新人教版七年級下冊數(shù)學(xué)平方根教案

1、課題6.1平方根(第1課時)【教學(xué)目標】1通過實際生活中的例子理解算術(shù)平方根的概念； 2會求非負數(shù)的算術(shù)平方根并會用符號表示【教學(xué)重點】算術(shù)平方根的概念和求法【教學(xué)難點】算術(shù)平方根的求法集體智慧【活動方案】個性調(diào)整情境引入：問題：學(xué)校要舉行美術(shù)作品比賽，小歐很高興，他想裁出一塊面積為的正方形畫布，畫上自己得意的作品參加比賽，這塊正方形畫布的邊長應(yīng)取多少？活動一 認識算術(shù)平方根1.探索：學(xué)生能根據(jù)已有的知識即正方形的面積公式：邊長的平方等于面積，求出正方形畫布的邊長為。接下來教師可以再深入地引導(dǎo)此問題：如果正方形的面積分別是1、9、16、36、，那么正方形的邊長分別是多少呢？學(xué)生會求出邊長分別是

2、1、3、4、6、，接下來教師可以引導(dǎo)性地提問：上面的問題它們有共同點嗎？它們的本質(zhì)是什么呢？這個問題學(xué)生可能總結(jié)不出來，教師需加以引導(dǎo)。上面的問題，實際上是已知一個正數(shù)的平方，求這個正數(shù)的問題。2.歸納：算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2=a那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根。算術(shù)平方根的表示方法：a的算術(shù)平方根記為，讀作“根號a”或“二次很號a”，a叫做被開方數(shù)?；顒佣?求非負數(shù)的算術(shù)平方根例1、 求下列各數(shù)的算術(shù)平方根： 解：因為所以的算術(shù)平方根是，即；因為，所以的算術(shù)平方根是，即；因為，所以的算術(shù)平方根是，即；因為，所以的算術(shù)平方根是，即；因為，所以的算術(shù)平方根是

3、，即。注：根據(jù)算術(shù)平方根的定義解題，明確平方與開平方互為逆運算；求帶分數(shù)的算術(shù)平方根，需要先把帶分數(shù)化成假分數(shù)，然后根據(jù)定義去求解； 0的算術(shù)平方根是0.由此例題教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考如下問題：你能求出1,36,100的算術(shù)平方根嗎？任意一個負數(shù)有算術(shù)平方根嗎？歸納：一個正數(shù)的算術(shù)平方根有1個；0的算術(shù)平方根是0；負數(shù)沒有算術(shù)平方根.即：只有非負數(shù)有算術(shù)平方根，如果有意義，那么.注：且這一點對于初學(xué)者不太容易理解，教師不要強求，可以在以后的教學(xué)中慢慢滲透。例2、 求下列各式的值：（1） （2） （3） （4）分析：此題本質(zhì)還是求幾個非負數(shù)的算術(shù)平方根。解：（1） （2） （3） （4）例3、 求

4、下列各數(shù)的算術(shù)平方根： 解：(1)因為，所以；因為，所以；因為，所以；因為，所以。根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和理解能力可進行如下總結(jié)：1、由，可得2、由，可得教師需強調(diào)時對兩種情況都成立.課堂小結(jié):1、這節(jié)課學(xué)習(xí)了什么呢？2、算術(shù)平方根的具體意義是怎么樣的？3、怎樣求一個正數(shù)的算術(shù)平方根？ 【課堂檢測】1算術(shù)平方根等于本身的數(shù)有 .2求下列各式的值.， ， ， 3求下列各數(shù)的算術(shù)平方根.， ， ， ，4已知求的值. 課題6.1平方根(第2課時)【教學(xué)目標】1.了解無限不循環(huán)小數(shù)的特點；會用算術(shù)平方根的知識解決實際問題; 2. 通過探究的大小，培養(yǎng)學(xué)生的估算意識，了解兩個方向無限逼近的數(shù) 學(xué)思想.【教學(xué)

