第13屆初二第2試

1、2002年度初二第二試“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽一、選擇題:(每小題5分,共50分)以下每題的四個(gè)選項(xiàng)中,僅有一個(gè)是正確的,請將表示正確答案的英文字母填在每題后面的圓括號內(nèi).1.若ab,a,b,都是有理數(shù),那么 ( ). (A)都是有理數(shù). (B)一個(gè)是有理數(shù),另一個(gè)是無理數(shù). (C)都是無理數(shù). (D)是有理數(shù)還是無理數(shù)不能確定.2.已知a>b>c,M=a2b+b2c+c2a,N=ab2+bc2+ca2,則M與N的大小關(guān)系是( ). (A)M<N (B)M>N (C)M=N (D)不確定的3.上午九點(diǎn)鐘的時(shí)候,時(shí)針與分針成直角,那么下一次時(shí)針與分針成直角的時(shí)間是( ).

2、 (A)9時(shí)30分 (B)10時(shí)5分; (C)10時(shí)5分 (D)9時(shí)32分4.有理數(shù)a、b、c滿足下列條件:a+b+c=0且abc<0,那么的值是( ). (A)是正數(shù) (B)是零 (C)是負(fù)數(shù) (D)不能確定是正數(shù)、負(fù)數(shù)或05.已知,其中m>0,那么a,b,c的大小關(guān)系是( ). (A)a>b>c (B)c>a>b; (C)a>c>b (D)b>c>a6.已知ABC中,A=60°,BC=a,AC=b,AB=c,AP是BC邊上的中線,則AP 的長是( ). (A);(B);(C);(D)7.(Figure 1) In the

3、 parallelogram ABCD,AD=2AB,a point M is mid- point of segment AD,CEAB,ifCEM=40°,then the value ofDME it( ). (A)150° (B)140° (C)135° (D)130°8.如圖,在四邊形ABCD中,E、F分別是兩組對邊延長線的交點(diǎn),EG、FG 分別平分BEC、DFC,若ADC=60°,ABC=80°,則EGF的大小是( ).(A)140° (B)130° (C)120° (D)110&#

4、176; 9.設(shè)ai=1989+i,當(dāng)i取1,2,3,100時(shí),得到100個(gè)分式(如i=5,則=),在這100個(gè)分式中,最簡分式的個(gè)數(shù)是( ). (A)50 (B)58 (C)63 (D)6510.一個(gè)長方體的棱長都是正整數(shù),體積是2002, 若對應(yīng)棱長相等的長方體算作同一種長方體,那么這樣的長方體( ) (A)有6種 (B)有12種 (C)有14種 (D)多于16種二、填空題:(每小題6分,共60分)11.某儲(chǔ)蓄所每年工資支出10萬元,其他固定支出每年17萬元. 對于吸收的存款每年應(yīng)付2.25%的利息,吸收來的存款全部存到上級銀行,可得年利率4.05%的內(nèi)部核算收入,那么該儲(chǔ)蓄所為使內(nèi)部核算

5、沒有虧損, 每年至少應(yīng)吸收存款_萬元.12.化簡,最后得_.13.設(shè)x,y都是有理數(shù),且滿足方程 ,那么x-y的值是_.14. 1516與3313的大小關(guān)系是1516_3313 . (填“>”,“<”或“=”)15.If N is natural number,and ,then the value of N is_.( natural number自然數(shù))16.如果,那么(2+a)(2+b)+b2=_.17.如圖所示的八個(gè)點(diǎn)處各寫一個(gè)數(shù)字,已知每個(gè)點(diǎn)處所寫的數(shù)字等于和這個(gè)點(diǎn)有線段相連的三個(gè)點(diǎn)處的數(shù)字的平均數(shù),則代數(shù)式:=_.18.2001年某種進(jìn)口轎車每輛標(biāo)價(jià)40萬元人民幣,買此

6、種車時(shí)還需另外交納汽車標(biāo)價(jià)的80%的關(guān)稅,我國加入WTO后,進(jìn)口車的關(guān)稅將逐漸下降.預(yù)計(jì)到2006年7月1日,關(guān)稅降到25%,又因?yàn)榭萍嫉陌l(fā)展使成本降低,到2006年7月1日,該種車的標(biāo)價(jià)降到2001年的65%,那么2006年7月1日后買一輛該種轎車將比2001 年少付人民幣_(tái)萬元.19.在ABC中,A=40°,H是ABC的垂心,且H不與B、C重合,則BHC的大小等于_.20.如圖,正九邊形ABCDEFGHI中,AE=1,那么AB+AC的長是_.三、解答題:(21題16分,22、23題各12分)要求:寫出推算過程.21.如圖,在銳角ABC中,AD、CE分別是BC、AB邊上的高,AD、

