時代表2013年， x與y（萬元）近似滿足關系式y(tǒng)=C12C2x，其中C1,C2為常數(shù)。（2013年至2019年該市中學生人數(shù)大致保持不變） 其中ki=log2yi， k=15i=15ki（）估計該市2018年人均可支配年收入；（）求該市2018年的“專項教育基金”的財政預算大約為多少？附：對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)u1,v1,u2,v2,un,vn，其回歸直線方程 v=u+ 的斜率和截距的最小二乘估計

6、分別為=i=1nui-uvi-vi=1nui-u2,=v-u.【答案】（）2.8（萬）;（）1624萬.【詳解】（）因為x=1513+14+15+16+17=15，所以i=15xi-x2=-22+-12+12+22=10. 由k=log2y得k=log2C1+C2x，所以C2=i=15xi-xki-ki=15xi-x2=110 ， log2C1=k-C2x=1.2-110×15=-0.3，所以C1=2-0.3=0.8，所以y=0.8×2x10.當x=18時，2018年人均可支配年收入y=0.8×21.8=0.8×3.5=2.8（萬）（）由題意知2017年

7、時該市享受“國家精準扶貧”政策的學生共×7%=14000人一般困難、很困難、特別困難的中學生依次有7000人、4200人、2800人， 2018年人均可支配收入比2017年增長0.8×21.8-0.8×21.70.8×21.7=20.1-1=0.1=10%所以2018年該市特別困難的中學生有2800×(1-10%)=2520人，很困難的學生有4200×(1-20%)+2800×10%=3640人一般困難的學生有7000×(1-30%)+4200×20%=5740人.所以2018年的“專項教育基金”的財政預

8、算大約為5740×1000+3640×1500+2520×2000=1624萬.例3近期，某公交公司分別推出支付寶和徽信掃碼支付乘車活動，活動設置了一段時間的推廣期，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用掃碼支付某線路公交車隊統(tǒng)計了活動剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次，用x表示活動推出的天數(shù)，y表示每天使用掃碼支付的人次(單位：十人次)，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表l所示：表1根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了如右圖所示的散點圖(1)根據(jù)散點圖判斷，在推廣期內(nèi)，y=a+bx與y=cdx(c，d均為大于零的常數(shù))哪一個適宜作為掃碼支付的人次y關于活動推出天數(shù)x的回歸方程類型?(給

9、出判斷即可，不必說明理由)；(2)根據(jù)(1)的判斷結果及表1中的數(shù)據(jù)，求y關于x的回歸方程，并預測活動推出第8天使用掃碼支付的人次；參考數(shù)據(jù)：其中i=1gyi,=17i=17i參考公式：對于一組數(shù)據(jù)u1,1,u2,2,un,n，其回歸直線=a+u的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：=i=1nuii-nui=1nui2-nu2,a=-u.【答案】（1）y=cdx（2）3470【詳解】（1）根據(jù)散點圖判斷，y=cdx適宜作為掃碼支付的人數(shù)y關于活動推出天數(shù)x的回歸方程類型； （2）y=cdx，兩邊同時取常用對數(shù)得：1gy=1g(cdx) =1gc+1gdx；設1gy=v, v=1gc+1gdx

10、x=4,v=1.54, i=17xi2=140， lgd=i=17xivi-7xvi=17xi2-7x2= 50.12-7×4×1.54140-7×42=728=0.25， 把樣本中心點(4,1.54)代入v=1gc+1gdx,得: lgc=0.54，v=0.54+0.25x，lgy=0.54+0.25x， y關于x的回歸方程式：y=100.54+0.25x=100.54×(100.25)x=3.47×100.25x； 把x=8代入上式，y=3.47×102=347； 活動推出第8天使用掃碼支付的人次為3470；例4近年來，隨著我國汽