5、重點】認識無限不循環(huán)小數(shù)的特點，會估算一些數(shù)的算術(shù)平方根?！窘虒W(xué)難點】認識無限不循環(huán)小數(shù)的特點，會估算一些數(shù)的算術(shù)平方根。集體智慧【活動方案】個性調(diào)整活動一 討論的大小怎樣用兩個面積為1的小正方形拼成一個面積為2的大正方形？如圖，把兩個小正方形沿對角線剪開，將所得的4個直角三角形拼在一起，就得到一個面積為2的大正方形。你知道這個大正方形的邊長是多少嗎？設(shè)大正方形的邊長為，則，由算術(shù)平方根的意義可知，所以大正方形的邊長為。由上面的實驗我們認識了，它的大小是多少呢？它所表示的數(shù)有什么特征呢？下面我們討論的大小。因為，所以.因為，所以。因為，所以因為，所以如此進行下去，我們發(fā)現(xiàn)它的小數(shù)位數(shù)無限，且小

6、數(shù)部分不循環(huán)，像這樣的數(shù)我們成為無限不循環(huán)小數(shù)。=注：這種估算體現(xiàn)了兩個方向向中間無限逼近的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生第一次接觸，不好理解，教師在講解時速度要放慢，可能需要講兩遍。=，是個無限不循環(huán)小數(shù)，但是很抽象，沒有辦法全部表示出來它的大小，類似這樣的數(shù)還有很多，比如等，圓周率也是一個無限不循環(huán)小數(shù)?；顒佣?探索規(guī)律大多數(shù)計算器都有“”鍵，用它可以求出一個有理數(shù)的算術(shù)平方根或近似值。例1、 用計算器求下列各式的值：； （精確到解：（1）依次按鍵，顯示：56.所以（2）依次按鍵2=，顯示：，這是一個近似值。所以注：不同品牌的計算器，按鍵的順序可能有所不同。例2 用計算器計算， ， ，的近似值.寫出你發(fā)現(xiàn)

7、的規(guī)律.你能利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出的值嗎？學(xué)生通過計算器可求出（1）的答案，依次是：。從運算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，被開方數(shù)擴大或縮小100倍時，它的算術(shù)平方根就擴大或縮小10倍。由可得，由的值不能求出的值，因為規(guī)律是被開方數(shù)擴大或縮小100倍時，它的算術(shù)平方根才擴大或縮小10倍，而3到30擴大的是10倍，所以不能由此規(guī)律求出。此題學(xué)生可獨立完成?；顒尤?實際應(yīng)用：例1 小麗想用一塊面積為的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為的長方形紙片，使它的長與寬之比為：，不知道能否裁出來，正在發(fā)愁，小明見了說：“別發(fā)愁，一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片?！蹦阃庑∶鞯恼f法嗎？小麗能否用這塊紙片裁出符合要

8、求的紙片嗎？分析：學(xué)生一般認為一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片。通過計算和講解糾正這種錯誤的認識。解：設(shè)長方形紙片的長為，寬為。根據(jù)邊長與面積的關(guān)系可得：，長方形紙片的長為。因為，所以，從而即長方形紙片的長應(yīng)該大于，而已知正方形紙片的邊長只有，這樣長方形紙片的長將大于正方形紙片的邊長。答：不能同意小明的說法。小麗不能用這塊正方形紙片裁出符合要求的長方形紙片。課堂小結(jié)：1被開方數(shù)增大或縮小時，其相應(yīng)的算術(shù)平方根也相應(yīng)地增大或縮小，因此我們可以利用夾值的方法來求出算術(shù)平方根的近似值；2利用計算器可以求出任意正數(shù)的算術(shù)平方根的近似值；3被開方數(shù)擴大（或縮?。┡c它的算術(shù)平方根擴大（或縮?。?/p>