7、CE相交于F, BF的中點(diǎn)為P,AC的中點(diǎn)為Q,連接PQ、DE. (1)求證:直線PQ是線段DE的垂直平分線;(2)如果ABC是鈍角三角形,BAC>90°,那么上述結(jié)論是否成立? 請按鈍角三角形改寫原題,畫出相應(yīng)的圖形,并給予必要的說明.22.已知在等式中,a,b,c,d都是有理數(shù),x是無理數(shù),解答: (1)當(dāng)a,b,c,d滿足什么條件時(shí),s是有理數(shù); (2)當(dāng)a,b,c,d滿足什么條件時(shí),s是無理數(shù). 23.在線段AB上,先在A點(diǎn)標(biāo)注0,在B點(diǎn)標(biāo)注2002,這稱為第一次操作; 然后在AB的中點(diǎn)C處標(biāo)注=1001,稱為第二次操作;又分別在得到的線段AC、BC的中點(diǎn)D、E處標(biāo)注對

8、應(yīng)線段兩端所標(biāo)注的數(shù)字和的一半,即與,稱為第三次操作;照此下去,那么經(jīng)過11次操作之后,在線段AB上所有標(biāo)注的數(shù)字的和是多少?2002年度初二第二試“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽答案：一、1.當(dāng)兩數(shù)不等時(shí),兩數(shù)的差為有理數(shù),說明這兩數(shù)都是有理數(shù),所以是有理數(shù),選(A).2.M-N=(a2b+b2c+c2a)-(ab2+bc2+ca2)= a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b) a>b>c b-c>0,c-a<0,a-b>0 a2(b-c)0,b2(c-a)0,c2(a-b) 0 a2(b-c)+c2(a-b)>

9、; b2(c-a) M-N>0.選(B).3.把時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)速度以“度/分鐘”為單位, (度/分鐘) 分針轉(zhuǎn)動(dòng)速度是=6(度/分鐘) 再成直角所用時(shí)間為(分鐘) 所以下一次時(shí)針與分針成直角時(shí)間是分,選(D).4.由abc<0知a、b、c均不為0.(ab+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0 ab+bc+ca=-(a2+b2+c+2)<0，選(A)5.，a>b;, c>b,a>c a>c>b.選(C). 6.如圖延長中線AP到E,使PE=AP,連接EB,可得ABCAPC,E=PAC, BE=AC=b. PAB+E=CAB=60°

10、; ABE=120° 作EFAB延長線于F,EBF=180°-120°=60° BEF=300 BF=BE=b. 在RtBEF中,根據(jù)勾股定理:EF2=b2+. 在RtAEF中,根據(jù)勾股定理:AE=. PA=AE=. 選(B) 7.如圖,連接CM,作MNEC于N. ABCE MNAB,且MNCD,從N為梯形AECD的中位數(shù). 由MNCE,MN是EC邊中線,EMC為等腰, ECM=MEC=40°EMC=180°-2×40°=100° ECD=AEC=90°,MCD=90°-40°

11、;=50°, 又 DC=AD=DM,MCD=DMC=50°, EMD=EMC+CMD=100°+50°=150°.選(A) 8. 24=360°-(60°-E)-(180°-F) =220°+E+F 4=110°+E+F,C=3600-(4+2+3)=3600-1100-E-F-600+E-800+F =360°-110°-60°-80°=110° 選(D). 9.當(dāng)i=3n(n33);i=13n(n7);i=17n(n5)這些數(shù)時(shí);不是質(zhì)數(shù),

12、這樣的數(shù)共有: 33+7+5=45(個(gè)) 其中i=13×3=39,i=13×6=78與i=17×3=51時(shí),與i=3n中的39,78,51重復(fù), 所以不是質(zhì)數(shù)的數(shù)共有 45-3=42個(gè). 所以100個(gè)分式中最簡分式的個(gè)數(shù)是100-42=58個(gè). 選(B).10. x3=2002=1×2×7×11×13,把1、2、7、11、13組成三數(shù)的乘積. 有如下14種: 1×1×2002 1×2×1001 1×7×286 1×11×182 1×13