11、車消費水平的提高，二手車流通行業(yè)得到迅猛發(fā)展某汽車交易市場對2017年成交的二手車交易前的使用時間（以下簡稱“使用時間”）進行統(tǒng)計，得到頻率分布直方圖如圖1 圖1 圖2（1）記“在2017年成交的二手車中隨機選取一輛，該車的使用年限在(8,16”為事件A，試估計A的概率；（2）根據(jù)該汽車交易市場的歷史資料，得到散點圖如圖2，其中x(單位：年)表示二手車的使用時間，y(單位：萬元)表示相應的二手車的平均交易價格由散點圖看出，可采用y=ea+bx作為二手車平均交易價格y關于其使用年限x的回歸方程，相關數(shù)據(jù)如下表（表中Yi=lnyi，Y=110i=110Yi）：根據(jù)回歸方程類型及表中數(shù)據(jù)，建立y關于

12、x的回歸方程；該汽車交易市場對使用8年以內(nèi)(含8年)的二手車收取成交價格4%的傭金，對使用時間8年以上(不含8年)的二手車收取成交價格10%的傭金在圖1對使用時間的分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值若以2017年的數(shù)據(jù)作為決策依據(jù)，計算該汽車交易市場對成交的每輛車收取的平均傭金附注：對于一組數(shù)據(jù)u1,v1,u2,v2,un,vn，其回歸直線v=+u的斜率和截距的最小二乘估計分別為=i=1nuivi-nuvi=1nui2-nu2,=v-u； 參考數(shù)據(jù)：e2.9519.1,e1.755.75,e0.551.73,e-0.650.52,e-1.850.16【答案】（1）0.40；（2）y=e

13、3.55-0.3x 0.29萬元【詳解】（1）由頻率分布直方圖得，該汽車交易市場2017年成交的二手車使用時間在8,12的頻率為0.07×4=0.28，在12,16的頻率為0.03×4=0.12 ,所以PA=0.28+0.12=0.40 （2）由y=ea+bx得lny=a+bx，即Y關于x的線性回歸方程為Y=a+bx 因為b=i=110xiYi-10xYi=110xi2-10x2=79.75-10×5.5×1.9385-10×5.52=-0.3，a=Y-bx=1.9-0.3×5.5=3.55所以Y關于x的線性回歸方程為Y=3.55-0

14、.3x， 即y關于x的回歸方程為y=e3.55-0.3x 根據(jù)中的回歸方程y=e3.55-0.3x和圖1，對成交的二手車可預測：使用時間在0，4的平均成交價格為e3.55-0.3×2=e2.9519.1，對應的頻率為0.2；使用時間在4，8的平均成交價格為e3.55-0.3×6=e1.755.75，對應的頻率為0.36；使用時間在8，12的平均成交價格為e3.55-0.3×10=e0.551.73，對應的頻率為0.28；使用時間在12，16的平均成交價格為e3.55-0.3×14=e-0.650.52，對應的頻率為0.12；使用時間在16，20的平均成交

15、價格為e3.55-0.3×18=e-1.850.16，對應的頻率為0.04所以該汽車交易市場對于成交的每輛車可獲得的平均傭金為0.2×19.1+0.36×5.75×4%+0.28×1.73+0.12×0.52+0.04×0.16×10%=0.290920.29萬元例5菜農(nóng)定期使用低害殺蟲農(nóng)藥對蔬菜進行噴灑，以防止害蟲的危害，但采集上市時蔬菜仍存有少量的殘留農(nóng)藥，食用時需要用清水清洗干凈，下表是用清水x(單位：千克)清洗該蔬菜1千克后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥y(單位：微克)的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的

16、值y（微克） x（千克） xywi=18xi-x2i=18wi-w2i=18xi-xyi-yi=18wi-wyi-y3381110374121751其中=x2（I）根據(jù)散點圖判斷，y=bx+a與y=dx2+c，哪一個適宜作為蔬菜農(nóng)藥殘量y與用水量x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；()若用解析式y(tǒng)=dx2+c作為蔬菜農(nóng)藥殘量y與用水量x的回歸方程，求出y與x的回歸方程(c，d精確到0.1)()對于某種殘留在蔬菜上的農(nóng)藥，當它的殘留量低于20微克時對人體無害，為了放心食用該蔬菜，請估計需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？(精確到0.1，參考數(shù)據(jù)52.236)附：參考公式：回歸方程y=a+bx中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：b=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2,a=y-bx【答案】（1）見解析； （2）y=-2.0x2+60.0；（3）需要用45千克的清水清