9、的規(guī)律是怎樣的呢？4怎樣的數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)？課堂檢測1.估計大?。海?）與 （2）與2.已知，求，的值。課題6.1平方根（第3課時）【教學(xué)目標】1.了解平方根的概念，會用根號表示正數(shù)的平方根；2.了解開平方與平方互為逆運算，會用平方運算求某些非負數(shù)的平方根【教學(xué)重點】 了解開方和乘方互為逆運算，弄懂平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別和聯(lián)系.【教學(xué)難點】平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別和聯(lián)系.集體智慧【活動方案】個性調(diào)整活動一 思考歸納，引入概念如果一個數(shù)的平方等于9，這個數(shù)是多少？學(xué)生思考并討論，使學(xué)生明白這樣的數(shù)有兩個，它們是3和3。受前面知識的影響學(xué)生可能不易想到3這個數(shù)，這時可提醒學(xué)生，這里的這個數(shù)可以

10、是負數(shù)。注意（3）29中括號的作用。又如：x2，則x等于多少呢？使學(xué)生完成課本165頁的填表練習(xí)。填表：1163649給出平方根的概念：如果一個數(shù)的平方等于，那么這個數(shù)就叫做的平方根即：如果x2a，那么x叫做的平方根。求一個數(shù)的平方根的運算，叫做開平方。例如：3的平方等于9，9的平方根是3，所以平方與開平方互為逆運算。觀察：課本45頁中的圖612。圖612中的兩個圖描述了平方與開平方互為逆運算的運算過程，揭示了開平方運算的本質(zhì)。讓學(xué)生體驗平方和開平方的互逆關(guān)系，并根據(jù)這個關(guān)系說出1，4，9的平方根。注意：這階段主要是讓學(xué)生建立平方根的概念，先不引入平方根的符號，給出的數(shù)是完全平方數(shù)。例1（課本

11、45頁的例4）求下列各數(shù)的平方根：（1）100；（2）；（3）025.建議：教師要規(guī)范書寫格式?；顒佣?討論歸納，深化概念按照平方根的概念，請同學(xué)們思考并討論下列問題：正數(shù)的平方根有什么特點？0的平方根是多少？負數(shù)有平方根嗎？建議：可引導(dǎo)學(xué)生通過觀察x2a中的a和x的取值范圍和取值個數(shù)得出。注：學(xué)生剛開始接觸平方根時，有兩點可能不太習(xí)慣，一個是正數(shù)有兩個平方根，即正數(shù)進行開平方運算有兩個結(jié)果，這與學(xué)生過去遇到的運算結(jié)果惟一的情況有所不同，另一個是負數(shù)沒有平方根，即負數(shù)不能進行開平方運算，這種某數(shù)不能進行某種運算的情況在有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方五種運算中一般不會遇到（0作除數(shù)的情況除外）。教

12、學(xué)時，可以通過較多實例說明這兩點，并在本節(jié)以后的教學(xué)中繼續(xù)強化這兩點。引入符號：正數(shù)a的算術(shù)平方根可用表示；正數(shù)a的負的平方根可用表示。例如思考：表示什么意思，這里的x可取什么樣的數(shù)呢？而對于又該怎樣理解呢？這里的x又可取什么樣的數(shù)呢？活動三 應(yīng)用知識例2 下列各式是否有意義，為什么？（1）；（2）；（3）；（4）.例3 下列各數(shù)有平方根嗎？如果有，求出它的平方根；如果沒有，說明理由。64，0，（4）2，102如果有要用平方根的符號來表示。例4 求下列各式的值：（1）；（2）；（3）.建議：要讓學(xué)生明白各式所表示的意義；根據(jù)平方關(guān)系和平方根概念的格式書寫解題格式平方根和算術(shù)平方根的概念是本章重