13、×154 1×14×143 1×22×91 1×26×77 2×7×143 7×11×26 11×2×91 13×2×77 14×11×13 22×7×13 選(C).二、11.設(shè)每年至少應(yīng)吸收存款x萬元, x=1500萬元 應(yīng)填1500.12.原式= = =.13., ,得 x-y=18.14.1516-3313=316·516-313·1113=313(35·56-1113

14、)=313(33·53·513-1113)=313(153·53-1113) 顯然,153·513-1113<0, 1516-3313<0, 填<.15. =53+3×52×2+3×3×(2)2+(2)3 =125+150+360+48=485+198. 當(dāng)取2.449時(shí),原式=969.9,N=969. 16.由原已知得 (1+a)(1+b)=(1-a)(1-b) a+b=0 原式=4+2a+2b+ab+b2=4+2（a+b）+ab+b2=4+ab+b2=4+b(a+b)=4.應(yīng)填417. 因?yàn)?

15、, , 設(shè)a+b+c+d=m,e+f+g+h=n,a+b+c+d=,m=,m=n,即a+b+c+d=e+f+g+h=. 18.根據(jù)題意,得 應(yīng)填39.519.分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況,如圖: 如圖1.由A=40°,得ABH=50° =40°,BHC=180°-=140° 如圖2.由A=40°,得=50° r=50 BHC=90°-r=90°-50°=40° 應(yīng)填140°或40°.20.正九邊形內(nèi)角和為(9-2)×1800=12600,每個(gè)內(nèi)角為14

16、00, CAB=(1800-1400)÷2=200連接AH,作HM,GN分別垂直AE于M,N. HAM=140°-2 ×20°-40°=60°,AHM=30° 設(shè)AM=EN=x,MN=y 四邊形HGNM是矩形,所以HG=y,即正九邊形邊長為y, 在RtAHM中,AHM=30° AH=2AM=2x AB+AC=y+2x 而x+y+x=1 2x+y=1 AB+AC=1, 應(yīng)填1.三、解答題(按參考答案,酌情給分)21.證明(1)連接PD、PE、QD、QE. 因?yàn)?CEAB,P是BF的中點(diǎn), 所以 BEF是直角三角形,且

17、 PE是RtBEF斜邊的中線, 所以 PE=BF. 又因?yàn)?ADBC, 所以 BDF是直角三角形,且PD是RtBDF斜邊的中線, 所以 PD=BF=PE, 所以 點(diǎn)P在線段DE的垂直平分線上. 同理可證,QD、QE分別是RtADC和RtAEC斜邊上的中線, 所以 QD=AC=QE, 所以 點(diǎn)Q也在線段DE的垂直平分線上. 所以 直線PQ垂直平分線段DE. (2)當(dāng)ABC為鈍角三角形時(shí),(1)中的結(jié)論仍成立. 如右圖,ABC是鈍角三角形,BAC>90°. 原題改寫為:如右圖,在鈍角ABC中,AD、CE分別是BC、AB邊上的高,DA 與CE的延長線交于點(diǎn)F,BF的中點(diǎn)為P,AC的中

18、點(diǎn)為Q,連接PQ、DE. 求證:直線PQ垂直且平分線段DE. 證明 連接PD,PE,QD,QE,則PD、PE分別是RtBDF和RtBEF的中線, 所以 PD=BF, PE=BF, 所以 PD=PE, 點(diǎn)P在線段DE的垂直平分線上. 同理可證 QD=QE, 所以 點(diǎn)Q在線段DE的垂直平分線上. 所以 直線PQ垂直平分線段DE.22.(1)當(dāng)a=c=0,d0時(shí), s=是有理數(shù). 當(dāng)c0時(shí),s=, 其中:是有理數(shù),cx+d是無理數(shù),是有理數(shù). 要使s為有理數(shù),只有=0,即 bc=ad. 綜上知,當(dāng)a=c=0且d0或c0且ac=bd時(shí),s是有理數(shù). (2)當(dāng)c=0,d0,且a0時(shí),s是無理數(shù). 當(dāng)c0時(shí),s= 其中: 是有理數(shù),cx+d是無理數(shù),是有理數(shù). 所以 當(dāng)0,即bcad,s為無理數(shù). 綜上知,當(dāng)c=0,a0,d0或c0,acbd時(shí),s是無理數(shù).23.設(shè)第n次操作后,線