13、點內(nèi)容，兩者既有區(qū)別又有聯(lián)系。區(qū)別在于正數(shù)的平方根有兩個，而它的算術(shù)平方根只有一個；聯(lián)系在于正數(shù)的負平方根是它的算術(shù)平方根的相反數(shù)，根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立即寫出它的負平方根，因此我們可以利用算術(shù)平方根來研究平方根。小結(jié)：什么叫做一個數(shù)的平方根？正數(shù)，0，負數(shù)的平方根有什么規(guī)律？怎樣求出一個數(shù)的平方根？數(shù)的平方根怎樣表示？【課堂反饋】1. 判斷下列說法是否正確:(1)0的平方根是0；（2）1的平方根是1；（3）-1的平方根是 -1；（4）0.01的平方根是0.1的一個平方根.2.填表： 8-8160.363.計算下列各式的值：（1）；（2）；（3）.4.平方根概念的起源與幾何中的正方形有關(guān).如

14、果一個正方形的面積為A，那么這個正方形的邊長是多少？課題6.2 立方根【教學(xué)目標】1.了解立方根的概念和表示方法；2.會求一個數(shù)的立方根；3.通過探討一個數(shù)的立方根與它的相反數(shù)的立方根的關(guān)系，可以將求負數(shù)的立方根轉(zhuǎn)化為求正數(shù)的立方根的問題，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想.【教學(xué)重點】立方根的概念和求法【教學(xué)難點】立方根的求法。集體智慧【活動方案】個性調(diào)整情景引入：要制作一種容積為的正方體形狀的包裝箱，這種包裝箱的邊長應(yīng)該是多少？活動一 探索歸納 認識立方根1.探索：設(shè)這種包裝箱的邊長為，則，這就是要求一個數(shù)，使它的立方等于27.因為 ，所以 ，即這種包裝箱的邊長應(yīng)為。2.歸納：立方根的概念：一般地，如果一

15、個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)叫做的立方根或三次方根。立方根的表示方法：如果，那么叫做的立方根。記作，讀作三次根號。其中是被開方數(shù)，3是根指數(shù)，中的根指數(shù)3不能省略。開立方的概念：求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方。開立方與立方互為逆運算，可以根據(jù)這種關(guān)系求一個數(shù)的立方根。3.探索立方根的特點：根據(jù)立方根的意義填空，并思考正數(shù)、0、負數(shù)的立方根各有什么特點？（1）因為 ，所以8的立方根是 ； （2）因為 ，所以的立方根是 ； （3）因為 ，所以0的立方根是 ；（4）因為 ，所以 的立方根是 ；（5）因為 ，所以的立方根是 .學(xué)生獨立完成后，教師要引導(dǎo)學(xué)生從正、負數(shù)和零三方面去歸納總結(jié)立方根的特點。

16、歸納：正數(shù)的立方根是正數(shù)；負數(shù)的立方根是負數(shù)；0的立方根是0.4.探究互為相反數(shù)的兩個數(shù)的立方根的關(guān)系：填空：因為 ， ，所以 ；因為 ， ，所以 由上面兩個例子可歸納出：一般地，。注：這個關(guān)系對于正數(shù)、負數(shù)、零都成立。求負數(shù)的立方根時，可以先求出這個負數(shù)的絕對值的立方根，然后再確它的相反數(shù)?；顒佣?應(yīng)用新知解題例1 求下列各式的值：（1） （2） （3）分析：根據(jù)立方根的意義求解。解：（1） （2） （3）例2 求下列各式中的值：（1） （2） （3）分析：此題的本質(zhì)還是求立方根。解：（1） （2） （3） 例3 用計算器計算，的值，你發(fā)現(xiàn)了什么？并總結(jié)出來。利用你前面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：已知，

17、則 ，。解：，由此發(fā)現(xiàn)：一個數(shù)擴大或縮小1000倍時，它的立方根擴大或縮小10倍。，。課堂小結(jié)1.立方根和開立方的定義2.正數(shù)、0、負數(shù)的立方根的特征3.立方根與平方根的異同 【課堂反饋】1.立方根等于本身的數(shù)是;2.如果則.3.的立方根是,的立方根是.4.已知的立方根是4，求的算術(shù)平方根.5.已知，求的值.6.比較大?。海?），（2），（3）3 課題6.3實數(shù)（第1課時）【教學(xué)目標】1.了解無理數(shù)和實數(shù)的概念以及實數(shù)的分類；2.知道實數(shù)與數(shù)軸上的點具有一一對應(yīng)的關(guān)系.【教學(xué)重點】了解無理數(shù)和實數(shù)的概念【教學(xué)難點】對無理數(shù)的認識集體智慧【活動方案】個性調(diào)整活動一 引入無理數(shù)利用計算器把下列有理

18、數(shù)寫成小數(shù)的形式，它們有什么特征？發(fā)現(xiàn)上面的有理數(shù)都可以寫成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的形式即：歸納：任何一個有理數(shù)（整數(shù)或分數(shù)）都可以寫成有限小數(shù)或者無限循環(huán)小數(shù)的形式.反過來，任何有限小數(shù)或者無限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù)。通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道有很多數(shù)的平方根或立方根都是無限不循環(huán)小數(shù)，把無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).比如等都是無理數(shù)。也是無理數(shù)?；顒佣?認識實數(shù)1實數(shù)的概念：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。2實數(shù)的分類：按照定義分類如下： 實數(shù) 按照正負分類如下：實數(shù)3實數(shù)與數(shù)軸上點的關(guān)系：我們知道每個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示。無理數(shù)是否也可以用數(shù)軸上的點表示出來嗎？活動1：直徑為1個單位長度的圓

19、其周長為，把這個圓放在數(shù)軸上，圓從原點沿數(shù)軸向右滾動一周，圓上的一點由原點到達另一個點，這個點的坐標就是，由此我們把無理數(shù)用數(shù)軸上的點表示了出來?；顒?：在數(shù)軸上，以一個單位長度為邊長畫一個正方形，則其對角線的長度就是以原點為圓心，正方形的對角線為半徑畫弧，與正半軸的交點就表示，與負半軸的交點就是。事實上通過這種做法，我們可以把每一個無理數(shù)都在數(shù)軸上表示出來，即數(shù)軸上有些點表示無理數(shù)。歸納：實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的。即沒一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)。對于數(shù)軸上的任意兩個點，右邊的點所表示的實數(shù)總比左邊的點表示的實數(shù)大?；顒尤?應(yīng)用新知例1 下列實

20、數(shù)中，無理數(shù)有哪些？，解：無理數(shù)有：，注：帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，比如，它其實是有理數(shù)4；無限小數(shù)不一定是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)一定是無理數(shù)。比如。例2 把無理數(shù)在數(shù)軸上表示出來。分析：類比的表示方法，我們需要構(gòu)造出長度為的線段，從而以它為半徑畫弧，與數(shù)軸正半軸的交點就表示。OACB解：如圖所示，由勾股定理可知：,以原點為圓心，以長度為半徑畫弧，與數(shù)軸的正半軸交于點,則點就表示。課堂小結(jié)【課堂檢測】1判斷下列說法是否正確：無限小數(shù)都是無理數(shù)；無理數(shù)都是無限小數(shù)；帶根號的數(shù)都是無理數(shù)；所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，反過來，數(shù)軸上所有的點都表示有理數(shù)；所有實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，反過來，數(shù)軸上的所有的點都表示實數(shù)。2把下列各數(shù)分別填在相應(yīng)的集合里： ，有理數(shù)集合無理數(shù)集合3比較下列各組實數(shù)的大?。海?）， （2）， （3） （4） 課題6.3實數(shù)（第2課時）【教學(xué)目標】1.掌握實數(shù)的相反數(shù)和絕對值；2.掌握實數(shù)的